中考復習相似三角形練習試題

./WORD格式整理中考復習《相似三角形》練習題一．選擇題〔共10小題1．〔2013?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于E,交DC的延長線于F,BG⊥AE于G,BG=,則△EFC的周長為〔A．11B．10C．9D．82．〔2013?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在AD上,連接CE并延長與BA的延長線交于點F,若AE=2ED,CD=3cm,則AF的長為〔A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b〔a＞b．在△ABC內依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE．則EF等于〔A．B．C．D．4．〔2013?XX如圖,正方形ABCD是一塊綠化帶,其中陰影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥,將隨機落在這塊綠化帶上,則小鳥在花圃上的概率為〔A．B．C．D．5．〔2013?XX如圖,點A,B,C,D為⊙O上的四個點,AC平分∠BAD,AC交BD于點E,CE=4,CD=6,則AE的長為〔A．4B．5C．6D．76．〔2013?內江如圖,在?ABCD中,E為CD上一點,連接AE、BD,且AE、BD交于點F,S△DEF：S△ABF=4：25,則DE：EC=〔A．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．〔2013?XX如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M．則下列結論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC,其中正確的個數是〔A．1B．2C．3D．48．〔2013?XX州如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,E為OD的中點,連接AE并延長交DC于點F,則DF：FC=〔A．1：4B．1：3C．2：3D．1：29．〔2013?德陽如圖,在⊙O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側,過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q,已知：⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是〔A．5B．C．D．10．〔2012?XX如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點,CD切⊙O于點E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對于下列結論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°,其中正確的是〔A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空題〔共10小題11．〔2013?XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=4cm,F是弦BC的中點,∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動,設運動時間為t〔s〔0≤t＜16,連接EF,當△BEF是直角三角形時,t〔s的值為_________．〔填出一個正確的即可12．〔2013?XX如圖,在?ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,BG⊥AE,垂足為G,BG=4cm,則EF+CF的長為_________cm．13．〔2013?XX如圖所示,在△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點,動點P在射線EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分線交CE于Q,當CQ=CE時,EP+BP=_________．14．〔2013?XX如圖,小明在打網球時,使球恰好能打過網,而且落在離網4米的位置上,則球拍擊球的高度h為_________．15．〔2012?XX正方形ABCD的邊長為1cm,M、N分別是BC、CD上兩個動點,且始終保持AM⊥MN,當BM=_________cm時,四邊形ABCN的面積最大,最大面積為_________cm2．16．〔2012?XX如圖,在⊙O中,AB是直徑,點D是⊙O上一點,點C是的中點,弦CE⊥AB于點F,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CF、BC于點P、Q,連接AC．給出下列結論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是_________〔寫出所有正確結論的序號．17．〔2012?XX在△ABC中,P是AB上的動點〔P異于A、B,過點P的直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線,簡記為P〔lx〔x為自然數．〔1如圖①,∠A=90°,∠B=∠C,當BP=2PA時,P〔l1、P〔l2都是過點P的△ABC的相似線〔其中l(wèi)1⊥BC,l2∥AC,此外,還有_________條；〔2如圖②,∠C=90°,∠B=30°,當=_________時,P〔lx截得的三角形面積為△ABC面積的．18．〔2012?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC．點D是AB的中點,連接CD,過點B作BG丄CD,分別交CD、CA于點E、F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連接DF．給出以下四個結論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結論序號是_________．19．〔2012?XX如圖,n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點,△B1C1M1的面積為S1,△B2C2M2的面積為S2,…△BnCnMn的面積為Sn,則Sn=_________．〔用含n的式子表示20．〔2013?荊州如圖,△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形,在△ABC內作第1個內接正方形A1B1D1E1〔D1、E1在AB上,A1、B1分別在AC、BC上,再在△A1B1C內接同樣的方法作第2個內接正方形A2B2D2E2,…如此下去,操作n次,則第n個小正方形AnBnDnEn的邊長是_________．三．解答題〔共8小題21．〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉〔點P對應點P′,當AP旋轉至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E．〔1求證：∠CBP=∠ABP；〔2求證：AE=CP；〔3當,BP′=5時,求線段AB的長．22．〔2013?XX如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點,且OP∥BC,∠P=∠BAC．〔1求證：PA為⊙O的切線；〔2若OB=5,OP=,求AC的長．23．〔2013?XX如圖,AB是⊙O的直徑,∠B=∠CAD．〔1求證：AC是⊙O的切線；〔2若點E是的中點,連接AE交BC于點F,當BD=5,CD=4時,求AF的值．24．〔2013?襄陽如圖,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D,過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥CD于點F．〔1求證：DP∥AB；〔2若AC=6,BC=8,求線段PD的長．25．〔2013?XX在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,點E為AB的中點,EC與AD交于點G,點F在BC上．〔1如圖1,AC：AB=1：2,EF⊥CB,求證：EF=CD．〔2如圖2,AC：AB=1：,EF⊥CE,求EF：EG的值．26．〔2013?XX如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延長線于點E．〔1求證：∠BCA=∠BAD；〔2求DE的長；〔3求證：BE是⊙O的切線．27．〔2013?XX如圖,直線AB與⊙O相切于點A,直徑DC的延長線交AB于點B,AB=8,OB=10〔1求⊙O的半徑．〔2點E在⊙O上,連接AE,AC,EC,并且AE=AC,判斷直線EC與AB有怎樣的位置關系？并證明你的結論．〔3求弦EC的長．28．〔2013?XX如圖,點B在線段AC上,點D,E在AC同側,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC．〔1求證：AC=AD+CE；〔2若AD=3,CE=5,點P為線段AB上的動點,連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點Q；〔i當點P與A,B兩點不重合時,求的值；〔ii當點P從A點運動到AC的中點時,求線段DQ的中點所經過的路徑〔線段長．〔直接寫出結果,不必寫出解答過程九年級數學《相似三角形》提優(yōu)訓練題參考答案與試題解析一．選擇題〔共10小題1．〔2013?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于E,交DC的延長線于F,BG⊥AE于G,BG=,則△EFC的周長為〔A．11B．10C．9D．8考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．分析：判斷出△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,DF的長度,繼而得到EC的長度,在Rt△BGE中求出GE,繼而得到AE,求出△ABE的周長,根據相似三角形的周長之比等于相似比,可得出△EFC的周長．解答：解：∵在?ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分線交BC于點E,∴∠BAF=∠DAF,∵AB∥DF,AD∥BC,∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠AEB,∴AB=BE=6,AD=DF=9,∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,∵AD∥BC,∴△EFC是等腰三角形,且FC=CE,∴EC=FC=9﹣6=3,在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4,∴AG==2,∴AE=2AG=4,∴△ABE的周長等于16,又∵△CEF∽△BEA,相似比為1：2,∴△CEF的周長為8．故選D．點評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質,注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比,此題難度較大．2．〔2013?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在AD上,連接CE并延長與BA的延長線交于點F,若AE=2ED,CD=3cm,則AF的長為〔新|課|標|第|一|網A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．分析：由邊形ABCD是平行四邊形,可得AB∥CD,即可證得△AFE∽△DEC,然后由相似三角形的對應邊成比例,求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴△AFE∽△DEC,∴AE：DE=AF：CD,∵AE=2ED,CD=3cm,∴AF=2CD=6cm．故選B．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度不大,注意掌握數形結合思想的應用．3．〔2013?XX如圖,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b〔a＞b．在△ABC內依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE．則EF等于〔XkB1.comA．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,根據相似三角形的對應邊成比例的知識,可得出EF的長度．解答：解：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵∠CBD=∠A,∴△ABC∽△BDC,同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,∴=,=,=,=,∵AB=AC,∴CD=CE,解得：CD=CE=,DE=,EF=．故選C．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質,本題中相似三角形比較容易找到,難點在于根據對應邊成比例求解線段的長度,注意仔細對應,不要出錯．4．〔2013?XX如圖,正方形ABCD是一塊綠化帶,其中陰影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥,將隨機落在這塊綠化帶上,則小鳥在花圃上的概率為〔A．B．C．D．考點：相似三角形的應用；正方形的性質；幾何概率．專題：壓軸題．分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設正方形的ABCD的邊長為a,則BF=BC=,AN=NM=MC=a,∴陰影部分的面積為〔2+〔a2=a2,∴小鳥在花圃上的概率為=故選C．點評：本題考查了正方形的性質及幾何概率,關鍵是表示出大正方形的邊長,從而表示出兩個陰影正方形的邊長,最后表示出面積．5．〔2013?XX如圖,點A,B,C,D為⊙O上的四個點,AC平分∠BAD,AC交BD于點E,CE=4,CD=6,則AE的長為〔wWw.xKb1.coMA．4B．5C．6D．7考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系；相似三角形的判定與性質．分析：根據圓周角定理∠CAD=∠CDB,繼而證明△ACD∽△DCE,設AE=x,則AC=x+4,利用對應邊成比例,可求出x的值．解答：解：設AE=x,則AC=x+4,∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∵∠CDB=∠BAC〔圓周角定理,∴∠CAD=∠CDB,∴△ACD∽△DCE,∴=,即=,解得：x=5．故選B．點評：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質,解答本題的關鍵是得出∠CAD=∠CDB,證明△ACD∽△DCE．6．〔2013?內江如圖,在?ABCD中,E為CD上一點,連接AE、BD,且AE、BD交于點F,S△DEF：S△ABF=4：25,則DE：EC=〔A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．分析：先根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF,再根據S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比,由相似三角形的性質即可求出DE：AB的值,由AB=CD即可得出結論．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE,∴△DEF∽△BAF,∵S△DEF：S△ABF=4：25,∴DE：AB=2：5,∵AB=CD,∴DE：EC=2：3．故選B．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質,熟知相似三角形邊長的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．7．〔2013?XX如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M．則下列結論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC,其中正確的個數是〔新課標第一網A．1B．2C．3D．4考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角梯形．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：結論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；結論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,進而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF；結論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；結論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．解答：解：〔1結論①正確．理由如下：∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,∴∠5=∠6,∴AM=AE=BF．易知ADCN為正方形,△ABC為等腰直角三角形,∴AB=AC．在△ACM與△ABF中,,∴△ACM≌△ABF〔SAS,∴CM=AF；〔2結論②正確．理由如下：∵△ACM≌△ABF,∴∠2=∠4,∵∠2+∠6=90°,∴∠4+∠6=90°,∴CE⊥AF；〔3結論③正確．理由如下：證法一：∵CE⊥AF,∴∠ADC+∠AGC=180°,∴A、D、C、G四點共圓,∴∠7=∠2,∵∠2=∠4,∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,∴△ABF∽△DAH；證法二：∵CE⊥AF,∠1=∠2,∴△ACF為等腰三角形,AC=CF,點G為AF中點．wWw.xKb1.coM在Rt△ANF中,點G為斜邊AF中點,∴NG=AG,∴∠MNG=∠3,∴∠DAG=∠CNG．在△ADG與△NCG中,,∴△ADG≌△NCG〔SAS,∴∠7=∠1,又∵∠1=∠2=∠4,∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,∴△ABF∽△DAH；〔4結論④正確．理由如下：證法一：∵A、D、C、G四點共圓,∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC．證法二：∵AM=AE,CE⊥AF,∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG,∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC,∴GD平分∠AGC．綜上所述,正確的結論是：①②③④,共4個．故選D．點評：本題是幾何綜合題,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點,有一定的難度．解答中四點共圓的證法,僅供同學們參考．8．〔2013?XX州如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,E為OD的中點,連接AE并延長交DC于點F,則DF：FC=〔A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．分析：首先證明△DFE∽△BAE,然后利用對應變成比例,E為OD的中點,求出DF：AB的值,又知AB=DC,即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四邊形ABCD中,AB∥DC,則△DFE∽△BAE,∴=,∵O為對角線的交點,∴DO=BO,又∵E為OD的中點,∴DE=DB,則DE：EB=1：3,∴DF：AB=1：3,∵DC=AB,∴DF：DC=1：3,∴DF：FC=1：2．故選D．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質,難度適中,解答本題的關鍵是根據平行證明△DFE∽△BAE,然后根據對應邊成比例求值．9．〔2013?德陽如圖,在⊙O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側,過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q,已知：⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是〔A．5B．C．D．考點：圓周角定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．專題：計算題；壓軸題．分析：根據圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°,再根據正切的定義得到tan∠ABC==,然后根據圓周角定理得到∠A=∠P,則可證得△ACB∽△PCQ,利用相似比得CQ=?PC=PC,PC為直徑時,PC最長,此時CQ最長,然后把PC=5代入計算即可．解答：解：∵AB為⊙O的直徑,∴AB=5,∠ACB=90°,∵tan∠ABC=,∴=,∵CP⊥CQ,∴∠PCQ=90°,而∠A=∠P,∴△ACB∽△PCQ,∴=,∴CQ=?PC=PC,當PC最大時,CQ最大,即PC為⊙O的直徑時,CQ最大,此時CQ=×5=．故選D．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質．10．〔2012?XX如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A、B兩點,CD切⊙O于點E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對于下列結論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°,其中正確的是〔A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考點：切線的性質；切線長定理；相似三角形的判定與性質．專題：計算題；壓軸題．分析：連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線,根據切線的性質得到三個角為直角,且利用切線長定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得出CD=AD+BC,選項②正確；由AD=ED,OD為公共邊,利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而這四個角之和為平角,可得出∠DOC為直角,選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角,再由一對公共角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似,可得出三角形DEO與三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE?CD,選項①正確；又ABCD為直角梯形,利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為AB〔AD+BC,將AD+BC化為CD,可得出梯形面積為AB?CD,選項④錯誤,而OD不一定等于OC,選項③錯誤,即可得到正確的選項．解答：解：連接OE,如圖所示：∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切,∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC,∴CD=DE+EC=AD+BC,選項②正確；在Rt△ADO和Rt△EDO中,,∴Rt△ADO≌Rt△EDO〔HL,∴∠AOD=∠EOD,同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC,又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,∴2〔∠DOE+∠EOC=180°,即∠DOC=90°,選項⑤正確；∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC,∴=,即OD2=DC?DE,選項①正確；而S梯形ABCD=AB?〔AD+BC=AB?CD,選項④錯誤；由OD不一定等于OC,選項③錯誤,則正確的選項有①②⑤．故選A點評：此題考查了切線的性質,切線長定理,相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,以及梯形面積的求法,利用了轉化的數學思想,熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．X|k|B|1.c|O|m二．填空題〔共10小題11．〔2013?XX如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=4cm,F是弦BC的中點,∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動,設運動時間為t〔s〔0≤t＜16,連接EF,當△BEF是直角三角形時,t〔s的值為4s．〔填出一個正確的即可考點：圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題；開放型．分析：根據圓周角定理得到∠C=90°,由于∠ABC=60°,BC=4cm,根據含30度的直角三角形三邊的關系得到AB=2BC=8cm,而F是弦BC的中點,所以當EF∥AC時,△BEF是直角三角形,此時E為AB的中點,易得t=4s；當從A點出發(fā)運動到B點名,再運動到O點時,此時t=12s；也可以過F點作AB的垂線,點E點運動到垂足時,△BEF是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直徑,∴∠C=90°,而∠ABC=60°,BC=4cm,∴AB=2BC=8cm,∵F是弦BC的中點,∴當EF∥AC時,△BEF是直角三角形,此時E為AB的中點,即AE=AO=4cm,∴t==4〔s．故答案為4s．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓周角定理的推論以及含30度的直角三角形三邊的關系．12．〔2013?XX如圖,在?ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,BG⊥AE,垂足為G,BG=4cm,則EF+CF的長為5cm．考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．專題：壓軸題．新|課|標|第|一|網分析：首先,由于AE平分∠BAD,那么∠BAE=∠DAE,由AD∥BC,可得內錯角∠DAE=∠BEA,等量代換后可證得AB=BE,即△ABE是等腰三角形,根據等腰三角形"三線合一"的性質得出AE=2AG,而在Rt△ABG中,由勾股定理可求得AG的值,即可求得AE的長；然后,利用平行線分線段成比例的性質分別得出EF,FC的長,即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE=∠BAE,∴AB=BE=6cm,∴EC=9﹣6=3〔cm,∵BG⊥AE,垂足為G,∴AE=2AG．在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=6cm,BG=4cm,∴AG==2〔cm,∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD,∴====,∴=,=,解得：EF=2〔cm,FC=3〔cm,∴EF+CF的長為5cm．故答案為：5．點評：本題考查了平行四邊形的性質,相似三角形的判定與性質,勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力,同時也體現(xiàn)了對數學中的數形結合思想的考查,難度適中．13．〔2013?XX如圖所示,在△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點,動點P在射線EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分線交CE于Q,當CQ=CE時,EP+BP=12．考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；三角形中位線定理．專題：壓軸題．分析：延長BQ交射線EF于M,根據三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC,根據兩直線平行,內錯角相等可得∠M=∠CBM,再根據角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM,從而得到∠M=∠PBM,根據等角對等邊可得BP=PM,求出EP+BP=EM,再根據CQ=CE求出EQ=2CQ,然后根據△MEQ和△BCQ相似,利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．X|k|B|1.c|O|m解答：解：如圖,延長BQ交射線EF于M,∵E、F分別是AB、AC的中點,∴EF∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BQ是∠CBP的平分線,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM,∵CQ=CE,∴EQ=2CQ,由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ,∴==2,∴EM=2BC=2×6=12,即EP+BP=12．故答案為：12．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質,角平分線的定義,平行線的性質,延長BQ構造出相似三角形,求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關鍵,也是本題的難點．14．〔2013?XX如圖,小明在打網球時,使球恰好能打過網,而且落在離網4米的位置上,則球拍擊球的高度h為1.5米．考點：相似三角形的應用．分析：根據球網和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知,△ADE∽△ACB,根據其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB,即=,則=,∴h=1.5m．故答案為：1.5米．新|課|標|第|一|網點評：本題考查了相似三角形在測量高度時的應用,解題時關鍵是找出相似的三角形,然后根據對應邊成比例列出方程,建立適當的數學模型來解決問題．15．〔2012?XX正方形ABCD的邊長為1cm,M、N分別是BC、CD上兩個動點,且始終保持AM⊥MN,當BM=cm時,四邊形ABCN的面積最大,最大面積為cm2．考點：相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；正方形的性質．專題：壓軸題．分析：設BM=xcm,則MC=1﹣xcm,當AM⊥MN時,利用互余關系可證△ABM∽△MCN,利用相似比求CN,根據梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積,用二次函數的性質求面積的最大值．解答：解：設BM=xcm,則MC=1﹣xcm,∵∠AMN=90°,∴∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°,∴∠AMB=∠MNC,又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN,則,即,解得CN==x〔1﹣x,∴S四邊形ABCN=×1×[1+x〔1﹣x]=﹣x2+x+,∵﹣＜0,∴當x=﹣=cm時,S四邊形ABCN最大,最大值是﹣×〔2+×+=cm2．故答案是：,．XkB1.com點評：本題考查了二次函數的性質的運用．關鍵是根據已知條件判斷相似三角形,利用相似比求函數關系式．16．〔2012?XX如圖,在⊙O中,AB是直徑,點D是⊙O上一點,點C是的中點,弦CE⊥AB于點F,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CF、BC于點P、Q,連接AC．給出下列結論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是②③④〔寫出所有正確結論的序號．考點：切線的性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質．專題：計算題；壓軸題．分析：連接BD,由GD為圓O的切線,根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD,再由AB為圓的直徑,根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角,由CE垂直于AB,得到∠AFP為直角,再由一對公共角,得到三角形APF與三角形ABD相似,根據相似三角形的對應角相等可得出∠APF等于∠ABD,根據等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP,利用等角對等邊可得出GP=GD,選項②正確；由直徑AB垂直于弦CE,利用垂徑定理得到A為的中點,得到兩條弧相等,再由C為的中點,得到兩條弧相等,等量代換得到三條弧相等,根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP,利用等角對等邊可得出AP=CP,又AB為直徑得到∠ACQ為直角,利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC,得出CP=PQ,即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點,即為直角三角形ACQ的外心,選項③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再由一對公共角相等,得到三角形ACQ與三角形ABC相似,根據相似得比例得到AC2=CQ?CB,連接CD,同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似,根據相似三角形對應邊成比例可得出AC2=AP?AD,等量代換可得出AP?AD=CQ?CB,選項④正確．解答：解：∠BAD與∠ABC不一定相等,選項①錯誤；連接BD,如圖所示：∵GD為圓O的切線,∴∠GDP=∠ABD,又AB為圓O的直徑,∴∠ADB=90°,∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°,∴∠ADB=∠AFP,又∠PAF=∠BAD,∴△APF∽△ABD,∴∠ABD=∠APF,又∠APF=∠GPD,∴∠GDP=∠GPD,∴GP=GD,選項②正確；∵直徑AB⊥CE,∴A為的中點,即=,新課標第一網又C為的中點,∴=,∴=,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP,又AB為圓O的直徑,∴∠ACQ=90°,∴∠PCQ=∠PQC,∴PC=PQ,∴AP=PQ,即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點,∴P為Rt△ACQ的外心,選項③正確；連接CD,如圖所示：∵=,∴∠B=∠CAD,又∠ACQ=∠BCA,∴△ACQ∽△BCA,∴=,即AC2=CQ?CB,∵=,∴∠ACP=∠ADC,又∠CAP=∠DAC,∴△ACP∽△ADC,∴=,即AC2=AP?AD,∴AP?AD=CQ?CB,選項④正確,則正確的選項序號有②③④．故答案為：②③④點評：此題考查了切線的性質,圓周角定理,相似三角形的判定與性質,以及三角形的外接圓與圓心,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．17．〔2012?XX在△ABC中,P是AB上的動點〔P異于A、B,過點P的直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線,簡記為P〔lx〔x為自然數．〔1如圖①,∠A=90°,∠B=∠C,當BP=2PA時,P〔l1、P〔l2都是過點P的△ABC的相似線〔其中l(wèi)1⊥BC,l2∥AC,此外,還有1條；〔2如圖②,∠C=90°,∠B=30°,當=或或時,P〔lx截得的三角形面積為△ABC面積的．考點：相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：〔1過點P作l3∥BC交AC于Q,則△APQ∽△ABC,l3是第3條相似線；〔2按照相似線的定義,找出所有符合條件的相似線．總共有4條,注意不要遺漏．解答：解：〔1存在另外1條相似線．如圖1所示,過點P作l3∥BC交AC于Q,則△APQ∽△ABC；故答案為：1；wWw.xKb1.coM〔2設P〔lx截得的三角形面積為S,S=S△ABC,則相似比為1：2．如圖2所示,共有4條相似線：①第1條l1,此時P為斜邊AB中點,l1∥AC,∴=；②第2條l2,此時P為斜邊AB中點,l2∥BC,∴=；③第3條l3,此時BP與BC為對應邊,且=,∴==；④第4條l4,此時AP與AC為對應邊,且=,∴==,∴=．故答案為：或或．點評：本題引入"相似線"的新定義,考查相似三角形的判定與性質和解直角三角形的運算；難點在于找出所有的相似線,不要遺漏．18．〔2012?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC．點D是AB的中點,連接CD,過點B作BG丄CD,分別交CD、CA于點E、F,與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連接DF．給出以下四個結論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結論序號是①③．考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形．專題：壓軸題．分析：首先根據題意易證得△AFG∽△CFB,根據相似三角形的對應邊成比例與BA=BC,繼而證得正確；由點D是AB的中點,易證得BC=2BD,由等角的余角相等,可得∠DBE=∠BCD,即可得AG=AB,繼而可得FG=BF；即可得AF=AC,又由等腰直角三角形的性質,可得AC=AB,即可求得AF=AB；則可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∴AB⊥BC,AG⊥AB,X|k|B|1.c|O|m∴AG∥BC,∴△AFG∽△CFB,∴,∵BA=BC,∴,故①正確；∵∠ABC=90°,BG⊥CD,∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°,∴∠DBE=∠BCD,∵AB=CB,點D是AB的中點,∴BD=AB=CB,∵tan∠BCD==,∴在Rt△ABG中,tan∠DBE==,∵=,∴FG=FB,∵GE≠BF,∴點F不是GE的中點．故②錯誤；∵△AFG∽△CFB,∴AF：CF=AG：BC=1：2,∴AF=AC,∵AC=AB,∴AF=AB,故③正確；∵BD=AB,AF=AC,∴S△ABC=6S△BDF,故④錯誤．故答案為：①③．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中,解題的關鍵是證得△AFG∽△CFB,注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．19．〔2012?XX如圖,n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點,△B1C1M1的面積為S1,△B2C2M2的面積為S2,…△BnCnMn的面積為Sn,則Sn=．〔用含n的式子表示新|課|標考點：相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點,即可求得△B1C1Mn的面積,又由BnCn∥B1C1,即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn,然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,求得答案．解答：解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點,∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=,S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=,S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=,S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=,S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=,∵BnCn∥B1C1,∴△BnCnMn∽△B1C1Mn,∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=〔2=〔2,即Sn：=,∴Sn=．故答案為：．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及直角三角形面積的公式．此題難度較大,注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應用是解此題的關鍵．20．〔2013?荊州如圖,△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形,在△ABC內作第1個內接正方形A1B1D1E1〔D1、E1在AB上,A1、B1分別在AC、BC上,再在△A1B1C內接同樣的方法作第2個內接正方形A2B2D2E2,…如此下去,操作n次,則第n個小正方形AnBnDnEn的邊長是．考點：相似三角形的判定與性質；等腰直角三角形．新課標第一網專題：規(guī)律型．分析：求出第一個、第二個、第三個內接正方形的邊長,總結規(guī)律可得出第n個小正方形AnBnDnEn的邊長．解答：解：∵∠A=∠B=45°,∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B,∴第一個內接正方形的邊長=AB=1；同理可得：第二個內接正方形的邊長=A1B1=AB=；第三個內接正方形的邊長=A2B2=AB=；故可推出第n個小正方形AnBnDnEn的邊長=AB=．故答案為：．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質,解答本題的關鍵是求出前幾個內接正方形的邊長,得出一般規(guī)律．三．解答題〔共8小題21．〔2013?XX如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉〔點P對應點P′,當AP旋轉至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E．〔1求證：∠CBP=∠ABP；〔2求證：AE=CP；〔3當,BP′=5時,求線段AB的長．考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1根據旋轉的性質可得AP=AP′,根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P,再根據等角的余角相等證明即可；〔2過點P作PD⊥AB于D,根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用"角角邊"證明△APD和△P′AE全等,根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP,從而得證；〔3設CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根據相似三角形對應邊成比例列式求出P′A=AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可．解答：〔1證明：∵AP′是AP旋轉得到,∴AP=AP′,∴∠APP′=∠AP′P,∵∠C=90°,AP′⊥AB,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,又∵∠BPC=∠APP′〔對頂角相等,∴∠CBP=∠ABP；〔2證明：如圖,過點P作PD⊥AB于D,∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP,∵P′E⊥AC,∴∠EAP′+∠AP′E=90°,又∵∠PAD+∠EAP′=90°,∴∠PAD=∠AP′E,在△APD和△P′AE中,,∴△APD≌△P′AE〔AAS,∴AE=DP,∴AE=CP；〔3解：∵=,∴設CP=3k,PE=2k,則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,在Rt△AEP′中,P′E==4k,∵∠C=90°,P′E⊥AC,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,∵∠BPC=∠EPP′〔對頂角相等,∴∠CBP=∠EP′P,又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′,∴=,即=,解得P′A=AB,在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,即AB2+AB2=〔52,解得AB=10．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質,旋轉的性質,角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質,〔2作輔助線構造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關鍵,〔3利用相似三角形對應邊成比例求出P′A=AB是解題的關鍵．22．〔2013?XX如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點,且OP∥BC,∠P=∠BAC．〔1求證：PA為⊙O的切線；〔2若OB=5,OP=,求AC的長．XkB1.com考點：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質．分析：〔1欲證明PA為⊙O的切線,只需證明OA⊥AP；〔2通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應邊成比例來求線段AC的長度．解答：〔1證明：∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC,∴∠AOP=∠B,∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°,∴由三角形內角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半徑,∴PA為⊙O的切線；〔2解：由〔1知,∠PAO=90°．∵OB=5,∴OA=OB=5．又∵OP=,∴在直角△APO中,根據勾股定理知PA==,由〔1知,∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P,∴△ABC∽△POA,∴=．∴=,解得AC=8．即AC的長度為8．點評：本題考查的知識點有切線的判定與性質,三角形相似的判定與性質,得到兩個三角形中的兩組對應角相等,進而得到兩個三角形相似,是解答〔2題的關鍵．23．〔2013?XX如圖,AB是⊙O的直徑,∠B=∠CAD．新|課|標|第|一|網〔1求證：AC是⊙O的切線；〔2若點E是的中點,連接AE交BC于點F,當BD=5,CD=4時,求AF的值．考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：〔1證明△ADC∽△BAC,可得∠BAC=∠ADC=90°,繼而可判斷AC是⊙O的切線．〔2根據〔1所得△ADC∽△BAC,可得出CA的長度,繼而判斷∠CFA=∠CAF,利用等腰三角形的性質得出AF的長度,繼而得出DF的長,在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．解答：解：〔1∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵∠B=∠CAD,∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,∴∠BAC=∠ADC=90°,∴BA⊥AC,∴AC是⊙O的切線．〔2∵△ADC∽△BAC〔已證,∴=,即AC2=BC×CD=36,解得：AC=6,在Rt△ACD中,AD==2,∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD,∴CA=CF=6,∴DF=CA﹣CD=2,在Rt△AFD中,AF==2．點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質,解答本題的關鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質,勾股定理的表達式．24．〔2013?襄陽如圖,△ABC內接于⊙O,且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D,過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥CD于點F．〔1求證：DP∥AB；〔2若AC=6,BC=8,求線段PD的長．XkB1.com考點：切線的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．專題：證明題；壓軸題．分析：〔1連結OD,由AB為⊙O的直徑,根據圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,再由ACD=∠BCD=45°,則∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB為等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根據切線的性質得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB；〔2先根據勾股定理計算出AB=10,由于△DAB為等腰直角三角形,可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形,得到AE=CE==3,在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=4,則CD=7,易證得∴△PDA∽△PCD,得到===,所以PA=PD,PC=PD,然后利用PC=PA+AC可計算出PD．解答：〔1證明：連結OD,如圖,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵∠ACB的平分線交⊙O于點D,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠DAB=∠ABD=45°,∴△DAB為等腰直角三角形,∴DO⊥AB,∵PD為⊙O的切線,∴OD⊥PD,∴DP∥AB；〔2解：在Rt△ACB中,AB==10,∵△DAB為等腰直角三角形,∴AD===5,∵AE⊥CD,∴△ACE為等腰直角三角形,∴AE=CE===3,在Rt△AED中,DE===4,∴CD=CE+DE=3+4=7,∵AB∥PD,∴∠PDA=∠DAB=45°,∴∠APD=∠PCD,而∠DPA=∠CPD,∴△PDA∽△PCD,∴===,新|課|標|第|一|網∴PA=PD,PC=PD,而PC=PA+AC,∴PD+6=PD,∴PD=．點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質和三角形相似的判定與性質．25．〔2013?XX在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,點E為AB的中點,EC與AD交于點G,點F在BC上．〔1如圖1,AC：AB=1：2,EF⊥CB,求證：EF=CD．〔2如圖2,AC：AB=1：,EF⊥CE,求EF：EG的值．考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．專題：壓軸題．分析：〔1根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點,得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD；〔2作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF：EG=EQ：EH,然后在△BEQ中,根據正弦函數的定義得出EQ=BE,在△AEH中,根據余弦函數的定義得出EH=AE,又BE=AE,進而求出EF：EG的值．解答：〔1證明：如圖1,在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2,∴AB=2AC,∵點E為AB的中點,∴AB=2BE,∴AC=BE．在△ACD與△BEF中,,∴△ACD≌△BEF,∴CD=EF,即EF=CD；〔2解：如圖2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,∴四邊形EQDH是矩形,∴∠QEH=90°,∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,又∵∠EQF=∠EHG=90°,∴△EFQ∽△EGH,∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：,∠CAB=90°,∴∠B=30°．在△BEQ中,∵∠BQE=90°,∴sin∠B==,wWw.xKb1.coM∴EQ=BE．在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH==,∴EH=AE．∵點E為AB的中點,∴BE=AE,∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質,解直角三角形,綜合性較強,有一定難度．解題的關鍵是作輔助線,構造相似三角形,并且證明四邊形EQDH是矩形．26．〔2013?XX如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延長線于點E．〔1求證