一元二次方程知識點總結(jié)及習題

【基礎(chǔ)知識鞏固】知識點1.一元二次方程概念只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。1、判別下列方程是不是一元二次方程，(1)2x-x-3=0.(2)-y=0.(3)t=0.(4)x-x=1.(5)x-2y-1=0.(6)-3=0.(7)=2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1).(9)3x-+6=0.(10)3x=-3.2、判斷下列方程是否為一元二次方程：3、下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是（）（A）（B）（C）（D）4、下列方程中，不是一元二次方程的是（）（A）2x2+7=0（B）2x2+2x+1=0（C）5x2++4=0（D）3x2+(1+x)+1=05、若關(guān)于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，則a的值是（）（A）2 （B）－2 （C）0 （D）不等于26、已知關(guān)于的方程，當時，方程為一次方程；當時，兩根中有一個為零。7、已知關(guān)于的方程：m為何值時方程為一元一次方程；m為何值時方程為一元二次方程。知識點二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：，其中是二次項，叫二次項系數(shù)；是一次項，叫一次項系數(shù)，是常數(shù)項。特別警示：（1）“”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；（2）二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式。1、指出下列一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(5)(6)2、關(guān)于的方程是一元二次方程，則（）（A）（B）（C）（D）3、將下列一元二次方程化成一般形式，并找出a、b、c的值.(1)；(2)4、方程（m2－1）x2＋mx－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m滿足的條件是…（）（A）m≠1（B）m≠0（C）|m|≠1（D）m＝±15、關(guān)于的方程中是；是；是。6、方程的一般形式為。7、方程(m-5)(m-3)x+(m-3)x+5=0中，當m為何值時，此方程為一元二次方程知識點三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。1、已知方程的一個根是1，則m的值是。2、已知是一元二次方程的一個解，則m的值是（）（A）1（B）0（C）0或1（D）3、若是一元二次方程的一個根，則。4、實數(shù)是方程的根（）（A）（B）（C）（D）5、設(shè)是一元二次方程的較大根，是較小根，那么的值是（）（A）-4（B）-3（C）1（D）26、已知關(guān)于的一元二次方程的一個解與方程的解相同。求的值；求方程的另一個解。7、設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的值分別等于多少知識點四.一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（1）直接開平方法：如果，則.利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。（2）配方法：要先把二次項系數(shù)化為1，然后方程兩變同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）公式法：一元二次方程的求根公式是；公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。（4）因式分解法：如果則。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時，要注意選擇最恰當?shù)姆椒ń狻?、方程的解是：（）（A）（B）（C）（D）2、方程的解是：（）（A）（B）（C）（D）3、方程的較簡便的解法應(yīng)選用。4、解下列方程：（1）（2）（3）5．開平方法解下列方程：6．配方法解方程：7．公式法解下列方程：8．因式分解法解下列方程：9．用適當方法解下列方程：10、解下列方程：知識點五.一元二次方程根的判別式對于一元二次方程的根的判別式是：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根。溫馨提示：若方程有實數(shù)根，則有。1、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k=。2、關(guān)于的一元二次方程兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）3、在下列方程中，有實數(shù)根的是（）（A）（B）（C）（D）4、當m滿足何條件時，方程有兩個不相等實根有兩個相等實根有實根5、關(guān)于的方程無實根，試解關(guān)于的方程。6、已知關(guān)于的一元二次方程，求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根。7、將一條長20m的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形。要使這兩個正方形的面積之和等于17平方米，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少兩個正方形的面積之和可能等于12平方米嗎若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。知識點六.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則。（韋達定理）溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。1、關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，且滿足，則k的值為：（）（A）（B）（C）（D）不存在2、已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足，則m的值是（）（A）3或-1（B）3（C）1（D）-3或13、關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且，則m的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）4、方程與方程的所有根的乘積是5、兩個不相等的實數(shù)m,n滿足，則mn的值為。6、設(shè)是關(guān)于的方程的兩個根，且滿足，求m的值。7、已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，問：k取何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形知識點七.一元二次方程的實際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗（6）寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。1、某商品原價每件25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在商品每件16元，則該玩具平均每次降價的百分率是。2、有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個數(shù)字之積的二倍多5，求這個兩位數(shù)。3、一塊長方形鐵皮的長是寬的２倍，四角各截去一個正方形，制成高是５cm，容積是５００cm4、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少5、一根長22cm的鐵絲．（1）能否圍成面積是30cm2的矩形（2）能否圍成面積是32cm2的矩形并說明理由．6、西瓜經(jīng)營戶以2元千克的價格購進一批小型西瓜，以3元千克的價格出售，每天