第六節(jié) 函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)

第六節(jié)函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日（一）函數(shù)的奇偶性§1.6函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)（二）函數(shù)的周期性

（三）函數(shù)的單調(diào)性

（四）函數(shù)的有界性第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日【定義1.10】設(shè)函數(shù)（1）如果對所有的，則稱為偶函數(shù)。（2）如果對所有的，則稱為奇函數(shù)。第一章函數(shù)（一）函數(shù)的奇偶性有有第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日

奇偶函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱如圖所示偶函數(shù)奇函數(shù)第一章函數(shù)第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日奇函數(shù)奇函數(shù)＝奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)＝偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)＝非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)＝偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)＝偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)＝奇函數(shù)第一章函數(shù)第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日證令因此，是偶函數(shù)。證畢.第一章函數(shù)證明是偶函數(shù)。例1設(shè)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日例2設(shè)函數(shù)，

解因此，函數(shù)為偶函數(shù)。如圖所示第一章函數(shù)討論其奇偶性第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例3設(shè)函數(shù)，

解因此，函數(shù)為奇函數(shù)。如圖所示第一章函數(shù)討論其奇偶性第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4設(shè)函數(shù)，

解因為所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。如圖所示第一章函數(shù)討論其奇偶性第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日

（二）函數(shù)的周期性

【定義1.11】設(shè)函數(shù)，中學(xué)已經(jīng)學(xué)過：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)都是周期函數(shù)。第一章函數(shù)常數(shù)，函數(shù)為周期函數(shù)。，若存在正使得恒成立，則稱此滿足這個等式的最小的正數(shù)通常稱為函數(shù)的周期。第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日周期是周期是正弦和余弦的圖形如下第一章函數(shù)第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日正切和余切的圖形周期是周期是第一章函數(shù)第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日

（三）函數(shù)的單調(diào)增減性【定義1.12】設(shè)函數(shù)對區(qū)間第一章函數(shù)內(nèi)的任意兩點和：在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的（或稱單調(diào)增）；則稱此函數(shù)當時，有，當時，有，在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的（或稱單調(diào)減）。則稱此函數(shù)第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日如圖所示單調(diào)增加單調(diào)減少第一章函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)的圖形是沿軸正向逐漸上升的；下降的。單調(diào)減少函數(shù)的圖形是沿軸正向逐漸第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日例5判斷函數(shù)的單調(diào)性。

解對任意的，若，即故函數(shù)單調(diào)遞增。如圖所示第一章函數(shù)則第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日例6判斷函數(shù)的單調(diào)性。

解對任意的，有在內(nèi)，即在此區(qū)間內(nèi)，在內(nèi)，即在此區(qū)間內(nèi)，因此在內(nèi)，第一章函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減。函數(shù)單調(diào)遞增。若，有若，有不是單調(diào)函數(shù)。第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日如圖所示一般稱為此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間第一章函數(shù)第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日

（四）函數(shù)的有界性【定義1.13】設(shè)函數(shù)在區(qū)間

無界的定義可敘述為對任意的正數(shù)，第一章函數(shù)內(nèi)有定義（可以是函數(shù)的整個定義域，可是定義域的一部分）。也所有的，內(nèi)有界。否則，稱函數(shù)在內(nèi)無界。若存在正數(shù)，對于恒有，則稱函數(shù)在總存在，使得稱函數(shù)在內(nèi)無界。第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

例如函數(shù)在內(nèi)有界。對任意的實數(shù)，函數(shù)在上無界。的正數(shù)，就有但函數(shù)在上有界，所以，函數(shù)在上無界。第一章函數(shù)因為，恒有。因為，對任意只要取實數(shù)因為在此區(qū)間上有第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日函數(shù)有界性與討論的區(qū)間有關(guān)

對函數(shù)有界性的討論，需要注意函數(shù)的界不唯一函數(shù)有界要既有上界又有下界第一章函數(shù)第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)2.函數(shù)的周期性3.函數(shù)的單調(diào)性增減4.函數(shù)的有界性作業(yè)P4342--49第一章函數(shù)第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日備用題

1.證明狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)是周期函數(shù)。證有理數(shù)＋有理數(shù)＝有理數(shù)無理數(shù)＋有理數(shù)＝無理數(shù)對任何正有理數(shù)，則即任何正有理數(shù)都是其周期，（有理數(shù)）（無理數(shù)）第一章函數(shù)由于但無最小正周期。第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日

2.證明定義在對稱區(qū)間內(nèi)的任何函

證令則是偶函數(shù)；而證畢.第一章函數(shù)數(shù)，數(shù)的和的形式。都可以表示為一個偶函數(shù)和一個奇函是奇函數(shù)。第二十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日

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