第四章無約束優(yōu)化方法

第四章無約束優(yōu)化方法第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日解析法數(shù)值法數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時不便求解可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計問題搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。無約束優(yōu)化方法分類利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)利用目標(biāo)函數(shù)值（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）（坐標(biāo)輪換法、鮑威爾等）第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二節(jié)最速下降法優(yōu)化設(shè)計追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點附近的范圍內(nèi)下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：以負(fù)梯度方向為搜索方向，所以稱最速下降法或梯度法。搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長因子即求一維搜索的最佳步長，既有第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日例4-1求目標(biāo)函數(shù)的極小點。第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三節(jié)牛頓型方法在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。得出一維情況下的牛頓迭代公式對于多元函數(shù)，在泰勒展開，得設(shè)為函數(shù)的極小點，根據(jù)極值的必要條件第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。例4-2用牛頓法求的極小值。對牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日第四節(jié)共軛方向及共軛方向法為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。一、共軛方向的概念共軛方向的概念是在研究二次函數(shù)時引出的。首先考慮二維情況第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日如果按最速下降法，選擇負(fù)梯度方向為搜索方向，會產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極小點，如果選定這樣的搜索方向，對于二元二次函數(shù)只需進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點。第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日應(yīng)滿足什么條件？對于二次函數(shù)在處取得極小點的必要條件等式兩邊同乘得是對G的共軛方向。第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、共軛方向法1、選定初始點，下降方向和收斂精度ε，k=0。2、沿方向進(jìn)行一維搜索，得3、判斷是否滿足，若滿足則打印否則轉(zhuǎn)4。4、提供新的共軛方向，使5、置，轉(zhuǎn)2。第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日第五節(jié)共軛梯度法共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點的負(fù)梯度構(gòu)造出來，所以稱共軛梯度法。從點出發(fā)，沿G某一共軛方向作一維搜索,到達(dá)而在點、處的梯度分別為：第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日得出共軛方向與梯度之間的關(guān)系。此式表明沿方向進(jìn)行一維搜索，其終點與始點的梯度值差與的共軛方向正交。第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日圖4-9共軛梯度法的幾何說明第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日第六節(jié)變尺度法變尺度法的基本思想：前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列公式的特例。變尺度法是對牛頓法的修正，它不是計算二階導(dǎo)數(shù)的矩陣和它的逆矩陣，而是設(shè)法構(gòu)造一個對稱正定矩陣H來代替Hesse矩陣的逆矩陣。并在迭代過程中，使其逐漸逼近H-1。由于對稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、尺度矩陣的概念變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標(biāo)。通過尺度變換可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。對于一般二次函數(shù)如果進(jìn)行尺度變換第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項變?yōu)檫x擇這樣變換的目的：降低二次項的偏心程度。若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱?。用Q-1右乘等式兩邊，得再用Q左乘等式兩邊，得所以第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日說明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過尺度變換矩陣Q求得。這樣，牛頓法迭代過程中的牛頓方向可寫成：三、變尺度法的一般步驟第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第七節(jié)坐標(biāo)輪換法坐標(biāo)輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問題。因此又稱變量輪換法。其基本原理是將一個多維的無約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列較低維的最優(yōu)化問題來求解，簡單地說，就是先將(n-1)個變量固定不動，只對第一個變量進(jìn)行一維搜索得到最優(yōu)點x1（1）。然后，又保持(n-1)個變量不變，再對第二個變量進(jìn)行一維搜索到x2（1）等等。第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日圖4－12坐標(biāo)輪換法原理圖（動畫演示）第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日2.搜索方向與步長的確定（1）搜索方向的確定對于第k輪第i次的計算第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.搜索步長的確定關(guān)于值通常有以下幾種取法（1）加速步長法（2）最優(yōu)步長法最優(yōu)步長法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即此時可以采用0.618方法或二次插值方法來計算的值。第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日圖4－13加速步長法的搜索路線第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日圖4－14最優(yōu)步長法的搜索路線第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日4.坐標(biāo)輪換法存在的問題圖4－15坐標(biāo)輪換法在各種不同情況下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無效第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日第八節(jié)Powell法（方向加速法）

Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質(zhì)所形成的一種搜索算法。一、共軛方向的生成第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、基本算法第三十六頁，共三十八頁，2022年，8