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文檔簡介

平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

我們學(xué)過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）θFS那么力F所做的功W是多少？

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從運算結(jié)果知，功的大小等于兩向量的模與其夾角余弦的乘積.

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定義

|b|cosθ（|a|cosθ）叫做向量b在a方向上（向量a在b方向上）的投影。注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量。練習(xí)．在正六邊形ABCDEF中，比較向量

與的大小。

線性運算與向量的數(shù)量積運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？

答：線性運算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)量，這個數(shù)量的大小不僅和向量與

的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)，數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于向量與的夾角。請同學(xué)們完成下表θ

的范圍0°≤θ<90°θ=90°90°<θ≤180°a·b的符號>=<規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。例1在△ABC中a=5,b=8,C=60o,求回顧實數(shù)運算中有關(guān)的運算律，類比數(shù)量積得運算律，體會不同運算的運算律不盡相同

在實數(shù)中在向量運算中交換律:ab=ba()結(jié)合律：(ab)c=a(bc)(

)(

)分配律：(a+b)c=ab+bc(

)消去律:ab=bc(b≠0)a=c

(

)√√√

×

×

則

(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、ON,證明運算律(3)例2：求證：(結(jié)論)（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例2：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b

＝a·a＋b·

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