2022-2023學(xué)年廣東省深圳市羅湖外國語學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．關(guān)于的方程在內(nèi)有相異兩實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．直線與圓相交于M，N兩點，若．則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．124．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是軸和軸上的動點，若直線恰好與以為直徑的圓相切，則圓面積的最小值為（）A． B． C． D．5．已知滿足，且，那么下列選項中一定成立的是()A． B． C． D．6．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為（）A． B． C． D．8．在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，9．設(shè)，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序語句，輸出的結(jié)果為()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件，為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件.12．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.13．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________．14．已知，為銳角，且，則__________．15．在中，，點在邊上，若，的面積為，則___________16．如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么該函數(shù)在上的最小值為_______________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是遞增數(shù)列，其前項和為，，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）設(shè)，若對于任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．18．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=1．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．19．已知直線與直線的交點為P，點Q是圓上的動點.（1）求點P的坐標(biāo)；（2）求直線的斜率的取值范圍.20．已知直線（1）若直線過點，且.求直線的方程.（2）若直線過點A(2,0)，且，求直線的方程及直線,,軸圍成的三角形的面積.21．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：（）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點；根據(jù)可得，對照的圖象可構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】方程有兩個相異實根等價于與有兩個不同的交點當(dāng)時，由圖象可知：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖象應(yīng)用，主要是根據(jù)方程根的個數(shù)確定參數(shù)范圍，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合來進行求解.2、A【解析】

可通過將弦長轉(zhuǎn)化為弦心距問題，結(jié)合點到直線距離公式和勾股定理進行求解【詳解】如圖所示，設(shè)弦中點為D，圓心C(3,2),弦心距，又，由勾股定理可得，答案選A【點睛】圓與直線的位置關(guān)系解題思路常從兩點入手：弦心距、勾股定理。處理過程中，直線需化成一般式3、C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴4、A【解析】

根據(jù)題意畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圓面積最小的條件轉(zhuǎn)化為直徑等于原點到直線的距離，再求解圓面積即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖像如圖所示，圓心為線段中點，為直角三角形，所以，作直線且交于點，直線與圓相切，所以，要使圓面積的最小，即使半徑最小，由圖知，當(dāng)點、、共線時，圓的半徑最小，此時原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式：，解得，所以圓面積的最小值.故選：A【點睛】本題主要考查點到直線距離公式和圓切線的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.5、D【解析】

首先根據(jù)題意得到，，結(jié)合選項即可找到答案.【詳解】因為，所以.因為，所以.故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于簡單題.6、B【解析】試題分析：如圖，取中點，連接，因為是中點，則，或其補角就是異面直線所成的角，設(shè)正四面體棱長為1，則，，．故選B．考點：異面直線所成的角．【名師點睛】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是通過平移使其變?yōu)橄嘟恢本€所成角，但平移哪一條直線、平移到什么位置，則依賴于特殊的點的選取，選取特殊點時要盡可能地使它與題設(shè)的所有相減條件和解題目標(biāo)緊密地聯(lián)系起來．如已知直線上的某一點，特別是線段的中點，幾何體的特殊線段．7、B【解析】

利用函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換可得函數(shù)平移后的解析式，利用其為偶函數(shù)即可求得答案．【詳解】令y＝f（x）＝sin（2x+），則f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），∵f（x）為偶函數(shù)，∴＝kπ，∴＝kπ，k∈Z，∴當(dāng)k＝0時，．故的一個可能的值為．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)y＝Asin（ωx+）的圖象變換，考查三角函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．8、D【解析】

根據(jù)三角形解的個數(shù)的判斷條件得出各選項中對應(yīng)的解的個數(shù)，于此可得出正確選項.【詳解】對于A選項，，，此時，無解；對于B選項，，，此時，有兩解；對于C選項，，則為最大角，由于，此時，無解；對于D選項，，且，此時，有且只有一解.故選D.【點睛】本題考查三角形解的個數(shù)的判斷，解題時要熟悉三角形個數(shù)的判斷條件，考查推理能力，屬于中等題.9、D【解析】

利用基本不等式可得，再結(jié)合代入即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．10、B【解析】

通過解讀算法框圖功能發(fā)現(xiàn)是為了求數(shù)列的和，采用裂項相消法即可得到答案.【詳解】由已知中的程序語句可知:該程序的功能是求的值，輸出的結(jié)果為，故選B.【點睛】本題主要考查算法框圖基本功能，裂項相消法求和，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件，故答案為1．點睛:在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N．12、120°【解析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝＝－，又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝120°故答案為：120°13、6【解析】

由題得x=7，再利用中位數(shù)的公式求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】因為數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是7，所以，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故答案為6【點睛】本題主要考查眾數(shù)的概念和中位數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由，的面積為可以求解出三角形，再通過，我們可以得出(兩三角形等高)再利用正弦形式表示各自面積，即能得出的值.【詳解】，的面積為，所以為等邊三角形，又所以（等高），又所以填寫2【點睛】已知三角形面積及一邊一角，我們能把形成該角的另外一邊算出，從而把三角形所有量都能計算出來（如果需要），求兩角正弦值的比值，我們更多聯(lián)想到正弦定理的公式，或面積公式.16、【解析】

根據(jù)三角公式得輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性求出值，再利用的取值范圍求出函數(shù)的最小值.【詳解】解：，令，則，則.因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，則，平方得.整理可得，則，所以函數(shù).因為，所以，當(dāng)時，即，函數(shù)有最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)最值求解，結(jié)合輔助角公式和利用三角函數(shù)的對稱性建立方程是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不存在（3）1【解析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因為，所以.故，整理，得，即．因為是遞增數(shù)列，且，故，因此．則數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列.所以.………………5分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：假設(shè)存在，使得，則．整理，得，①顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．故滿足條件的正整數(shù)不存在．……1分（Ⅲ），不等式可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.所以，即當(dāng)增大時，也增大．要使不等式對于任意的恒成立，只需即可．因為，所以.即.所以，正整數(shù)的最大值為1．………14分18、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標(biāo)原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).19、（1）；（2）.【解析】

（1）聯(lián)立方程求解即可；（2）設(shè)直線PQ的斜率為，得直線PQ的方程為，由題意，直線PQ與圓有公共點得求解即可【詳解】（1）由得∴P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為.（2）由得∴圓心的坐標(biāo)為，半徑為設(shè)直線PQ的斜率為，則直線PQ的方程為由題意可知，直線PQ與圓有公共點即或∴直線PQ的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線交點坐標(biāo)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算能力，是基礎(chǔ)題20、(1)；(2)；【解析】

（1）根據(jù)已知求得的斜率，由點斜式求出直線的方程.（2）根據(jù)已知求得的斜率，由點斜式寫出直線的方程，聯(lián)立的方程，求得兩條直線交點的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求得三角形面積.【詳解】解：（1）∵∥，∴直線的斜率是又直線過點，∴直線的方程為，即（2）∵，∴直線的斜率是又直線過點，∴直線的方程為即由得與的交點為∴直線,,軸圍成的三角形的面積是【點睛】本小題主要考查兩條直線平行、垂直時，斜率的對應(yīng)關(guān)系，考查直線