廣東省執(zhí)信中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題含解析

PAGE19-廣東省執(zhí)信中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題（含解析）一、選擇題．（本大題共12小題，每小題5份，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求解出集合和集合，根據(jù)交集定義得到結(jié)果.【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題.3.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則A.10 B.11 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，恰好等于，再根據(jù)當(dāng)時(shí)有可得m的值．【詳解】，，.，，數(shù)列的公差不為零，，即.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)求和前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.已知向量，，，且，則A.2 B.3C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再根向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到的等式，即可求解．【詳解】由題意，向量，，，則，因，解答．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟悉這些平面向量坐標(biāo)運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題，解答中先計(jì)算出的坐標(biāo)，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算律并結(jié)合條件，即可求得的值.5.設(shè)、為兩個(gè)不重合的平面，則的充要條件是（）A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B.、垂直于同一平面C.、平行于同一條直線 D.內(nèi)有兩條相交直線與平行【答案】D【解析】【分析】本題可通過(guò)無(wú)數(shù)條直線為無(wú)數(shù)條平行線這種情況判斷出A錯(cuò)誤，然后通過(guò)、可以相交判斷出B、C錯(cuò)誤，最后通過(guò)面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)判斷出D正確.【詳解】A項(xiàng)：若無(wú)數(shù)條直線為無(wú)數(shù)條平行線，則無(wú)法得到，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：、垂直于同一平面，此時(shí)、可以相交，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：、平行于同一條直線，此時(shí)、可以相交，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由面面平行的判定定理可知，內(nèi)有兩條相交直線與平行是的充分條件，由面面平行的性質(zhì)可知，內(nèi)有兩條相交直線與平行是的必要條件，故內(nèi)有兩條相交直線與平行是的充要條件，D正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判定，考查面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)，若內(nèi)有兩條相交直線與平行，則，若，則內(nèi)任意一條直線與平行，考查推理能力，是簡(jiǎn)單題.6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則=（）.A.90 B.125 C.155 D.180【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，即可求得，再得出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)性質(zhì)所以成等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，故故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列，這是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.7.橢圓與曲線的（）A.焦距相等 B.離心率相等 C.焦點(diǎn)相同 D.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等【答案】A【解析】【分析】分析兩個(gè)曲線的方程，分別求出對(duì)應(yīng)的即可得答案.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，所以，焦點(diǎn)在x軸上，曲線，因?yàn)?，所以，曲線方程可寫為，，所以曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，，所以焦距相等.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為所求直線，再求直線方程即可.【詳解】由題知：過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線為過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線.因?yàn)?，故所求直線為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.9.“”是“，成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由基本不等式可得，“，”等價(jià)于，再由充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.【詳解】時(shí)，，“，”等價(jià)于，而可推出，不能推出，所以“”是“，”成立的充分不必要條件，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及充分條件與必要條件，屬于中檔題.判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來(lái)處理.10.過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程解得M(3，)，根據(jù)MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.11.已知點(diǎn)是雙曲線（，）右支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若

成立，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓與三邊，，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，易得，，，設(shè)r為圓M的半徑，分別計(jì)算、和，由可得，再結(jié)合雙曲線的定義，可得出，最后求得離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ME，MF，MG，則，，，所以，，，其中r為外接圓M的半徑，因?yàn)椋杂校?，化?jiǎn)得：，根據(jù)雙曲線的定義可得：，，所以，所以離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于常考題.12.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先將函數(shù)進(jìn)行等價(jià)變形，然后結(jié)合函數(shù)的解析式得到函數(shù)的大致圖像，最后數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意當(dāng)時(shí),即方程有4個(gè)解.又由函數(shù)與函數(shù)的大致形狀可知,直線與函數(shù)的左右兩支曲線都有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,則a>1,同時(shí)在[-1,1]上的最小值為,當(dāng)a>1時(shí),在(1,a]上最大值為，要使恰有4個(gè)零點(diǎn),則滿足,即.解得2<a≤3.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題．（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線方程的方程為_(kāi)______________________．【答案】或【解析】【分析】首先設(shè)出直線與軸，軸的截距分別為，再分別求和時(shí)的直線方程即可.【詳解】設(shè)直線與軸，軸的截距分別為.當(dāng)時(shí)，設(shè)直線為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，，故直線為.當(dāng)時(shí)，設(shè)直線為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故直線為.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于簡(jiǎn)單題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出的值，再計(jì)算漸近線方程即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線，，，焦點(diǎn)在軸，所以雙曲線的漸近線方程為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出的值為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.15.已知：若直線上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，根據(jù)圓心O到直線的距離，進(jìn)行求解即可得的范圍.【詳解】圓心為，半徑，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有，圓心O到直線距離，即，即，解得或.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.16.在中，角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為，，則的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理邊化角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，利用三角形角之間的關(guān)系，可得，用表示，利用均值不等式求得結(jié)果.【詳解】，由正弦定理可得，又因?yàn)椋钥傻?，，即，由可知，B為鈍角，C為銳角，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用、三角形中角的關(guān)系、兩角和的正切公式、均值不等式求最值，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題目.三、解答題．（本題共6小題，其中17題10分，18-22題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知為與的等差中項(xiàng).數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由為與的等差中項(xiàng)，所以，列出方程解出，求出、、即可；（2）因?yàn)椋慑e(cuò)位相減法求和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)闉榕c的等差中項(xiàng)所以，即，解得：，.（2），，，下式減上式，即：，【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，錯(cuò)位相減法求和，當(dāng)待求和數(shù)列的通項(xiàng)為等差乘以等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)時(shí)一般采用錯(cuò)位相減求和.18.已知函數(shù)()．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若且求角B和角C.【答案】（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為；遞增區(qū)間為(Z)；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）將函數(shù)中的兩角差余弦先展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)，利用和角公式化簡(jiǎn)求出函數(shù)解析式，由三角函數(shù)性質(zhì)即可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將代入函數(shù)解析式可得，可求，再由正弦定理求出，求得或，再求，且，舍去不符合題意的解即可．試題解析：（1）∴故函數(shù)的遞增區(qū)間為（2），．即．由正弦定理得：，，，或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（舍）所以．考點(diǎn)：1．兩角和與差公式；2．三解函數(shù)單調(diào)性；3．正、余弦定理．19.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A(-4,4)且焦點(diǎn)在x軸.（1）求拋物線方程;（2）直線l過(guò)定點(diǎn)B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8,求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）可先設(shè)出拋物線的方程：，然后代入點(diǎn)計(jì)算即可；（2）已知弦長(zhǎng)所以要先分析斜率存在與不存在的情況，）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1驗(yàn)證即可，②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線為聯(lián)立方程根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.詳解：（1）設(shè)拋物線方程為拋物線過(guò)點(diǎn)，得p=2則（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1與拋物線交于、，弦長(zhǎng)為4，不合題意②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線為消y得弦長(zhǎng)=解得得所以直線l方程為或點(diǎn)睛：考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，注意討論是解題容易漏的地方，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖，在梯形中，，，為的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿翻折到圖中的位置，得到四棱錐．（1）求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，求到平面的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）在圖中，證明四邊形為菱形，可得出，由翻折的性質(zhì)得知在圖中，，，利用直線與平面垂直的判定定理證明出平面，可得出，并證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由此得出；（2）解法一：由（1）可知平面，結(jié)合，可得出平面，由此得出點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度，求出即可；解法二：證明出平面，可計(jì)算出三棱錐的體積，并設(shè)點(diǎn)與面的距離為，并計(jì)算出的面積，利用三棱錐的體積和三棱錐的體積相等計(jì)算出的值，由此可得出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）圖中，在四邊形中，，，四邊形為平行四邊形.又，四邊形為菱形，，，在圖中，，，又，面．平面，.又在四邊形中，，，四邊形為平行四邊形，，；（2）法一：由（1）可知面，且，平面，的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離，由（1）已證四邊形為平行四邊形，所以，因此，點(diǎn)到平面的距離為；解法二：連接，，，，，，，又，平面．設(shè)點(diǎn)與面的距離為，，即，，，．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線垂直的證明，同時(shí)也考查了點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用題中的垂直關(guān)系，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.21.已知橢圓：的離心率，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求直線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，可得的值，進(jìn)而得橢圓方程．（2）設(shè)出點(diǎn)、及直線方程，并將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得韋達(dá)定理表達(dá)式，根據(jù)判別式可得，根據(jù)線段的中點(diǎn)在直線上可得，進(jìn)而用k表示出m，結(jié)合基本不等式可求得m的最小值．