固體物理晶格振動

§3.2一維雙原子鏈的振動一、運(yùn)動方程及其解運(yùn)動方程：{試解：{(設(shè)M>m)考慮由P、Q兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈只考慮近鄰原子間的彈性相互作用aMm{nnn-1n+1編輯課件{代入方程:久期方程：編輯課件簡約區(qū)：對于不在簡約區(qū)中的波數(shù)q’，一定可在簡約區(qū)中找到唯一一個q，使之滿足：為倒格矢兩個色散關(guān)系即有兩支格波：（＋：光學(xué)波；－：聲學(xué)波）編輯課件二、聲學(xué)波和光學(xué)波的物理圖象第n個原胞中P、Q兩種原子的位移之比R:大于零的實(shí)數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比:兩原子的振動位相差編輯課件1.聲學(xué)波（acousticbranch）即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，屬于同位相型編輯課件物理圖象：原胞中的兩種原子的振動位相基本相同，原胞

基本上是作為一個整體振動，而原胞中兩種原

子基本上無相對振動。編輯課件q0時當(dāng)q0時，原胞內(nèi)兩種原子的振動位相完全相同。編輯課件這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波＝vq一致。當(dāng)q0時

在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動完全一致，振幅和位相均相同，非常類似于聲波，故將這種晶格振動稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。編輯課件2.光學(xué)波（opticalbranch）編輯課件＋在Ⅱ、Ⅲ象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動位相基本上相反，

即原胞中的兩種原子基本上作相對振動，而

原胞的質(zhì)心基本保持不動。編輯課件當(dāng)q0時，＋，原胞中兩種原子振動位相完全相反。

離子晶體在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動，因此，我們稱這種振動為光學(xué)波或光學(xué)支。編輯課件對于單聲子過程（一級近似），電磁波只與波數(shù)相同的格波相互作用。如果它們具有相同的頻率，就會發(fā)生共振。光波：＝c0q，c0為光速=c0q0q(q)+(0)+對于實(shí)際晶體，＋(0)在1013~1014Hz，對應(yīng)于遠(yuǎn)紅外光范圍。離子晶體中光學(xué)波的共振可引起對遠(yuǎn)紅外光在＋(0)附近的強(qiáng)烈吸收。編輯課件光學(xué)波原子振動模型聲學(xué)波原子振動模型編輯課件帶隙編輯課件三、周期性邊界條件周期性邊界條件：h=整數(shù)，N：晶體鏈的原胞數(shù)q的分布密度：{簡約區(qū)中q的取值總數(shù)＝晶體的原胞數(shù)晶格振動的格波總數(shù)＝2N＝晶體的自由度數(shù)推廣：若每個原胞中有s個原子，一維晶格振動有s個色散關(guān)系

式（s支格波），其中：1支聲學(xué)波,（s-1）支光學(xué)波。

晶格振動格波的總數(shù)＝sN＝晶體的自由度數(shù)。編輯課件§3.5三維晶格振動一、三維簡單晶格的振動0lRlRl’Rl–Rl’Rl-l’l-l’l’第?個原子的位矢:編輯課件回顧-簡諧近似忽略高階項(xiàng)，保留至二階項(xiàng)上式稱為簡諧近似。編輯課件在簡諧近似下，系統(tǒng)的勢能為（取平衡時U0＝0）：(l)和(l’)是第l和第l’個原子分別沿和方向的位移。力常數(shù)編輯課件第l個原子的運(yùn)動方程：這里考慮了晶體中所有原子的相互作用。由晶格的周期性，得編輯課件設(shè)格波解：代入運(yùn)動方程得：，＝1，2，3其中編輯課件久期方程可以解得與q的三個關(guān)系式，對應(yīng)于三維情況沿三個方向的振動，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。推廣：對于復(fù)式晶格，若每個原胞中有s個原子，由

運(yùn)動方程可以解得3s個與q的關(guān)系式（即色散

關(guān)系式），對應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學(xué)波

（一支縱波，兩支橫波），3(s－1)支為光學(xué)波。編輯課件二、布里淵區(qū)上式對于任意時刻t和任意的格矢

都成立，有：對于第j支格波，設(shè)有兩個波矢

和

所描述的晶格振動狀態(tài)完全相同，有編輯課件由于

為倒格矢，h為整數(shù)有

，（由于

為任意格矢）即：在

空間中，

是以倒格矢

為周期的周期函數(shù)，仍可將波矢

限制在簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中編輯課件將原點(diǎn)取在簡約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對應(yīng)的兩點(diǎn)間應(yīng)滿足關(guān)系：——布里淵區(qū)邊界面方程0編輯課件布里淵區(qū)的幾何作圖法：根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點(diǎn)陣，任取一

個倒格點(diǎn)為原點(diǎn)；布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平分面。由近到遠(yuǎn)作各倒格矢的垂直平分面；在原點(diǎn)周圍圍成一個包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，

即為簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)。簡約區(qū)就是倒易空間中的Wigner－Seitz原胞。編輯課件1ⅡⅡⅡⅡⅡⅡ222222333333可以證明，每個布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b。編輯課件編輯課件正格子格常數(shù)倒格子格常數(shù)簡約區(qū)scasc由6個{100}面

圍成的立方體bccafcc由12個{110}面

圍成的正12面體fccabcc由8個{111}面和6個{100}面圍成的14面體編輯課件體心立方晶格的倒格子與簡約區(qū)編輯課件面心立方晶格的倒格子與簡約區(qū)編輯課件三、周期性邊界條件設(shè)N1、N2和N3分別為晶體沿三個基矢方向的原胞數(shù)。那么，晶體的總原胞數(shù)為：N＝N1N2N3

周期性邊界條件：第j支格波：＝1,2,3h

=整數(shù)編輯課件令h1,h2,h3＝整數(shù)＝1,2,3編輯課件在q空間中，每一個q的取值（狀態(tài)）所占的空間為：V＝Nva＝晶體體積在

空間中，波矢

的分布密度：簡約區(qū)中波矢

的取值總數(shù)＝

＝晶體的原胞數(shù)編輯課件簡單晶格：每個原胞中只有一個原子，每一個q的取值

對應(yīng)于三個聲學(xué)波（1個縱波，2個橫波）晶格振動格波的總數(shù)＝3N