第一章 過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述1.2機(jī)理建模方法1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.5最小二乘類辨識(shí)方法第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的作用和要求工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之分。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是過(guò)程輸出變量和輸入變量之間不隨時(shí)間變化時(shí)的數(shù)學(xué)關(guān)系。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是過(guò)程輸出變量和輸入變量之間隨時(shí)間變化時(shí)動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型也稱為動(dòng)態(tài)特性。1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的作用和要求過(guò)程的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，是表示輸出向量（或變量）與輸入向量（或變量）間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的用途：分為兩個(gè)方面，一是用于各類自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，二是用于工藝設(shè)計(jì)以及操作條件的分析和確定。1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的作用和要求1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的要求：簡(jiǎn)單、正確可靠正確可靠簡(jiǎn)單在線實(shí)時(shí)控制——計(jì)算量前饋、解耦、預(yù)測(cè)等控制——如控制規(guī)律復(fù)雜，不易實(shí)施結(jié)構(gòu)復(fù)雜，模型參數(shù)多，難于保證模型精度

實(shí)際使用的數(shù)學(xué)模型一般不高于三階，常用一階加時(shí)滯或二階加時(shí)滯。第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的作用和要求應(yīng)用目的過(guò)程模型類型精確度要求控制器參數(shù)整定線性、參量（或非參量）、時(shí)間連續(xù)低前饋、解耦、預(yù)估控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)線性、參量（或非參量）、時(shí)間連續(xù)中等控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)線性、參量（或非參量）、時(shí)間離散中等自適應(yīng)控制線性、參量、時(shí)間離散中等模式控制、最優(yōu)控制線性、參量、時(shí)間連續(xù)、離散高對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用要求1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.2建立數(shù)學(xué)模型的基本方法機(jī)理分析方法（白箱）通過(guò)分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，應(yīng)用一些已知的定律、定理和與原理，如化學(xué)動(dòng)力學(xué)原理、生物學(xué)定律、牛頓定理、物料平衡方程、能量平衡方程和傳質(zhì)傳熱原理等，利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)，建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這種方法也稱為理論建模。1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.2建立數(shù)學(xué)模型的基本方法機(jī)理分析方法1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述過(guò)程類型靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型集總參數(shù)過(guò)程代數(shù)方程微分方程分布參數(shù)過(guò)程微分方程偏微分方程多級(jí)過(guò)程差分方程微分-差分方程幾種類型的數(shù)學(xué)模型第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.1.2建立數(shù)學(xué)模型的基本方法系統(tǒng)辨識(shí)方法（黑箱）系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)一般是可以測(cè)量的，由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性必然表現(xiàn)在這些輸入輸出數(shù)據(jù)之中，因此可以利用這些數(shù)據(jù)所提供的信息來(lái)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種建模方法就是系統(tǒng)辨識(shí)。兩種方法的結(jié)合（灰箱）1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述1.2機(jī)理建模方法1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.5最小二乘類辨識(shí)方法第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.1動(dòng)態(tài)方程的一般列寫方法從機(jī)理出發(fā)，用理論的方法得到過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，其主要依據(jù)是物料平衡和能量平衡關(guān)系式，一般可用下式表示：

單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的物料量（或能量）-單位時(shí)間內(nèi)流出系統(tǒng)的物料量（或能量）=系統(tǒng)內(nèi)物料（或能量）貯藏量的變化在建立過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)，輸出變量y與輸入變量u可用三種不同形式，即可用絕對(duì)值Y和U表示，用增量⊿Y和⊿U表示，用無(wú)因次形式的y和u表示。在控制理論中，增量形式得到廣泛的應(yīng)用。第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于1#水槽，設(shè)V1表示水槽的液體體積，根據(jù)物料平衡關(guān)系：

第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例輸入流量qin與液位無(wú)關(guān)

α1是紊流狀態(tài)下的節(jié)流

系數(shù)，f1是調(diào)節(jié)閥的開啟面積。

第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于2#水槽，可知

第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例

上兩式是非線性微分方程，為了便于分析計(jì)算，需將非線性微分方程線性化。

第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例線性化原理：

第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于1#水槽，線性化

第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于1#水槽，線性化

第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例同樣，對(duì)于2#水槽

第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于2#水槽，線性化

第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例對(duì)于2#水槽，線性化

第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例

液阻

容量系數(shù)

第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.2機(jī)理建模方法1.2.2機(jī)理建模示例

時(shí)間常數(shù)

第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述1.2機(jī)理建模方法1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.5最小二乘類辨識(shí)方法第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.1辨識(shí)的定義L.A.Zadeh曾給辨識(shí)下過(guò)這樣的定義：“辨識(shí)就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型類中，確定一個(gè)與所測(cè)系統(tǒng)等價(jià)的模型?！比兀狠斎胼敵鰯?shù)據(jù)（辨識(shí)的基礎(chǔ)）模型類（尋找模型的范圍）等價(jià)準(zhǔn)則（辨識(shí)的優(yōu)化目標(biāo)）第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.1辨識(shí)的定義

三要素：輸入輸出數(shù)據(jù)（辨識(shí)的基礎(chǔ)）模型類（尋找模型的范圍）等價(jià)準(zhǔn)則（辨識(shí)的優(yōu)化目標(biāo)）第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.1辨識(shí)的定義

例：建立一個(gè)熱交換器的數(shù)學(xué)模型，即建立T/Q模型

第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.1辨識(shí)的定義

例：建立一個(gè)熱交換器的數(shù)學(xué)模型，即建立T/Q模型經(jīng)觀測(cè)得到一組輸入輸出數(shù)據(jù)，記作{Q(k)}和{T(k)}，k=1,2,…,L

選定一組模型類：一個(gè)等價(jià)準(zhǔn)則：第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.1辨識(shí)的定義

例：建立一個(gè)熱交換器的數(shù)學(xué)模型，即建立T/Q模型辨識(shí)問(wèn)題：根據(jù)所觀測(cè)到的數(shù)據(jù){Q(k)}和{T(k)}，確定模型中的未知參數(shù)n及ai、bi

，使得準(zhǔn)則J最小。T(k)+a1T(k-1)+…+anT(k-n)=b1Q(k-1)+…+bnQ(k-n)+e(k)第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.2辨識(shí)的基本原理

為了得到模型參數(shù)的估計(jì)值，通常采用逐步逼近的辦法輸入輸出噪聲未知模型參數(shù)參數(shù)估計(jì)值輸出預(yù)報(bào)值新息第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.3辨識(shí)的內(nèi)容和步驟

辨識(shí)的分類

離線辨識(shí)、在線辨識(shí)非參數(shù)模型辨識(shí)、參數(shù)模型辨識(shí)

非參數(shù)模型辨識(shí)（經(jīng)典辨識(shí)）：假定過(guò)程是線性的前提下不必事先確定模型具體結(jié)構(gòu)。階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)、頻率響應(yīng)、相關(guān)分析、譜分析等

參數(shù)模型辨識(shí)（現(xiàn)代辨識(shí)）：必須假定一種模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)極小化誤差準(zhǔn)則來(lái)確定模型參數(shù)。最小二乘類法、梯度校正法、極大似然法等第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.3.3辨識(shí)的內(nèi)容和步驟

辨識(shí)的內(nèi)容：步驟：根據(jù)辨識(shí)目的，利用先驗(yàn)知識(shí)，初步確立模型結(jié)構(gòu)→采集數(shù)據(jù)→進(jìn)行模型參數(shù)和結(jié)構(gòu)辨識(shí)→驗(yàn)證，獲得最終模型。第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述1.2機(jī)理建模方法1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.5最小二乘類辨識(shí)方法第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.4.1階躍響應(yīng)法

什么是階躍響應(yīng)法？

施加一個(gè)階躍擾動(dòng)信號(hào)，測(cè)定出過(guò)程的輸出響應(yīng)隨時(shí)間的變化曲線，該曲線就是利用階躍響應(yīng)法得到的非參數(shù)模型，再根據(jù)該曲線獲得待辨識(shí)過(guò)程的傳遞函數(shù)。第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.4.1階躍響應(yīng)法

兩步：第一步實(shí)際測(cè)取過(guò)程的階躍響應(yīng)，第二步由階躍響應(yīng)求取過(guò)程的傳遞函數(shù)。

測(cè)取階躍響應(yīng)曲線：先使工況保持平穩(wěn)一段時(shí)間，然后使閥門做階躍式的變化（通常在10%以內(nèi)），同時(shí)把被控變量的變化過(guò)程記錄下來(lái)，得到廣義對(duì)象的階躍響應(yīng)曲線。

求取傳遞函數(shù)：過(guò)程的增益K、時(shí)間常數(shù)T和時(shí)滯τ可以用多種方法求取。第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1）近似法當(dāng)對(duì)象可用一階慣性環(huán)節(jié)表示時(shí)：式中，K

為對(duì)象的放大系數(shù)；T為對(duì)象的時(shí)間常數(shù)1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法取y(t)=0.63y(∞)時(shí)對(duì)應(yīng)的t就是過(guò)程的時(shí)間常數(shù)T。第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1）近似法當(dāng)對(duì)象可用具有時(shí)滯的一階對(duì)象來(lái)表示時(shí)：可在響應(yīng)曲線拐點(diǎn)處作切線，該切線與時(shí)間軸相交于L，與穩(wěn)態(tài)值漸近線相交于M，則線段0L的長(zhǎng)度即為τ值，切線ML在時(shí)間軸上的投影就是T。1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日2)兩點(diǎn)法根據(jù)階躍輸入信號(hào)作用下輸出響應(yīng)曲線的計(jì)算公式在響應(yīng)曲線上取兩點(diǎn)；，由于階躍幅值r已知，聯(lián)立求解得式中，；。1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

為了反映動(dòng)態(tài)特性，輸出響應(yīng)曲線上的兩點(diǎn)通?？扇∪缦屡鋵?duì)點(diǎn)，并據(jù)此計(jì)算時(shí)間常數(shù)和時(shí)滯。y1y2Tτ0.2840.6321.5（t2-t1）(3t1-t2)/20.3930.6322（t2-t1）2t1-t20.550.865（t2-t1)/1.2(2.5t1-t2)/1.51.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.4.1脈沖法

階躍響應(yīng)法使工況長(zhǎng)期偏離正常值，對(duì)生產(chǎn)帶來(lái)不利的影響。為解決這一矛盾，在施加階躍響應(yīng)以后，隔一段時(shí)間再施加一個(gè)反向的階躍輸入，合起來(lái)就是用脈沖作為輸入信號(hào)。1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法tt輸入：⊿u(t)=⊿u1(t)+⊿u2(t)=⊿u1(t)-⊿u1

(t-⊿t)輸出：⊿y(t)=h1(t)+h2(t)=h1(t)-h1(t-⊿t)∴h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

h1(t)=⊿y(t)+h1(t-⊿t)在0～⊿t時(shí)間內(nèi)，h1(t)等于脈沖響應(yīng)即h1(t)=⊿y(t)，而后h1(t)等于當(dāng)時(shí)的脈沖響應(yīng)⊿y(t)加⊿t時(shí)間以前的階躍響應(yīng)h1(t-⊿t)，隨著時(shí)間推移就可得到完整階躍響應(yīng)曲線。得階躍響應(yīng)曲線后，可以通過(guò)前述有關(guān)方法求取過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法tt需要的觀察的第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1）過(guò)程脈沖響應(yīng)的辨識(shí)通常采用矩形脈沖輸入；2）由脈沖響應(yīng)求過(guò)程的傳遞函數(shù)一階過(guò)程：直接從曲線上求取二階過(guò)程：也可直接從曲線上求取1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.一階過(guò)程參數(shù)T和K可以直接在脈沖響應(yīng)曲線圖上直接確定1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日2.二階過(guò)程參數(shù)和可以直接在脈沖響應(yīng)曲線圖上直接確定1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第一章過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容1.1過(guò)程動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型概述1.2機(jī)理建模方法1.3系統(tǒng)辨識(shí)概述1.4非參數(shù)模型辨識(shí)方法1.5最小二乘類辨識(shí)方法第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法G(z-1)N(z-1)v(k)輸入u(k)輸出z(k)n(k)噪聲黑箱第五十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日最小二乘類辨識(shí)算法最小二乘法增廣最小二乘算法廣義最小二乘法1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法G(z-1)N(z-1)v(k)輸入u(k)輸出z(k)n(k)噪聲黑箱第五十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法1.5.1最小二乘法的基本概念

1.最早于1795年高斯提出

2.兩種形式的結(jié)果：

經(jīng)典的一次完成算法（理論研究較方便）

現(xiàn)代的遞推算法（適于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)在線辨識(shí)）

3.基本原理：通過(guò)極小化準(zhǔn)測(cè)函數(shù)求得參數(shù)的估計(jì)值。第五十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法1.5.2最小二乘法的提法

u(k)和z(k)是過(guò)程的輸入輸出量，n(k)是噪聲，要解決的問(wèn)題是如何利用過(guò)程的輸入、輸出數(shù)據(jù)，確定A(z-1)和B(z-1)的系數(shù)。

假設(shè)模型階次na，nb已定，且一般na>nb

在最小二乘法中，必須假設(shè){n(k)}是白噪聲序列

第五十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法1.5.2最小二乘法的提法

（滿足L>(na+nb)，L應(yīng)充分大）第五十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法1.5.3最小二乘法的解

設(shè)有使，則當(dāng)可逆時(shí)：

實(shí)際輸出估計(jì)輸出為最小二乘估計(jì)值第五十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日1.5最小二乘類系統(tǒng)辨識(shí)方法1.5.3最小二乘法的解

當(dāng)可逆時(shí)：

為加權(quán)最小二乘估計(jì)值（可取（0<μ<1），這體現(xiàn)了對(duì)不同時(shí)