第十章 量綱分析

第十章量綱分析第一頁，共十九頁，2022年，8月28日國(guó)際單位制(SI)中，常用的基本量綱為：LTM在工程單位制中，常用的基本量綱為：LTF導(dǎo)出量綱：式中：純數(shù)的特點(diǎn)：1）既無量綱又無單位2）數(shù)值大小與所選的單位無關(guān)【例2】量綱公式10.1P2有壓管流：Recr=2000第二頁，共十九頁，2022年，8月28日4、量綱和諧原理一個(gè)完整的、正確反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項(xiàng)物理量的量綱是一致的。用途：1）檢驗(yàn)方程的正確性和完整性（經(jīng)驗(yàn)公式除外）。2）確定公式中物理量的指數(shù)，建立物理方程。二、量綱分析法1、瑞利（Rayleigh）法某一物理現(xiàn)象y同x1、x2、‥xn因素有關(guān)。式中：k為純數(shù)，α1、α2、αn為待定指數(shù)。寫出量綱式：式中：a、b、c、ai、bi、ci均為已知。10.1P3第三頁，共十九頁，2022年，8月28日從而求出待定指數(shù)瑞利法的局限：影響因素n＞3時(shí)，(n-3)個(gè)指數(shù)非唯一解?！纠?】實(shí)驗(yàn)表明：有壓管流的下臨界流速vcr與管徑d、密度ρ、動(dòng)力粘滯系數(shù)數(shù)μ有關(guān)，試用量綱分析法確定其函數(shù)關(guān)系。【解】10.1P4第四頁，共十九頁，2022年，8月28日10.1P5第五頁，共十九頁，2022年，8月28日2、π定理（Buckingham定理）若某一物理現(xiàn)象包含n個(gè)物理量，即涉及到m個(gè)基本量綱，則該物理過程可表達(dá)成由n個(gè)物理量構(gòu)成的（n-m）個(gè)量綱一的量（無量綱量）所組成的關(guān)系式。π定理解題步驟：1）確定和物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量x1、x2、xn。寫出方程2）確定n個(gè)物理量中包含的基本量綱的數(shù)目m；并選擇m個(gè)基本物理量一般情況下，m≤3?；疚锢砹康牧烤V應(yīng)是獨(dú)立的，即不能組成一個(gè)無量綱量。10.1P6第六頁，共十九頁，2022年，8月28日

通常分別選擇幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的量各一即可。3）組成量綱一的量π1、π2、…

πn-m。

式中：

10.1P7量綱獨(dú)立第七頁，共十九頁，2022年，8月28日4）由量綱和諧原理確定各變量指數(shù)αi、βi、γi，從而確定πi。5）組成無量綱表達(dá)式?！纠?】分析表明：總流邊界單位面積上的切應(yīng)力τ0，與流體的密度ρ、動(dòng)力粘度μ、平均流速v、斷面特性幾何尺寸（例如管徑d、水力半徑R）及壁面粗糙高度Δ有關(guān)，令沿程阻力系數(shù)λ＝8f(Re，Δ/d)，試證明：【解】1）確定物理量：τ0、ρ、μ、v、d、Δ；2）確定基本物理量：ρ、v、d；m=33）組成量綱一的量π1、π2、π3。10.1P8第八頁，共十九頁，2022年，8月28日4）確定各變量指數(shù)αi、βi、γi，從而確定πi。對(duì)π1：對(duì)π2：

10.1P9第九頁，共十九頁，2022年，8月28日對(duì)π3：5）組成無量綱表達(dá)式。10.1P10第十頁，共十九頁，2022年，8月28日§10.2流動(dòng)相似流動(dòng)相似的概念是幾何相似的擴(kuò)展一、流動(dòng)相似的概念若兩個(gè)流動(dòng)（原型和模型）對(duì)應(yīng)點(diǎn)上各同名物理量之間存在一定的比例，則兩流動(dòng)相似。標(biāo)量：對(duì)應(yīng)點(diǎn)物理量大小成固定比例；矢量：對(duì)應(yīng)點(diǎn)物理量大小成比例，方向相同。1、幾何相似兩流動(dòng)（原型和模型）的流場(chǎng)幾何形狀相似，對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度都成一定的比例關(guān)系。10.2P1流動(dòng)相似包括幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件相似邊界條件相似流動(dòng)相似的充分必要條件第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日下標(biāo)“p”：原型中的物理量下標(biāo)“m”：模型中的物理量原型和模型各相應(yīng)物理量的比例稱為比尺，用“λ”表示。正態(tài)模型:長(zhǎng)、寬、高均采用同一個(gè)長(zhǎng)度比尺的模型。2、運(yùn)動(dòng)相似：兩流動(dòng)的流速場(chǎng)及加速度場(chǎng)相似。

10.2P2速度比尺：第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日3、動(dòng)力相似兩個(gè)流動(dòng)的力場(chǎng)幾何相似。即對(duì)應(yīng)點(diǎn)上相同性質(zhì)的力方向相同，大小成一固定的比例關(guān)系。時(shí)間比尺：加速度比尺：牛頓一般相似原理10.2P3第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日二、相似準(zhǔn)則在某種流動(dòng)狀態(tài)中，只考慮其中起主要作用的力的流動(dòng)相似條件稱為相似準(zhǔn)則。1、重力相似準(zhǔn)則（弗勞德相似準(zhǔn)則）：重力起主導(dǎo)作用10.2P4Fr物理意義：慣性力與重力之比第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日2、粘滯力相似準(zhǔn)則（雷諾相似準(zhǔn)則）：粘滯力起主導(dǎo)作用三、模型試驗(yàn)需解決的問題：1）模型設(shè)計(jì)，即長(zhǎng)度比尺λl的確定。2）模型律的選擇。10.2P5Re物理意義：慣性力與粘滯力之比第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日1、雷諾模型：按粘滯力相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)模型適用：粘滯力起主導(dǎo)作用的流動(dòng)。如：有壓管流。若原型和模型采用同種溫度的相同液體，即則：10.2P6即：第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日特別要注意的問題：對(duì)有壓管流，在紊流的阻力平方區(qū)，說明：在紊流的阻力平方區(qū)，相對(duì)粗糙高度是引起損失的主要因素，而粘滯力則次之。因次，兩流動(dòng)只要滿足即可自動(dòng)滿足流動(dòng)相似。自動(dòng)模型區(qū)，簡(jiǎn)稱“自模區(qū)”?！纠?】有一直徑dp=20㎝的輸油管，油的v＝40×10－6㎡/s，其流量Q＝0.01m3/s。若模型試驗(yàn)采用dm=5㎝的圓管，試求：用20℃的水（v＝1.003×10－6㎡/s）作實(shí)驗(yàn)時(shí)的流量。【解】油的流速10.2P7第十七頁，共十九頁，2022年，8月28日選用雷諾模型10.2P8層流第十八頁，共十九頁，2022年，8