初中數(shù)學(xué)-三角形內(nèi)角和定理的證明教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1、掌握”三角形內(nèi)角和定理“的證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2、通過一題多解，一題多變等，初步體會(huì)思維的多向性.教學(xué)重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法.教學(xué)過程一、動(dòng)畫情境，引入新課上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理，請(qǐng)問內(nèi)容是什么？生：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180゜.問：180゜你聯(lián)想到了什么？生：平角180゜；平行線形成的同旁內(nèi)角的和是180゜.請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察這個(gè)動(dòng)畫：Flash動(dòng)畫截圖：二、講授新課1、創(chuàng)設(shè)情境把動(dòng)畫進(jìn)行二次再現(xiàn)：?jiǎn)枺簭倪@個(gè)動(dòng)畫當(dāng)中，你發(fā)現(xiàn)了什么？你受到了什么啟示？生：觀察動(dòng)畫，我們有如下啟示：1、可以利用平行線實(shí)現(xiàn)角的“移動(dòng)”.2、借助三角形的頂點(diǎn)“移動(dòng)”角,可以少“移動(dòng)”一個(gè)角.2、合作探究問：動(dòng)畫中是如何利用平行線實(shí)現(xiàn)角的移動(dòng)的？生：借助頂點(diǎn)C，利用平行線實(shí)現(xiàn)角的“移動(dòng)”：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.同位角相等.問：從動(dòng)畫的啟示得知：要證明定理，我們必須做輔助線，這里我們?nèi)绾巫鲚o助線呢？生：作BC延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥BA.（學(xué)生演示）注意：1、這里的CD，CE稱為輔助線，通常輔助線畫成虛線.2、所作的輔助線是證明的一個(gè)重要組成部分,要在證明時(shí)首先敘述出來.請(qǐng)同學(xué)們把根據(jù)動(dòng)畫啟示得到的方法的證明過程寫下來。（一生板演）已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°證明：作BC延長(zhǎng)線CD。過點(diǎn)C作射線CE∥BA則∠ACE=∠A﹙兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等﹚∠DCE=∠B﹙兩直線平行，同位角相等﹚∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°﹙平角定義﹚∴∠BCA+∠A+∠B=180°﹙等量代換﹚問：添加輔助線有什么目的？生：1、利用平行線實(shí)現(xiàn)角的“移動(dòng)”.2、構(gòu)造平角或同旁內(nèi)角.問：還有其他證明方法嗎？請(qǐng)把你們預(yù)習(xí)成果在小組內(nèi)交流.（3分鐘后）各個(gè)小組組長(zhǎng)互相交流每個(gè)小組匯總的方法，每人證明一種，盡量不重復(fù)，板演在后面黑板上.已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°多種添加輔助線的證明方法：（學(xué)生盡可能的尋找多種方法）方法二：把三個(gè)角“湊”到A處,他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC.證明:過點(diǎn)A作PQ∥BC,則∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).注意：所作的輔助線是證明的一個(gè)重要組成部分,要在證明時(shí)首先敘述出來.方法三：證明：過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)方法四：證明：過點(diǎn)P作PQ∥AC交AB于Q點(diǎn)，作PR∥AB交AC于R點(diǎn)?！逷Q∥AC∴∠PRC=∠A（兩直線平行，同位角相等）∵PR∥AB∴∠QPR=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠RPC=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠QPB=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）方法五：過A點(diǎn)作射線AD，過Ｂ點(diǎn)作BE∥AD，過C點(diǎn)作CF∥AD 則BE∥CF（平行與同一條直線的兩直線平行）∴∠1=∠2，∠3=∠4∠EBC+∠FCB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4=180°又∵∠BAC=∠2+∠3∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代換）方法六：在△ABC內(nèi)任找一點(diǎn)O，連接AO、BO、CO，即把△ABC分成三個(gè)三角形，即△AOB、△AOC、△BOC，由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和相等，故可得等量關(guān)系△AOB、△AOC、△BOC三個(gè)的內(nèi)角和減去360就是△ABC的內(nèi)角和。解：設(shè)△ABC的內(nèi)角和為X，于是有方程3X－360°=X解得X=180°即三角形的內(nèi)角和為180°3、用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)前面大家用這么多方法證明了定理，接下來我們要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)和理解定理：請(qǐng)同學(xué)們觀察：用橡皮筋構(gòu)成△ABC,其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)，放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，請(qǐng)同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形……其內(nèi)角會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？（教師演示，講解，接下來學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)驗(yàn)證）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，∠A越來越趨近于0°，而AB與AC逐漸趨向平行，這時(shí)，∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角，即∠B+∠C接近于180°。用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué):在△ABC中,如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“壓”向BC,那么當(dāng)點(diǎn)A越來越接近BC時(shí),∠A就越來越大(越來越接近180°),而∠B和∠C,越來越小(越來越接近0°).由此你能想到什么?如果BC不動(dòng),把點(diǎn)A“拉離”BC,那么當(dāng)A越來越遠(yuǎn)離BC時(shí),∠A就越來越小(越來越接近0°),而∠B和∠C則越來越大,它們的和越來越接近180°,當(dāng)把點(diǎn)A拉到無窮遠(yuǎn)時(shí),便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內(nèi)角,它們的和等于180°.由此你能想到什么?4、利用幾何畫板驗(yàn)證定理橡皮筋的驗(yàn)證，每個(gè)角度不夠準(zhǔn)確，老師要借助幾何畫板軟件來科學(xué)的、準(zhǔn)確的驗(yàn)證定理，請(qǐng)同學(xué)們觀察：（教師拖動(dòng)定點(diǎn)，讓學(xué)生觀察角的變化和三角形三個(gè)角和的變化）問：角的度數(shù)怎么變化的？三個(gè)角的和變化了嗎？請(qǐng)同學(xué)們得出結(jié)論：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是180゜.5、典例分析學(xué)生展示交流預(yù)習(xí)成果（例1、例2、例3），質(zhì)疑、糾正錯(cuò)誤，典型錯(cuò)誤通過投影儀全班交流.例1如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝38゜，∠ACB＝62゜，AD平分∠BAC，求∠ADB的度數(shù)。證明：在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180゜∵∠ABC＝38゜，∠ACB＝62゜∴∠BAC=80゜∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=40゜在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180゜∵∠B＝38゜，∠BAD＝40゜∴∠ADB=102゜例2、證明：直角三角形的兩銳角互余。已知：在△ABC中，∠C＝90゜求證：∠A＋∠B＝90゜證明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形內(nèi)角和定理）∠C=90゜（已知）∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代換）∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜（等式性質(zhì)）即∠A+∠B=90゜結(jié)論:直角三角形的兩個(gè)銳角互余.以后可以直接運(yùn)用.例3、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60゜,∠C=70゜.

求證：∠ADE=50゜證明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=70゜（等量代換）∵∠A+∠AED+∠ADE=180゜（三角形的內(nèi)角和定理）∠A=60゜（已知）∴∠ADE=180゜—60゜—70゜=50゜（等量代換）即∠ADE=50゜4、糖果競(jìng)賽1．如果三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，那么每一個(gè)角的度數(shù)等于_______°2．在△ABC中，若∠A=40°,∠B=∠C，則∠B=_____°3．在△ABC中，若∠C=90°,∠A=25°，則∠B=_____°4．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠C=_______°5．△ABC中，若∠A=30°，∠B=2∠C，則∠C=_____°6．△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分線，則∠DAC的度數(shù)為_____°7．在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，則∠B的度數(shù)是_____°8．△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，則△ABC是__________三角形．9．△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，∠B=63°，則∠DCA=_____°10．如圖，在△ABC中，DE⊥AB于E，∠B=50°，∠CFD=60°，則∠ACB=______°11．已知：如圖，AB∥CD，AD∥BC，∠1=50°，∠2=80°．求∠C的度數(shù)．12．如圖，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．5、課堂小結(jié)這堂課，我們證明了一個(gè)很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180゜.表達(dá)式：△ABC中,∠A+∠B+∠C=180゜.∠A+∠B+∠C=180゜的幾種變形:∠A=180゜–(∠B+∠C).∠B=180゜–(∠A+∠C).∠C=180゜–(∠A+∠B).∠A+∠B=180゜-∠C.∠B+∠C=180゜-∠A.∠A+∠C=180゜-∠B.6、課后思考請(qǐng)同學(xué)們課后思考，注意有兩種方法.如圖，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求證：AB∥CD（用兩種方法證明）7、結(jié)束寄語由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.是探索證明思路的基本方法.8、作業(yè)布置：課本習(xí)題第1、2題（必做）第3題（選做）4題（延伸）.教學(xué)反思：

在教學(xué)中采用小組討論、小組競(jìng)賽、板演等形式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性。特別是由動(dòng)畫得出“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論的過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用多種方法來證明這個(gè)結(jié)論，開展“糖果競(jìng)賽”，讓學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，營(yíng)造生動(dòng)有趣、活潑和諧的課堂氣氛。課堂教學(xué)充分發(fā)揮課件輔助教學(xué)的作用，將知識(shí)形象化、生動(dòng)化、具體化。重視數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)，并及時(shí)指導(dǎo)歸納總結(jié)。尊重學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重視培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、歸納問題的能力和一題多解，一題多法的創(chuàng)新能力，使不同程度的學(xué)生都有不同的收獲和發(fā)展。為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我對(duì)教材做了少量的補(bǔ)充和擴(kuò)展，利用多媒體直觀形象、節(jié)省時(shí)間的特點(diǎn)，動(dòng)畫演示再現(xiàn)學(xué)生拼圖過程、解題過程，引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)角度直觀地思考問題，幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)。學(xué)情分析（1）學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)：七年級(jí)學(xué)生，思維活躍，求知欲強(qiáng)，有了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，用教師引導(dǎo)下的自主探索的教學(xué)方式，給他們充分的時(shí)間、空間，不僅使他們學(xué)會(huì)動(dòng)腦思考，動(dòng)手實(shí)踐，體會(huì)思維的多向性，而且還使他們感受學(xué)習(xí)過程中與他人合作的必要性，體會(huì)成功的喜悅。

（2）學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容的知識(shí)關(guān)聯(lián)區(qū)：上學(xué)期學(xué)生用撕紙和簡(jiǎn)單說理證明了三角形的內(nèi)角和是180°，而本節(jié)課是讓學(xué)生初步感受當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)會(huì)解決的情況，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想。輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中常用的方法，而輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，所以添加輔助線找到多種證明方法是本節(jié)課的難點(diǎn)。（3）初二（1）班學(xué)生思維活躍，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，大部分學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下完成學(xué)習(xí)任務(wù)。學(xué)生表現(xiàn)欲不強(qiáng)，課堂氣氛略顯沉悶。在本節(jié)課教學(xué)中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，充分激發(fā)學(xué)生思維沖突，使學(xué)生能夠充分投入地進(jìn)行合作探究。效果分析

在教學(xué)中采用小組討論、糖果競(jìng)賽、板演等形式，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性。特別是由動(dòng)畫得出“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用多種方法來證明這個(gè)結(jié)論，開展小組競(jìng)賽，讓學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，營(yíng)造生動(dòng)有趣、活潑和諧的課堂氣氛。課堂教學(xué)充分發(fā)揮課件輔助教學(xué)的作用，將知識(shí)形象化、生動(dòng)化、具體化。重視數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)，并及時(shí)指導(dǎo)歸納總結(jié)。尊重學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重視培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、歸納問題的能力和一題多解，一題多法的創(chuàng)新能力，使不同程度的學(xué)生都有不同的收獲和發(fā)展。為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我對(duì)教材做了少量的補(bǔ)充和擴(kuò)展，利用多媒體直觀形象、節(jié)省時(shí)間的特點(diǎn)，動(dòng)畫演示再現(xiàn)學(xué)生拼圖過程，引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)角度直觀地思考問題，幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)。教材分析本節(jié)課是魯教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第八章第六節(jié)的內(nèi)容。三角形的內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，這個(gè)定理是任意三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后知識(shí)的基礎(chǔ)，并且是計(jì)算角的度數(shù)的方法之一。在解決四邊形和多邊形的內(nèi)角和時(shí)都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決。其中輔助線的作法、把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)、用代數(shù)方法解決幾何問題，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，三角形內(nèi)角和定理在理論和實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。（1）課標(biāo)要求：使學(xué)生理解三角形的邊角位置關(guān)系，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算有關(guān)角度的問題。

（2）地位與作用：本課時(shí)主要探究、證明和運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理。為探究多邊形內(nèi)角和提供了基礎(chǔ)，同時(shí)，通過對(duì)內(nèi)角和定理得證明，訓(xùn)練學(xué)生的推理證明能力。為四邊形、圓的學(xué)習(xí)作鋪墊。（3）新舊知識(shí)聯(lián)系與對(duì)比：小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)對(duì)三角形內(nèi)角和180度有了感性的識(shí)記認(rèn)識(shí)。中學(xué)階段七年級(jí)上冊(cè)再一次認(rèn)識(shí)并證明了三角形內(nèi)角和定理。在此基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠通過親身探究，多方法推理證明，得出三角形內(nèi)角和定理并實(shí)現(xiàn)對(duì)定理的靈活運(yùn)用。評(píng)測(cè)練習(xí)課標(biāo)要求：探索并證明三角形的內(nèi)角和定理知識(shí)點(diǎn)：1、會(huì)證明三角形內(nèi)角和定理。2、會(huì)利用輔助線證明幾何題3、會(huì)應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行變形練習(xí)A層（夯實(shí)基礎(chǔ)）ABABCDEA.∠AED>∠BEDB.∠AED<∠BED；C.∠AED=∠BEDD.無法確定2.關(guān)于三角形內(nèi)角的敘述錯(cuò)誤的是()A.三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180°；B.三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于60°C.三角形中至少有一個(gè)角不小于60°；D.一個(gè)三角形中最大的角所對(duì)的邊最長(zhǎng)3.下列敘述正確的是()A.鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和；B.三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于第三個(gè)內(nèi)角；C.三角形中至少有兩個(gè)銳角；D.三角形中至少有一個(gè)銳角.4.△ABC中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,則△ABC是()ABABCDB層（強(qiáng)化訓(xùn)練）1.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,則△ABC是________三角形.2.在△ABC中,∠A=∠B=110∠C,則∠C=_______.3.在△ABC中,∠A+∠B=120°,∠A-∠B+?∠C=?120?°,?則∠A=?_______,?∠B=______.4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,則∠B=∠________,∠C=____