穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件

穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共23頁(yè)。（優(yōu)選）穩(wěn)定性定義與穩(wěn)定性條件當(dāng)前2頁(yè)，總共23頁(yè)。(4.3)4.1.2平衡狀態(tài)

系統(tǒng)沒有輸入作用時(shí)，處于自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)某狀態(tài)，并且維持在此狀態(tài)而不再發(fā)生變化的，這樣的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。根據(jù)平衡狀態(tài)的定義可知,連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是滿足平衡方程即的系統(tǒng)狀態(tài)。離散系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，是對(duì)所有的k，都滿足平衡方程的系統(tǒng)狀態(tài)。當(dāng)前3頁(yè)，總共23頁(yè)。首先討論線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)為，因此，當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)；當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，可能有一個(gè)平衡狀態(tài)，也可能有多個(gè)平衡狀態(tài)。這些平衡狀態(tài)都可以由平衡方程解得。下面舉例說明。當(dāng)前4頁(yè)，總共23頁(yè)。例4.1求下列非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)解由平衡狀態(tài)定義，平衡狀態(tài)應(yīng)滿足:得非線性系統(tǒng)有三個(gè)平衡狀態(tài)：

,,.當(dāng)前5頁(yè)，總共23頁(yè)。4.1.3李雅普諾夫穩(wěn)定性定義

1.穩(wěn)定

定義:如果對(duì)于任意給定的每個(gè)實(shí)數(shù),都對(duì)應(yīng)存在著另一實(shí)數(shù),使得從滿足不等式的任意初態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng),在所有的時(shí)間內(nèi)都滿足則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的.若與的選取無關(guān),則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的.當(dāng)前6頁(yè)，總共23頁(yè)。2.漸近穩(wěn)定

定義：若平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，并且當(dāng)時(shí)，,即，則稱平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3.大范圍（漸近）穩(wěn)定

定義：如果對(duì)任意大的，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍（漸進(jìn)）穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)總是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)前7頁(yè)，總共23頁(yè)。

4.不穩(wěn)定

定義：如果對(duì)于某一實(shí)數(shù)，不論取多小，由內(nèi)出發(fā)的軌跡，至少有一條軌跡越出，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定.上述定義對(duì)于離散系統(tǒng)也是適用的，只是將連續(xù)時(shí)間t理解為離散時(shí)間k。

注意:穩(wěn)定性討論的是系統(tǒng)沒有輸入（包括參考輸入和擾動(dòng)）作用或者輸入作用消失以后的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。所以，通常通過分析系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，或者脈沖響應(yīng)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前8頁(yè)，總共23頁(yè)。4.1.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

1.SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

設(shè)描述SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:

(4.4)

則系統(tǒng)的特征方程為:

(4.5)當(dāng)前9頁(yè)，總共23頁(yè)。設(shè)特征方程(4.5)有k個(gè)實(shí)根，r對(duì)共軛復(fù)根，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為:(4.6)從上式可以看出：1）若，均為負(fù)實(shí)部，則有，因此，當(dāng)所有特征根的實(shí)部都為負(fù)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；2）若，中有一個(gè)或者幾個(gè)為正，則有，因此，當(dāng)特征根中有一個(gè)或者幾個(gè)為正實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)前10頁(yè)，總共23頁(yè)。3）若中有一個(gè)或者幾個(gè)為零,而其它，均為負(fù)，則有為常數(shù)。若中有一個(gè)或者幾個(gè)為零，而其它、均為負(fù)，則y(t)的穩(wěn)態(tài)分量則為正弦函數(shù)。因此，當(dāng)特征根中有一個(gè)或者幾個(gè)為零，而其它極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)是一種臨界情況，稱為臨界穩(wěn)定的。臨界穩(wěn)定在李氏穩(wěn)定性意義下是穩(wěn)定的，但在工程上是不允許系統(tǒng)工作在臨界穩(wěn)定狀態(tài)的，所以，臨界穩(wěn)定在工程上是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的全部特征根或閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。

當(dāng)前11頁(yè)，總共23頁(yè)。

2.MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

描述MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（4.7）

設(shè)A有相異特征值，則存在非奇異線性變換，使為對(duì)角矩陣，即:非奇異線性變換后的狀態(tài)方程的零輸入解為:當(dāng)前12頁(yè)，總共23頁(yè)。由于，，所以，原狀態(tài)方程的零輸入解為:

(4.8)可見(4.9)將上式展開,的每個(gè)元素都是的線性組合，所以可寫成矩陣多項(xiàng)式:當(dāng)前13頁(yè)，總共23頁(yè)。所以(4.10)從上式可見，當(dāng)A的所有特征值位于復(fù)平面左半平面，即，，則對(duì)任意x(0)，有，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。只要有一個(gè)特征值的實(shí)部大于零，對(duì)于，，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)有特征值的實(shí)部等于零，而其它特征值的實(shí)部小于零，則隨著時(shí)間的增加，x(t)趨于常值或者為正弦波，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，或者稱為臨界穩(wěn)定的。當(dāng)前14頁(yè)，總共23頁(yè)。當(dāng)A具有重特征值時(shí),x(t)含有諸項(xiàng)，穩(wěn)定性結(jié)論同上。

結(jié)論：MIMO線性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的全部特征值具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于復(fù)平面左半部。當(dāng)前15頁(yè)，總共23頁(yè)。4.1.5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.SISO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)輸出的Z變換為：(4.11)

現(xiàn)在討論系統(tǒng)在單位脈沖序列離散信(R(z)=1)作用下的輸出響應(yīng)序列。當(dāng)前16頁(yè)，總共23頁(yè)。

（1）有個(gè)互異的單極點(diǎn)，。

Y(z)可以展成:相應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:(4.12)如果所有的極點(diǎn)在單位圓內(nèi),即，，則，所以，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)前17頁(yè)，總共23頁(yè)。如果其中有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓上，設(shè)，而其余極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則，所以，系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，又稱臨界穩(wěn)定。如果有一個(gè)或一個(gè)以上的極點(diǎn)在單位圓外,則，所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)前18頁(yè)，總共23頁(yè)。（2）有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)這一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的脈沖響應(yīng)序列是:由于特征方程是實(shí)系數(shù)，所以，必定是共軛的。設(shè)

當(dāng)前19頁(yè)，總共23頁(yè)。代入上式得:(4.13)由此可見，該對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)若在單位圓內(nèi)（），系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；若在單位圓外（），系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在單位圓上（），系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。當(dāng)前20頁(yè)，總共23頁(yè)。

（3）含有重極點(diǎn)不失一般性，設(shè)含有兩重極點(diǎn)，則Y(z)可展開為:

對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列為:

(4.14)當(dāng)前21頁(yè)，總共23頁(yè)。顯然，若重極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓外,即，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；重極點(diǎn)在單位圓上,即，由式（4.14）可得:系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

結(jié)論：線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都位于平面的單位圓內(nèi)。

當(dāng)前22頁(yè)，總共23頁(yè)。

2.MIMO線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定性條件設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(4.15)