2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第3章三角函數(shù)三角恒等變換及解三角形第7課時(shí)正弦定理和余弦定理課時(shí)訓(xùn)練含解析

PAGE1-第三章三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第7課時(shí)正弦定理和余弦定理1.(2013·無(wú)錫期末)在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝eq\r(2)，則AC的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．答案：1解析：∠B＝30°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，AC＝eq\f(\r(2),sin45°)×sin30°＝1.2.(2013·鎮(zhèn)江期末)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosC＝________．答案：－eq\f(1,4)解析：由sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4＋9－16,12)＝－eq\f(1,4).3.在△ABC中，已知BC＝1，B＝eq\f(π,3)，△ABC的面積為eq\r(3)，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：eq\r(13)解析：∵S＝eq\f(1,2)acsinB，∴eq\r(3)＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，∴c＝4.又AC2＝12＋42－2×1×4×eq\f(1,2)＝13，∴AC＝eq\r(13).4.(2013·揚(yáng)州期末)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，且a＝eq\r(5)，b＝3，sinC＝2sinA，則sinA＝________．答案：eq\f(\r(5),5)解析：∵sinC＝2sinA，∴c＝2a＝2eq\r(5).由余弦定理，得cosA＝eq\f(32＋（2\r(5)）2－（\r(5)）2,2×3×2\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5).5.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，若sinA＝eq\r(3)sinC，∠B＝30°，b＝2，則△ABC的面積是________．答案：eq\r(3)解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，又eq\r(3)sinC＝sinA，∴a＝eq\r(3)c.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，∴c＝2，a＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\r(3).6.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若a2＋b2＝2c2，則cosC的最小值為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,2)解析：由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”．7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，則角A的大小為_(kāi)_______．答案：eq\f(π,3)解析：1＋eq\f(sinAcosB,sinBcosA)＝eq\f(2sinC,sinB)sin(A＋B)＝2sinCcosA.因?yàn)閟inC≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，A＝eq\f(π,3).8.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若其面積S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，則∠A＝________．答案：eq\f(π,4)解析：eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)a2＝b2＋c2－2bcsinAsinA＝cosA，則∠A＝eq\f(π,4).9.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿(mǎn)足bcosC＋eq\f(1,2)c＝a.(1)求角B；(2)若a、b、c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀．解：(1)由正弦定理，得sinBcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinA.而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，故cosBsinC＝eq\f(1,2)sinC.在△ABC中，sinC≠0，故cosB＝eq\f(1,2).因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由b2＝ac及正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝sin2eq\f(π,3)＝eq\f(3,4)，又A＋C＝π－B＝eq\f(2π,3)，所以sinAsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)sinAcosA＋eq\f(1,2)sin2A＝eq\f(\r(3),4)sin2A＋eq\f(1－cos2A,4)＝eq\f(3,4)，所以eq\r(3)sin2A－cos2A＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝1.又0<A<eq\f(2π,3)，所以2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，A＝eq\f(π,3)，從而C＝eq\f(π,3).故△ABC是等邊三角形．10.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿(mǎn)足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求∠B的大??；(2)若△ABC的面積為eq\f(3\r(3),4)，且b＝eq\r(3)，求a＋c的值．解：(1)因?yàn)?2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)·cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(C＋B)＝sinA.在△ABC中，0<A<π，sinA>0，所以cosB＝eq\f(1,2).又0<B<π，故∠B＝eq\f(π,3).(2)因?yàn)椤鰽BC的面積為eq\f(3\r(3),4)，所以eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(3),4)，所以ac＝3.因?yàn)閎＝eq\r(3)，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3.所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2eq\r(3).11.(2013·山東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝eq\f(7,9)，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\