中考數(shù)學(xué)重難點突破專題二：作圖問題

專題二作圖問題類型1尺規(guī)作圖1．(2017·蘭州)在數(shù)學(xué)課本上，同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程：已知：直線l和l外一點P.求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點P.作法：如圖：(1)在直線l上任取兩點A、B；(2)分別以點A、B為圓心，AP，BP長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；(3)作直線PQ.參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：(1)以上材料作圖的依據(jù)是：______________________________________________(2)已知：直線l和l外一點P.求作：⊙P，使它與直線l相切．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)解：(1)到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上(2)如圖⊙P即為所求．2．(2017·六盤水)如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為eq\o(AN,\s\up8(︵))的中點，P是直徑MN上一動點．(1)利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)PA＋PB最小時P點的位置(不寫作法，但要保留作圖痕跡)．(2)求PA＋PB的最小值．解：(1)如圖1所示，點P即為所求；(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，∵A′點為點A關(guān)直線MN的對稱點，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B為eq\o(AN,\s\up8(︵))的中點，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))，∴∠BON＝∠AOB＝eq\f(1,2)∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵M(jìn)N＝4，∴OA′＝OB＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(1,2)×4＝2.∴在Rt△A′OB中，A′B＝2eq\r(2)，∴PA＋PB的最小值為2eq\r(2).3．(2017·舟山)如圖，已知△ABC，∠B＝40°.(1)在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點D，E，F(xiàn)(保留痕跡，不必寫作法)；(2)連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù)．解：(1)如圖1，⊙O即為所求．(2)如圖2，連接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.4．(2017·海寧模擬)小明在“課外新世界”中遇到這樣一道題：如圖1，已知∠AOB＝30°與線段a，你能作出邊長為a的等邊三角形△COD嗎？小明的做法是：如圖2，以O(shè)為圓心，線段a為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N，在弧MN上任取一點P，以點M為圓心，MP為半徑畫弧，交弧CD于點C，同理以點N為圓心，NP為半徑畫弧，交弧CD于點D，連結(jié)CD，即△COD就是所求的等邊三角形．(1)請寫出小明這種做法的理由；(2)在此基礎(chǔ)上請你作如下操作和探究(如圖3)：連結(jié)MN，MN是否平行于CD？為什么？(3)點P在什么位置時，MN∥CD？請用小明的作圖方法在圖1中作出圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．解：(1)如圖2，連結(jié)OP，由題意可得eq\o(MC,\s\up8(︵))＝eq\o(MP,\s\up8(︵))，∴∠COM＝∠POM，eq\o(PN,\s\up8(︵))＝eq\o(DN,\s\up8(︵))，∴∠PON＝∠DON，∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°，∴∠COD＝2∠MON＝60°，∴△OCD是等邊三角形；(2)不一定，只有當(dāng)∠COM＝15°，CD∥MN，理由：∵∠COM＝15°，∠MON＝30°，∴∠CON＝45°，∵∠C＝60°，∴∠OEC＝75°，∵ON＝OM，∴∠ONM＝∠OMN＝75°，∴∠OEC＝∠ONM，∴CD∥MN；(3)當(dāng)P是eq\o(MN,\s\up8(︵))的中點時，MN∥CD；如圖3所示．類型2網(wǎng)格作圖和其他5．(2017·棗莊)如圖，在網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)中選取9個格點(格線的交點稱為格點)，如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為(B)A．2eq\r(2)＜r＜eq\r(17)B.eq\r(17)＜r＜3eq\r(2)C.eq\r(17)＜r＜5D．5＜r＜eq\r(29)解：給各點標(biāo)上字母，如圖所示．AB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，AC＝AD＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，AE＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，AF＝eq\r(52＋22)＝eq\r(29)，AG＝AM＝AN＝eq\r(42＋32)＝5，∴eq\r(17)＜r＜3eq\r(2)時，除點A外恰好有3個在圓內(nèi)．6．我們約定，若一個三角形(記為△A1)是由另一個三角形(記為△A)通過一次平移，或繞其任一邊的中點旋轉(zhuǎn)180°得到的，則稱△A1是由△A復(fù)制的．以下的操作中每一個三角形只可以復(fù)制一次，復(fù)制過程可以一直進(jìn)行下去．如圖1，由△A復(fù)制出△A1，又由△A1復(fù)制出△A2，再由△A2復(fù)制出△A3，形成了一個大三角形，記作△B.以下各題中的復(fù)制均是由△A開始的，通過復(fù)制形成的多邊形中的任意相鄰兩個小三角形(指與△A全等的三角形)之間既無縫隙也無重疊．(1)圖1中標(biāo)出的是一種可能的復(fù)制結(jié)果，小明發(fā)現(xiàn)△A∽△B，其相似比為__1∶2__．在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)復(fù)制下去得到△C，若△C的一條邊上恰有11個小三角形(指有一條邊在該邊上的小三角形)，則△C中含有__121__個小三角形；(2)若△A是正三角形，你認(rèn)為通過復(fù)制能形成的正多邊形是__正三角形或正六邊形__；(3)請你用兩次旋轉(zhuǎn)和一次平移復(fù)制形成一個四邊形，在圖2的方框內(nèi)畫出草圖，并仿照圖1作出標(biāo)記．解析：(1)△A－△A1是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得，△A1－△A2是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得，△A2－△A3是經(jīng)過平移所得．由于△B是由4個△A組成，因此S△B＝4S△A，因此相似比為2∶1.當(dāng)△C的一條邊上有11個小三角形時，那么它們的相似比為11∶1，面積比121∶1，即△C中有121個這樣的小三角形；故答案為：1∶2，121.(2)正三角形或正六邊形．(3)如圖．7．閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合)，分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．解決問題：(1)如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；拓展探究：(3)如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系．解：(1)點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．理由：∵∠A＝55°，∴∠ADE＋∠DEA＝125°，∵∠DEC＝55°，∴∠BEC＋∠DEA＝125°，∴∠ADE＝∠BEC.∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．(2)如圖如下：(3)∵點E是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折疊可知：△ECM≌△DCM，