第六章二次型

第六章二次型第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二次型及其矩陣表示矩陣合同在平面解析幾何中，為便于識(shí)別曲線的類型、研究曲線的幾何性質(zhì)，可以坐標(biāo)變換（二次曲線）（標(biāo)準(zhǔn)型）第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二次型定義及其矩陣表示定義1

含有n個(gè)變量的稱為二次型.二次齊次函數(shù)第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日記則二次型可記作

第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日其中A為對(duì)稱矩陣（）.第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二次型用矩陣記號(hào)寫出來(lái)第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日因此二次型一一對(duì)應(yīng)對(duì)稱矩陣任給一個(gè)二次型,就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之,任給一個(gè)對(duì)稱矩陣,也可唯一地確定一個(gè)二次型.我們把對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對(duì)稱矩陣A的二次型.對(duì)稱矩陣A的秩就叫做二次型f的秩.第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例1已知二次型解

二次型f的矩陣為

由知，即的秩為2，求參數(shù)c.第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的合同對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換

第十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日或使二次型只含平方項(xiàng)(二次型的標(biāo)準(zhǔn)形或法式),也就是將線性變換（1）代入二次型，能使定義2（線性變換定義的擴(kuò)充）的線性變換（1）的系數(shù)矩陣為記從變量到變量第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)C是滿秩矩陣時(shí)，稱（1）為滿秩(線性)變換（或非退化變換）.當(dāng)C是降秩矩陣時(shí)，稱（1）為降秩（線性）變換（或退化變換）.當(dāng)C是正交矩陣時(shí)，稱（1）為正交變換.第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日定義3設(shè)為兩個(gè)

階方陣定理1若矩陣

與

合同，則

與

等價(jià)，合同性質(zhì)：（1）反身性（2）對(duì)稱性（3）傳遞性如果存在可逆矩陣，使則稱矩陣與合同，或

合同于

.且第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例2設(shè)和

為實(shí)對(duì)稱矩陣，則由與相似可推出與

合同，反之不然.證由與

相似可知，與有相同的特征值又由和都是實(shí)對(duì)稱矩陣可知，存在正交矩陣和使得和都與對(duì)角矩陣相似，即第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日從而記，則由有于是，即與

合同.第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日反之，雖然都是實(shí)對(duì)稱矩陣，且取有，即與合同.第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日但由于對(duì)任意可逆矩陣故和不相似，反例說(shuō)明，在所給條件下合同不一定相似.第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，就是對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣（1）正交變換法定理1對(duì)于二次型，尋找可逆矩陣，使成對(duì)角矩陣.總有正交變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)形是的矩陣的特征值第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例1求一個(gè)正交變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并指出方程表示何種二次曲面第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日解二次型的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日于是的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系單位化即得第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，解方程組得基礎(chǔ)解系第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日將正交化，令再將單位化，第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日令于是所求的正交變換為第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形顯然，表示的二次曲面為單葉雙曲面.（2）配方法例2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日解先將含的項(xiàng)配方,有再對(duì)后面含有的項(xiàng)配方，有第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日令即第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日所求的滿秩變換為相應(yīng)的變換矩陣為將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日（3）初等變換法構(gòu)造矩陣，對(duì)每施以一次初等行變換，就對(duì)施行一次同種的初等列變換；當(dāng)

化為對(duì)角矩陣時(shí)，將化為滿秩矩陣；得到滿秩線性變換及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例3用初等變換法化例1中的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作的滿秩線性變換.解二次型的矩陣為第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日于是第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日令則所求的滿秩線性變換為將原二次型化為第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)比較例1和例3的結(jié)果可以看到，用不同的滿秩線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形一般是不同的，但有兩點(diǎn)是相同的：標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，即二次型的秩.標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)和負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日慣性定理和二次型的正定性慣性定理和規(guī)范形

定理1設(shè)實(shí)二次型的秩為，使標(biāo)準(zhǔn)型有兩個(gè)實(shí)滿秩變換及第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日及則，且稱

為二次型（或矩陣）的這個(gè)定理稱為慣性定理.正慣性指數(shù)為二次型（或矩陣）的負(fù)慣性指數(shù)第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)二次型

的標(biāo)準(zhǔn)形再作滿秩變換第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日則有稱之為二次型的規(guī)范形.定理2實(shí)對(duì)稱矩陣與合同的充分必要條件是

與

有相同的規(guī)范形.第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日二次型的正定性

定義1設(shè)實(shí)二次型，如果對(duì)任何都有（顯然）則稱為正定二次型，并稱對(duì)稱矩陣是正定的,記作；如果對(duì)任何，都有則稱為負(fù)定二次型，并稱對(duì)稱矩陣是負(fù)定的,記作.第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例1設(shè)均為階正定矩陣，，證明為正定矩陣.

證由為正定矩陣，故對(duì)任意非零向量所以為正定矩陣.而于是第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日定理3若是階實(shí)對(duì)稱矩陣,則下列命題等價(jià)（1）是正定二次型(或是正定矩陣)；（2）的個(gè)特征值全為正；（3）的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正；（4）的正慣性指數(shù)為；（5）與單位矩陣合同（或?yàn)?/p>

的規(guī)范形）第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日（6）存在可逆矩陣

，使；（7）的各階順序主子式都為正，即第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證(1)＝＞(2)由實(shí)二次型的性質(zhì)知，存在正交變換，分別取其中為的特征值.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日相應(yīng)地，使又由二次型的正定性可知，顯然.因?yàn)榕c合同，故存在可逆矩陣使即取即可.第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)任意，有，于是等價(jià)條件（7）在此不予證明.第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日例2設(shè)二次型試問(wèn)

為何值時(shí)，該二次型為正定二次型.解該二次型的矩陣為第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由定理3可知，要為正定矩陣，則解之得即當(dāng)時(shí)，該二次型為正定二次型.第四十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日定理4若

是

階實(shí)對(duì)稱矩陣,則下列命題等價(jià)（1）是負(fù)定二次型(或