《第13章-三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》學(xué)習(xí)指導(dǎo)

安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打造中國一流的學(xué)習(xí)資料PAGEPAGE4/hudazhu《第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》學(xué)習(xí)要求：1．理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質(zhì)。會(huì)用刻度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和高。2．掌握三角形的分類，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。3．掌握三角形內(nèi)角和定理及推論，三角形的外角性質(zhì)與外角和。4．了解三角形的穩(wěn)定性。知識(shí)要點(diǎn)：一、三角形中的邊角關(guān)系1．三角形有三條內(nèi)角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點(diǎn)。注意：三角形的中線平分三角形的面積。2.三角形三邊間的不等關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。

注意：判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí)，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長的線段。3．三角形各角之間的關(guān)系：

①三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°。

②三角形的外角和等于360°（每個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角）；

③三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

④三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。4．三角形的分類①三角形按邊的關(guān)系可以如下分類：②三角形按角的關(guān)系可以如下分類：5．三角形具有穩(wěn)定性。知識(shí)結(jié)構(gòu)：二、命題與證明1．判斷一件事情的句子是命題，疑問句、感嘆句不是命題，計(jì)算不是命題，畫法不是命題。2．命題都可以寫成：“如果……，那么……?！钡男问?。為了語句通順往往要加“字”，但不改變順序。3．命題由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。“如果”后面的是題設(shè)，“那么”后面的是結(jié)論。4．命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個(gè)反例。5．將命題的題設(shè)和結(jié)論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6．公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。7．定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8．命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質(zhì)：（1）兩直線平行同位角相等。同位角相等兩直線平行。（2）兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)。內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行。（3）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。（4）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。（5）三角形內(nèi)角和定理和推論。三角形中位線定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（7）等腰三角形的判定與性質(zhì)。（8）直角三角形的判定與性質(zhì)。9．反證法①假設(shè)，②推理，③矛盾，④結(jié)論?！兜?3章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》練習(xí)題一、填空題：1．三角形的一邊是8，另一邊是1，第三邊如果是整數(shù)，則第三邊是___________，這個(gè)三角形是___________三角形。2．已知三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為___________。3．三角形的三邊長分別為，，，則的取值范圍是___________。4．三角形的三邊為，，，則的取值范圍是___________。5．已知a，b，c為ΔABC的三條邊，化簡eq\r((a+b-c)2)－|b－a－c|＝___________。6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為30cm，求AD的長。7．如圖，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周長為28cm，則DB＝___________。8.已知等腰三角形兩邊長分別為4和9，則第三邊的長為___________。9.等腰三角形的周長為20cm，（1）若其中一邊長為6cm，則腰長為___________；（2）若其中一邊長為5cm，則腰長為___________。10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，則△ABC的周長的取值范圍是___________。11．等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為15厘米___________。12．等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為15厘米和11___________。A．7B．11C．7或11D．不能確定8．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶7，這個(gè)三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形9．已知一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比是1∶5∶6，則其最大內(nèi)角的度數(shù)（）A．60° B．75° C．90° D．120°10．如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其它兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.斜三角形11．三角形的一個(gè)外角大于相鄰的一個(gè)內(nèi)角，則它是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定12．在ΔABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么ΔABC是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.斜三角形13.三角形中，最大角的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.14．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為（）A．30°B．36°C．45°D．72°15．直角三角形的兩個(gè)銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是（）A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案都不對(duì)16．如圖，△ABC中，∠A＝50°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，則∠1＋∠2的大小為（）A．130°B.230°C.180°D.310°17．已知如圖，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°則∠DFE等于（）A.120°B.115°C.110°D.105°AADB1CE2（第16題圖）（第17題圖）18．在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，則∠A的取值范圍是（）A．0°＜∠A＜180°B．0°＜∠A＜800C．50°＜∠A＜130°D．80°＜∠A＜130°19．若、、是三角形的三個(gè)內(nèi)角，而，，，那么、、中，銳角的個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤判斷是（C）A．可能沒有銳角B．可能有一個(gè)銳角C．可能有兩個(gè)銳角D．最多一個(gè)銳角20．如果三角形的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．正三角形21．在ABC中⑴如圖1，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°∠A；⑵如圖2，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝∠A；⑶如圖3，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°－∠A。上述說法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)22.如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且，則S陰影等于（）A.2cm2B.1cm2C.cm223．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1＋∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°5.如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，則∠1與∠2的關(guān)系為（）

A.∠1＝2∠2

B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°

D.3∠1－∠2＝180°24.如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，則∠1與∠2的關(guān)系為（

）

A.∠1＝2∠2

B.C.

D.（第22題圖）（第23題圖）（第24題圖）25．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部A/的位置，則∠A′、∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確是（）A．∠1＝∠2＋∠A′B．∠1＝2∠2＋2∠A′C．2∠1＝∠2＋∠A′D．∠1＝2∠A′＋∠226．如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于D，若∠B＝50°，則∠ADC＝（）A．60°B．80°C．65°D．40°27．如圖，△ABC的外角平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點(diǎn)P，若∠BPC＝35°，則∠CAP＝（）A.45°B.50°C.55°D.65°（第25題圖）（第26題圖）（第27題圖）三、解答下列各題：1．△ABC的三邊長分別為4、9、x，⑴求x的取值范圍；⑵求△ABC周長的取值范圍；⑶當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，求x；⑷當(dāng)△ABC的周長為偶數(shù)時(shí)，求x；⑸當(dāng)△ABC周長是5的倍數(shù)時(shí)，求x；⑹若△ABC為等腰三角形，求x。2．已知△ABC的三條邊為整數(shù)，且，求的值。3．對(duì)于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c，給出下列五個(gè)論斷：（1）a∥b；（2）b⊥c；（3）a⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c。以其中兩個(gè)論斷為條件，一個(gè)論斷為結(jié)論，組成一個(gè)你認(rèn)為正確的命題。4．證明：兩條平行直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。5．有5根木條，其長度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？6．如圖，在△ABC中，∠A＝96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于，∠BC與∠CD的平分線相交于，依此類推，∠BC與∠CD的平分線相交于，則∠的大小是多少？7．在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)。8．（1）已知如圖（a），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，則∠EAD與∠B，∠C有何數(shù)量關(guān)系？

（2）如圖（b），AE平分∠BAC，F(xiàn)為其上一點(diǎn)，且FD⊥BC于D，這時(shí)∠EFD與∠B、∠C又有何數(shù)量關(guān)系？

（3）如圖（c），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于D，這時(shí)∠AFD與∠B、∠C又有何數(shù)量關(guān)系？

9．如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：⑴∠BPC＞∠A；⑵∠BPC＝∠ABP＋∠A＋∠ACP；⑶AB＋AC＞PB＋PC。10.如圖中的幾個(gè)圖形是五角星和它的變形

（1）圖（1）中是一個(gè)五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E。

（2）圖（1）中點(diǎn)A向下移到BE上，五個(gè)角的和有無變化？（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E如圖（2），說明你的結(jié)論的正確性。

（3）把圖（2）中點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上，五個(gè)角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有無變化？如圖（3），說明你的結(jié)論的正確性。11．如圖已知△ABC中，∠B和∠C外角平分線相交于點(diǎn)P。（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝70°，求∠BPC度數(shù)。（2）若∠ABC＝α，∠BPC＝β，求∠ACB度數(shù)。12．△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)。（1）如果紙片沿直線腳折疊，使點(diǎn)A′正好落在線段AC上，如圖1，此時(shí)∠A與∠BDA′的關(guān)系是；（2）如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A′落在△ABC的內(nèi)部，如圖2，試猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的關(guān)系是；（3）如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A′落在△ABC的外部，如圖3，則此時(shí)∠A和∠BDA′、∠CEA′的關(guān)系是，請(qǐng)說明理由。13．如圖所示，BE、CD交于A點(diǎn)，∠C和∠E的平分線相交于F。（1）試求：∠F與∠B，∠D有何等量關(guān)系？（2）當(dāng)∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x時(shí)，x為多少？14．若△ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，則這樣的三角形共有幾個(gè)？15．有一位同學(xué)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)書上看到這樣一道題：“已知ΔABC的三邊長分別是a，b，c。且a、b、c的值滿足等式|b＋c－2a|＋（b＋c－5）2＝0，求b的取值在什么范圍？”。你能解答這道題嗎？16．在ΔABC中，∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝4∠C，求∠B的范圍。17．在△ABC中，∠A是最大角，∠C是最小角，且∠A＝2∠C，求∠C的取值范圍?！兜?3章三角形中的邊角關(guān)系》練習(xí)題答案一、填空題：1．8，等腰。2．2。3．。4．5．2b－2c。6．AD＝13cm。7．8cm；8.9。9.（1）6cm或7cm；（2）cm。10．周長＞12。11．1。12．10厘米或厘米。13．有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；14．20°或120°；15．60，60；16．2，1；17．120°；18．60°；19．30°或120°；20．95°；21．50°；22．解：如圖，∵∠CEF＋∠CFE＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C，∴∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝85°＋55°＝140°，又將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，∴∠C′EF＋∠C′F＝∠CEF＋∠CFE＝140°，∴∠CEC′＋∠CEC′＝140°＋140°＝280°，∵∠1＝20°，∴∠2＝180°×2－∠CEC′＋∠CEC′－∠1＝360°－280°－20°＝60°故答案為：60。23．解：如圖，∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°；又∵將三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC外，∴∠C′＝∠C＝40°，而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝20°，∴∠3＋20°＋∠4＋40°＋40°＝180°，∴∠3＋∠4＝80°，∴∠1＝180°－80°＝100°。故答案為100。24．∠BOC＝∠A，∠BOC＝90°－∠A；25.（1）130°；（2）100°或80°；26.2；27．解：延長BA，做PN⊥AD，PF⊥BA，PM⊥BC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠BCP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠APC＝50°，∴∠BAP＝∠PAC＝（x－50）°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝2x°－（x°－50°）－（x°－50°）＝100°，∴∠CBF＝100°，在Rt△PFB和Rt△PMB中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFB≌Rt△PMB，∴∠FAP＝∠PAC＝40°。28．50°。二、選擇題：1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.C11.D12.B13.C14.B15.C16.B17.B18.B19.C20.B21.C22.A23.B24.D25.D26．C27．C?？键c(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理。分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案。解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝35°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－35）°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－35°）－（x°－35°）＝70°，∴∠CAF＝110°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝55°。故選C。三、解答下列各題：1．⑴5＜x＜13；⑵18＜△ABC的周長＜26；⑶當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，x＝6、8、10、12；⑷當(dāng)△ABC的周長為偶數(shù)時(shí)，x＝7、9、11；⑸當(dāng)△ABC周長是5的倍數(shù)時(shí)，x＝7、12；⑹若△ABC為等腰三角形，x＝9。2．，，，則整數(shù)。3．答案不惟一，如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么等。4．要畫圖，寫已知、求證、證明。5．6種（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）6．3°。7．∠BOC＝50°或130°；8．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠C∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC，∵∠BAC＝180°－∠B－∠C∴∠EAC＝（180°－∠B－∠C）＝90°－∠B－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠CAD＝90°－∠B－∠C－（90°－∠C）＝(∠C－∠B)。

（2）如圖（b），過A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝(∠C－∠B)。∵AG⊥BC，∵FD⊥BC，∴∠AGC＝∠FDG＝90°，∴FD∥AG，∴∠EFD＝∠EAG，∴∠EFD＝(∠C－∠B)。

（3）如圖（c），過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝(∠C－∠B)?！逜G⊥BC，∵FD⊥BC，∴∠AGB＝∠FDC＝90°，∴FD∥AB，∴∠AFD＝∠EAG，∴∠AFD＝(∠C－∠B)。

說明：在處理三角形中角的問題時(shí)，有時(shí)需要從整體出發(fā)進(jìn)行思考，有時(shí)也可以通過適當(dāng)添加輔助線使未知問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在聯(lián)系。9．延長BP交AC于D。⑴∠BPC＞∠PDC＞∠A；⑵∠BPC＝∠PDC＋∠ACP；∠PDC＝∠A＋∠ABP；∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP。⑶∵AB＋AD＞BD。PD＋DC＞PC?！郃B＋AD＋PD＋DC＞BD＋PC?！郃B＋AC＞PB＋PC。10.（1）180°。

（2）無變化。理由:∠CAD＋∠B＋∠C＋∠E＝∠CAD＋∠EAD＋∠BAC＝180°。（3）無變化。理由:∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°。11．解：（1）∠BPC＝180°－（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝180°－（180°－30°＋180°－70°）＝50°；（2）∠BPC＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝（∠ABC＋∠ACB），∵∠BPC＝β，∠ABC＝α，∴β＝（α＋∠ACB