2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案-打印版

PAGE2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題班級(jí)姓名成績供稿人：李錦揚(yáng)一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．設(shè)非零實(shí)數(shù)，，滿足則的值為（）．（A）（B）（C）（D）2．已知，，是實(shí)常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)根，，則下列關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個(gè)實(shí)根的是（）．（A）（B）（C）（D）（第3題）3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）．（第3題）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC（第4題）4．如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（第4題）（A）3（B）4（C）6（D）85．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：，且，則的值為（）．（A）（B）（C）（D）二、填空題6．設(shè)，b是的小數(shù)部分，則的值為．（第7題）7．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．（第7題）8．已知正整數(shù)a，b，c滿足，，則的最大值為．9．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為．10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案一、選擇題1．設(shè)非零實(shí)數(shù)，，滿足則的值為（）．（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故．于是，所以．2．已知，，是實(shí)常數(shù)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)非零實(shí)根，，則下列關(guān)于的一元二次方程中，以，為兩個(gè)實(shí)根的是（）．（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，則．因?yàn)?，，且，所以，且，，于是根?jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是，即．（第3題）3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）．（第3題）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3題答題）因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)．（第3題答題）由Rt△DOE∽R(shí)t△COD，知，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是有理數(shù)．（第4題）4．如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（第4題）（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因?yàn)镈CFE是平行四邊形，所以DE//CF，且EF//DC．（第4題答題）連接CE，因?yàn)镈E//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，（第4題答題）因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積．連接AF，因?yàn)镋F//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因?yàn)?，所以S△ABC=4S△ACF．故陰影部分的面積為6．5．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：，且，則的值為（）．（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】設(shè)，則，于是．二、填空題6．設(shè)，b是的小數(shù)部分，則的值為．【答案】【解答】由于，故，因此．（第7題）7．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．（第7題）【答案】【解答】如圖，連接AF，則有：（第7題答題），（第7題答題），解得，．所以，四邊形AEFD的面積是．8．已知正整數(shù)a，b，c滿足，，則的最大值為．【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3．若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，．（=1\*romani）若，則，從而可得；（=2\*romanii）若，則，從而可得．綜上知的最大值為．9．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為．【答案】，（為任意實(shí)數(shù)）【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知．若，則，，進(jìn)而．若，則，有（為任意實(shí)數(shù)）．經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組與（為任意實(shí)數(shù)）滿足條件．10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)．又，所以，故y的最小值為207，此時(shí)．三、解答題（第11題）11．如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點(diǎn)D．（第11題）求∠DBC∠CBE．【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)．直線過點(diǎn)B．（第11題答題）將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得．（第11題答題）…………5分拋物線的頂點(diǎn)為(1，)．于是由勾股定理得BC＝，CE＝，BE＝．因?yàn)锽C2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，．…………10分因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝．…………15分所以，．…………20分12．設(shè)△的外心，垂心分別為，若共圓，對(duì)于所有的△，求所有可能的度數(shù)．【解答】分三種情況討論．（=1\*romani）若△為銳角三角形．因?yàn)?，所以由，可得，于是．………?分（第12題答題（（第12題答題（=2\*romanii））（第12題答題（（第12題答題（=1\*romani））（=2\*romanii）若△為鈍角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由，可得，于是。………?0分當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)?，所以由，可得，于是．………?5分（=3\*romaniii）若△為直角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角．綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及．…………20分13．設(shè)，，是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，，，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．【解答】不能．依題意，得．因?yàn)?，所以．又由于為整?shù)，為素?cái)?shù)，所以或，．…………10分當(dāng)時(shí)，．進(jìn)而，，，與，是素?cái)?shù)矛盾；…………15分當(dāng)時(shí)，，所以，，不能構(gòu)成三角形的三邊長．…………20分14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)．【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個(gè)正整數(shù)M是≤