2022屆新高考數學模擬試卷及答案解析

2022屆新高考數學模擬試題（11）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，則A． B．， C．， D．，0，2．已知是虛數單位，，復數，則A． B．5 C． D．3．函數是上的奇函數，當時，，則當時，A． B． C． D．4．已知，則“”是“，”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，，，且，則A．3 B． C． D．6．將曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線，則A．1 B． C． D．7．已知，若函數恰有一個零點，則實數的取值范圍是A． B．， C． D．，8．已知直線與直線相交于點，點是圓上的動點，則的最大值為A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數據（單位：如下面的莖葉圖所示，則下列結論正確的是A．女生身高的極差為12 B．男生身高的均值較大 C．女生身高的中位數為165 D．男生身高的方差較小10．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為．設與軸的交點為，為上異于的任意一點，在上的射影為，的外角平分線交軸于點，過作于，過作交線段的延長線于點，則A． B． C． D．11．在正方體中，為底面的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段的中點，則A．與是異面直線 B． C．平面平面 D．過，，三點的正方體的截面一定是等腰梯形12．如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點的距離是，從點沿海岸正東處有一個城鎮(zhèn)．假設一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時間（單位：表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，（單位：表示此人將船停在海岸處距點的距離．設，，則A．函數為減函數 B． C．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少 D．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．談祥柏先生是我國著名的數學科普作家，他寫的《數學百草園》、《好玩的數學》、《故事中的數學》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛．下面我們一起來看《好玩的數學》中談老的一篇文章《五分鐘內挑出埃及分數》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數（稱為埃及分數）．如用兩個埃及分數與的和表示等．從這100個埃及分數中挑出不同的3個，使得它們的和為1，這三個分數是．（按照從大到小的順序排列）14．在平面直角坐標系中，角的頂點是，始邊是軸的非負半軸，，點是終邊上一點，則的值是．15．已知為雙曲線的右焦點，過作的漸近線的垂線，為垂足，且為坐標原點），則的離心率為．16．如圖，在三棱錐中，，，，，，則與平面所成角的大小為；三棱錐外接球的表面積是．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題．在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足，，，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．（12分）已知等比數列滿足，，成等差數列，且；等差數列的前項和．求：（1），；（2）數列的前項和．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，點滿足．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中．某投資公司準備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中．項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實物見證．現準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據市場調研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的，否則盈利額為0．項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū)．據市場調研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的，也可能虧損投資額的，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和．（1）若投資項目一，記為盈利的天坑院的個數，求（用表示）；（2）若投資項目二，記投資項目二的盈利為百萬元，求（用表示）；（3）在（1）（2）兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由．21．（12分）設中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，為的右焦點，的方程為．（1）求的方程；（2）若直線與相切，與交于、兩點，與交于、兩點，其中、在第一象限，記的面積為，求取最大值時，直線的方程．22．（12分）已知函數，，曲線在點，（1）處的切線在軸上的截距為．（1）求；（2）討論函數和的單調性；（3）設，，求證：．

2022屆新高考數學模擬試題（11）答案解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，則A． B．， C．， D．，0，【解析】集合，，．故選：．2．已知是虛數單位，，復數，則A． B．5 C． D．【解析】因為：是虛數單位，，所以：；，則；故選：．3．函數是上的奇函數，當時，，則當時，A． B． C． D．【解析】時，，時，，當時，是上的奇函數，當時，．故選：．4．已知，則“”是“，”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】“，”，或，，解得．“”是“，”的充分不必要條件．故選：．5．已知向量，，，且，則A．3 B． C． D．【解析】因為，又因為，所以，解得，故選：．6．將曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線，則A．1 B． C． D．【解析】曲線上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到：，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到：，所以．設，解得，所以．所以．所以，故選：．7．已知，若函數恰有一個零點，則實數的取值范圍是A． B．， C． D．，【解析】由，可得為關于對稱，畫出的圖象，單調遞增的，由對稱得的圖象單調遞減，而是的圖象上下平行移動得到，恰有一個零點即是的根，所以可得，故選：．8．已知直線與直線相交于點，點是圓上的動點，則的最大值為A． B． C． D．【解析】因為線恒過定點，直線恒過定點且，故兩直線的交點在以為直徑的圓上，且圓的方程，要求的最大值，轉化為在上找一點，在上找一點，使最大，根據題意可得兩圓的圓心距，則．故選：．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數據（單位：如下面的莖葉圖所示，則下列結論正確的是A．女生身高的極差為12 B．男生身高的均值較大 C．女生身高的中位數為165 D．男生身高的方差較小【解析】、找出所求數據中最大的值173，最小值161，再代入公式求值極差，故本選項符合題意；、男生身高的數據在之間，女生身高數據在之間，所以男生身高的均值較大，故本選項符合題意；、抽取的10名女生中，身高數據從小到大排列后，排在中間的兩個數為165和167，所以中位數是166，故本選項不符合題意；、抽取的學生中，男生身高的數據在之間，女生身高數據在之間，男生身高數據波動性大，所以方差較大，故本選項不符合題意．故選：．10．在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為，準線為．設與軸的交點為，為上異于的任意一點，在上的射影為，的外角平分線交軸于點，過作于，過作交線段的延長線于點，則A． B． C． D．【解析】由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，所以由題意可得，即正確；為的外角平分線，所以，又，所以，所以，所以，所以正確；連接，由上面可得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，在中，，中，，所以；所以正確；中，若，而，所以是的中點，，所以，由上面可知為等邊三角形，即，而為拋物線上任意一點，所以不一定為，所以不正確；故選：．11．在正方體中，為底面的中心，為線段上的動點（不包括兩個端點），為線段的中點，則A．與是異面直線 B． C．平面平面 D．過，，三點的正方體的截面一定是等腰梯形【解析】．共面，因此與不是異面直線，不正確；．，，因此，因此正確．．，，，平面，平面平面，因此正確；．過，，三點的正方體的截面與相交于點，則，且，因此一定是等腰梯形，正確．故選：．12．如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點的距離是，從點沿海岸正東處有一個城鎮(zhèn)．假設一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時間（單位：表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，（單位：表示此人將船停在海岸處距點的距離．設，，則A．函數為減函數 B． C．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少 D．當時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過【解析】，，，，是減函數，故選項正確，由題意可知：，，，，故選項錯誤，，，，令得，，當，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，最小，且最短時間為，故選項正確，當時，，故選項錯誤，故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．談祥柏先生是我國著名的數學科普作家，他寫的《數學百草園》、《好玩的數學》、《故事中的數學》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛．下面我們一起來看《好玩的數學》中談老的一篇文章《五分鐘內挑出埃及分數》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數（稱為埃及分數）．如用兩個埃及分數與的和表示等．從這100個埃及分數中挑出不同的3個，使得它們的和為1，這三個分數是，，．（按照從大到小的順序排列）【解析】，這三個分數是：，故答案為：．14．在平面直角坐標系中，角的頂點是，始邊是軸的非負半軸，，點是終邊上一點，則的值是．【解析】點是終邊上一點，，，可得，可得，又，可得，．故答案為：．15．已知為雙曲線的右焦點，過作的漸近線的垂線，為垂足，且為坐標原點），則的離心率為2．【解析】如圖，為雙曲線的右焦點，與直線垂直，垂足為，，則，可得，得，．故答案是：2．16．如圖，在三棱錐中，，，，，，則與平面所成角的大小為；三棱錐外接球的表面積是．【解析】取的中點，的中點，連接并延長至點，使得，連接，，，如圖所示：和是同斜邊的直角三角形，三棱錐外接球的球心為的中點，又，三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的表面積為：，，點為的外接圓圓心，平面，又點是的中點，點是的中點，，平面，為與平面所成角的平面角，在中，，，在中，，在中，，，故答案為：，．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題．在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足①，，，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】①若在橫線上填寫“”，則由正弦定理，得．由，得．由，得．所以．又（若，則，這與矛盾），所以．又，得．由余弦定理及，得，即．將代入，解得，所以；②若在橫線上填寫“”，則由正弦定理，得，由，得，由，得，所以，又，所以，由余弦定理及，得，即．將代入，解得，所以；③若在橫線上填寫“”，則由正弦定理，得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，由余弦定理及，得，即．將代入，解得，所以；18．（12分）已知等比數列滿足，，成等差數列，且；等差數列的前項和．求：（1），；（2）數列的前項和．【解析】（1）設的公比為．因為，，成等差數列，所以，即．因為，所以．因為，所以．因此．由題意，．所以，，從而．所以的公差．所以．（2）令，則．因此．又兩式相減得．所以．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，點滿足．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【解答】（1）證明：在中，由勾股定理，得．因為，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為，，所以平面，又因為平面，所以；（2）由，得．所以點是靠近點的線段的三等分點．所以．分別以，所在方向為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，0，，，，1，，，設平面的法向量為，，，由，得令，則，設平面的法向量為，，，，，由，得，令，則，設向量夾角為，則．所以二面角的余弦值為．20．（12分）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中．某投資公司準備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中．項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實物見證．現準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據市場調研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的，否則盈利額為0．項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū)．據市場調研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的，也可能虧損投資額的，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和．（1）若投資項目一，記為盈利的天坑院的個數，求（用表示）；（2）若投資項目二，記投資項目二的盈利為百萬元，求（用表示）；（3）在（1）（2）兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由．【解析】（1）由題意，則盈利的天坑院數的均值．（2）若投資項目二，則的分布列為：2盈利的均值．（3）若盈利，則每個天坑院盈利（百萬元），所以投資建設20個天坑院，盈利的均值為（百萬元）．，，①當時，，解得．．故選擇項目一．②當時，，解得．此時選擇項一．③當時，，解得．此時選擇項二．21．（12分）設中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，為的右焦點，的方程為．（1）求的方程；（2）若直線與相切，與交于、兩點，與交于、兩點，其中