第四章集中趨勢的測量

第四章集中趨勢的測量第一頁，共八十七頁，2022年，8月28日一、集中趨勢的含義指一組數(shù)據(jù)向某一個典型值或代表值集中的情況。如“大部分學(xué)生是女生”、“平均年齡為24歲”等。主要形式有：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度。測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值。低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，反過來，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)。選用哪一個測度值來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類型來確定。第一節(jié)集中趨勢的含義及作用第二頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、作用

1、反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平，說明社會現(xiàn)象在一定歷史條件下的共同性質(zhì)。如用家庭戶平均人數(shù)說明家庭結(jié)構(gòu)的一般性質(zhì)。

2、便于比較同類現(xiàn)象在不同單位間的發(fā)展水平，對社會現(xiàn)象的特征能夠從數(shù)量方面在空間上進行比較。如不同省份家庭戶平均人數(shù)不同，說明不同省份家庭觀念不同。

3、對社會現(xiàn)象的特征能夠從數(shù)量方面在時間上進行比較，能夠比較同類現(xiàn)象在不同時期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律。

4、分析社會現(xiàn)象之間的相互依存關(guān)系。如生活水平的高低與家庭人口數(shù)的多少成反方向變化。第三頁，共八十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)（一）、定義：算術(shù)平均數(shù)(Arithmeticmean)也稱為均值(Mean)，是全部數(shù)據(jù)算術(shù)平均的結(jié)果。算術(shù)平均法是計算平均指標(biāo)最基本、最常用的方法。計算公式為：算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量/總體單位總量

=（X1+X2+X3+……+Xn）/N=∑Xi/N

其中：∑為連加符號；N為總體單位數(shù)。第四頁，共八十七頁，2022年，8月28日很多社會經(jīng)濟現(xiàn)象，總體標(biāo)志總量常常是總體單位變量值的算術(shù)總和。例如，工人工資總額是總體中每個工人工資的總和，某地區(qū)小麥總產(chǎn)量是所有耕地小麥產(chǎn)量的總和。在總體標(biāo)志總量和總體單位總量的基礎(chǔ)上，就可以計算平均指標(biāo)。算術(shù)平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中具有重要的地位，是集中趨勢的最主要度量值，通常用（讀作）表示。根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。第五頁，共八十七頁，2022年，8月28日（二）簡單算術(shù)平均數(shù)(Simplearithmeticmean)未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計算就是直接將一組數(shù)據(jù)的各個數(shù)值相加除以數(shù)值個數(shù)。設(shè)統(tǒng)計數(shù)據(jù)為…，則算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：

第六頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.3]某班級40名同學(xué)統(tǒng)計學(xué)的考試成績原始資料如表3.1—2所示。表3.240名同學(xué)統(tǒng)計學(xué)原始成績第七頁，共八十七頁，2022年，8月28日該班40名同學(xué)統(tǒng)計學(xué)的平均成績?yōu)椋旱诎隧?，共八十七頁?022年，8月28日（三）、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedarithmeticmean)

當(dāng)數(shù)據(jù)資料比較多，且已編制成變量數(shù)列的情況下，就要計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，以反映總體中各總體單位某一數(shù)量的情況。第九頁，共八十七頁，2022年，8月28日

公式為：X=(X1f1+X2f2+…+Xnfn)/(f1+f2+…+fn)=∑Xifi/∑fi

其中：f為權(quán)數(shù)，即變量在總體中出現(xiàn)的次數(shù)。第十頁，共八十七頁，2022年，8月28日由于變量數(shù)列可分為單項數(shù)列（單項分組）和組距數(shù)列（組距分組），計算加權(quán)算術(shù)平均值的方法也有兩種：①由單項分組資料求算術(shù)平均值計算公式為：

X=∑Xifi/∑fi

例如：P48例2②由組距分組資料求算術(shù)平均值計算公式為：

X=∑Xmid*f/∑f

其中：Xmid表示各組組中值，f表示每組次數(shù)。注意：組中值是假定值（近似值），與實際有差距，但誤差很小。

第十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均數(shù)，就要以各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)或頻數(shù)為權(quán)數(shù)計算加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)。設(shè)原始數(shù)據(jù)被分成組，各組的變量值為…，各組變量值的次數(shù)或頻數(shù)分別為…，則加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)為：第十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.4]根據(jù)例3.3提供的40名同學(xué)的統(tǒng)計學(xué)成績原始資料分組整理如表3.1—3，根據(jù)此表資料計算平均成績。表3.340名同學(xué)統(tǒng)計學(xué)成績匯總表第十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日根據(jù)（3.12）式得第十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日根據(jù)（3.12）式計算的平均成績是76.5分，而與根據(jù)（3.11）式計算的平均成績77.23分相比，相差0.73分，顯然77.23分是準(zhǔn)確的平均成績，因為（3.11）式所用的是原始數(shù)據(jù)的全部信息。而（3.12）式是用各組的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)，使用代表值時是假定各組數(shù)據(jù)在各組中是均勻分布的，但實際情況與這一假定會有一定的偏差，使得利用分組資料計算的平均數(shù)與實際的平均值會產(chǎn)生誤差，它是實際平均值的近似值。第十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日加權(quán)算術(shù)平均數(shù)其數(shù)值的大小，不僅受各組變量值（）大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)即權(quán)數(shù)（）大小的影響。如果某一組的權(quán)數(shù)大，說明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對算術(shù)平均數(shù)的影響就越大，反之，則越小。實際上，我們將（3.12）式變形為下面的形式，就更能清楚地看出這一點。第十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日第十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日由（3.13）式可以清楚地看出，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受各組變量值（）和各組權(quán)數(shù)即頻率大小的影響。頻率越大，相應(yīng)的變量值計入平均數(shù)的份額也越大，對平均數(shù)的影響就越大；反之，頻率越小，相應(yīng)的變量值計入平均數(shù)的份額也越小，對平均數(shù)的影響就越小。這就是權(quán)數(shù)權(quán)衡輕重作用的實質(zhì)。第十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日當(dāng)我們掌握的權(quán)數(shù)不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，可直接根據(jù)（）式計算算術(shù)平均數(shù)。第十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日如例3.2，根據(jù)各組的頻數(shù)計算的頻率分別為：0.05、0.2、0.4、0.25、0.1，各組頻率之和為1，則用頻率計算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為：第二十頁，共八十七頁，2022年，8月28日第二十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日從計算結(jié)果看，用頻率加權(quán)計算的結(jié)果與用頻數(shù)加權(quán)計算的結(jié)果是一致的。第二十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日在實際生活中，我們也會經(jīng)常遇到由相對數(shù)計算平均數(shù)的情況。一般地說，求相對數(shù)的平均數(shù)應(yīng)采用加權(quán)平均的方法，此時，用于加權(quán)平均的權(quán)數(shù)不再是頻數(shù)或頻率，而應(yīng)根據(jù)相對數(shù)的含義，選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)。下面舉一個實例說明。第二十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.5]某公司所屬10個企業(yè)資金利潤率分組資料如表3.4，要求計算該公司10個企業(yè)的平均利潤率。表3.4某公司所屬10個企業(yè)資金利潤率分組資料第二十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日該例子的平均對象是各企業(yè)的資金利潤率，表中的企業(yè)數(shù)雖然是次數(shù)或頻數(shù)，但卻不是合適的權(quán)數(shù)。要正確計算公司10個企業(yè)的平均資金利潤率，因為資金利潤率=利潤總額/資金總額，所以計算平均資金利潤率需要以資金總額為權(quán)數(shù)，才能符合該指標(biāo)的性質(zhì)。因此，該公司10個企業(yè)的平均利潤率為：第二十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日（四）算數(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)算術(shù)平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中具有重要的地位，它是進行統(tǒng)計分析和統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。從統(tǒng)計思想上看，算術(shù)平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的重心所在，它是消除了一些隨機因素影響后或者數(shù)據(jù)誤差相互抵消后的必然性的結(jié)果。例如每年分季度的觀測數(shù)據(jù)，各年同季的數(shù)據(jù)由于受一些偶然性隨機因素的影響，其數(shù)值表現(xiàn)出一定的差異性，但將各年同季的數(shù)據(jù)加以平均，計算的算術(shù)平均數(shù)，就消除了一些隨機因素的影響，反映出季節(jié)變動必然性的數(shù)量特征。再如，對同一事物進行多次測量，由于測量誤差所致，或者其它因素的偶然影響，使得測量結(jié)果不一致，但利用算術(shù)平均數(shù)作為其代表值，則可以使誤差相互抵消，反映出事物固有的數(shù)量特征。另外，算術(shù)平均數(shù)具有下面一些重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這些數(shù)學(xué)性質(zhì)在實際中有著廣泛的應(yīng)用，同時也體現(xiàn)了算術(shù)平均數(shù)的統(tǒng)計思想。第二十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）在實際工作中，經(jīng)常會遇到只有各組變量值和各組標(biāo)志總量而缺少總體單位數(shù)的情況，這時就要用調(diào)和平均數(shù)法計算平均指標(biāo)。為了方便調(diào)和平均數(shù)的概念和計算方法的說明，我們先看一個簡單的例子。第二十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.6]市場上早、中、晚蔬菜的價格分別是早晨：0.67元/公斤，中午0.5元/公斤，晚上0.4元/公斤?，F(xiàn)在，我們分別按四種方法在購買蔬菜，分別計算平均價格（不管按什么方法購買，平均價格都應(yīng)該等于花費的現(xiàn)金除所買蔬菜的數(shù)量）：第二十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三十頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三種買法：早、中、晚各買一元在這種情況下，計算蔬菜平均價格比上述兩種方法稍微復(fù)雜一些，我們得先計算出一元錢所購買蔬菜的數(shù)量，然后再計算蔬菜的平均價格。要計算蔬菜的平均價格，首先應(yīng)該計算出早、中、晚各花費1元錢所購買蔬菜的數(shù)量：第三十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日這種計算平均指標(biāo)的方法同算術(shù)平均法有很大的不同，由于資料中缺乏總體單位總量，所以，就不可能直接用算術(shù)平均的方法計算平均指標(biāo)。為了達到計算目的，首先要用變量值的倒數(shù)計算出總體單位總量來，然后再計算平均指標(biāo)，調(diào)和平均數(shù)法因此而得名，也正是由于這個原因，調(diào)和平均數(shù)又稱為倒數(shù)平均數(shù)。第三十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日在上述計算平均價格的過程中，早、中、晚三個時段購買蔬菜所花費的現(xiàn)金是計算平均價格的權(quán)數(shù)，這種方法我們稱為加權(quán)調(diào)和平均法。由以上分析過程得出調(diào)和平均數(shù)的定義：調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，習(xí)慣上用(H)表示。

第三十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日在實際工作中，調(diào)和平均數(shù)通常是作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用的，也就是由于受所掌握資料的限制，有時不能直接采用算術(shù)平均數(shù)的計算公式計算平均數(shù)，這就需要使用調(diào)和平均數(shù)的形式進行計算。為了更好地理解調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用場合，我們看下面的例子。第三十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.6]某商品有三種不同的規(guī)格，銷售單價與銷售量如表3.5所示，求這三種不同規(guī)格商品的平均銷售單價。表3.5某商品三種規(guī)格的銷售數(shù)據(jù)第三十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四十頁，共八十七頁，2022年，8月28日如果已知的不是銷售量數(shù)據(jù)，而是銷售額，如表3.1—6所示，就應(yīng)改變計算方法。表3.6某商品三種規(guī)格的銷售數(shù)據(jù)第四十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日由此可見，調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)在本質(zhì)上是一致的，惟一的區(qū)別是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)。在實際應(yīng)用時，可掌握這樣的原則，當(dāng)計算算術(shù)平均數(shù)其分子資料未知時，就采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算平均數(shù)，分母資料未知時，就采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計算平均數(shù)。第四十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日三、幾何平均數(shù)(Geometricmean)幾何平均數(shù)是個變量值乘積的次方根?？煞譃楹唵螏缀纹骄鶖?shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)，計算公式分別為：第四十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日幾何平均數(shù)是適應(yīng)于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，在實際生活中，通常用來計算平均比率和平均速度。當(dāng)所掌握的變量值本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率時，就應(yīng)采用幾何平均法計算平均比率。第四十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.7]某產(chǎn)品需經(jīng)三個車間連續(xù)加工，已知三個車間制品的合格率分別為95%、90%、98%，求三個車間平均合格率。第四十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.8]某地區(qū)GDP1991～1995年平均發(fā)展速度為107.2%，1996～1998年平均發(fā)展速度為108.7%，1999～2000年平均發(fā)展速度為110%，求該地區(qū)1991～2000年間的平均發(fā)展速度。第五十頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三節(jié)、中位數(shù)和分位數(shù)一、概念要點中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中間位置的那個數(shù)值。第五十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日四、分位數(shù)中位數(shù)是從中間點將全部數(shù)據(jù)等分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)（quartile）、十分位數(shù)（decile）和百分位數(shù)（percentile）等。它們分別是用3個點、9個點和99個點將數(shù)據(jù)四等分、10等分和100等分后各分位點上的值。這里只介紹四分位數(shù)的計算，其他分位數(shù)與之類似。一組數(shù)據(jù)排序后處于25％和75％位置上的值，稱為四分位數(shù)，也稱四分位點。第五十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日四分位數(shù)是通過三個點將全部數(shù)據(jù)等分為四部分，其中每部分包含25％的數(shù)據(jù)。很顯然，中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說的四分位數(shù)是指處在25％位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)）和處在75％位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)）。與中位數(shù)的計算方法類似，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算四分位數(shù)時，首先對數(shù)據(jù)進行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置。第五十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十頁，共八十七頁，2022年，8月28日[例3.2]在某城市中隨機抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位:元），1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，計算人均月收入的四分位數(shù)。第六十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日第四節(jié)、眾數(shù)(Mode)一、概念要點眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。從變量分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點所對應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。當(dāng)然，如果數(shù)據(jù)的分布沒有明顯的集中趨勢或最高峰點，眾數(shù)也可以不存在；如果有多個高峰點，也就有多個眾數(shù)。第六十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日1.集中趨勢的測度值之一2.出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值3.不受極端值的影響4.可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)5.主要用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)第六十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日眾數(shù)的不唯一性：無眾數(shù)原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù):659855多于一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù):252828364242第六十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、眾數(shù)的計算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)計算眾數(shù)時，我們只需找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值即為眾數(shù)。對于組距分組數(shù)據(jù)，眾數(shù)的數(shù)值與其相鄰兩組的頻數(shù)分布有一定的關(guān)系，這種關(guān)系可作如下的理解：第六十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日第六十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日第七十頁，共八十七頁，2022年，8月28日第七十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日利用上述公式計算眾數(shù)時是假定數(shù)據(jù)分布具有明顯的集中趨勢，且眾數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的，若這些假定不成立，則眾數(shù)的代表性就會很差。從眾數(shù)的計算公式可以看出，眾數(shù)是根據(jù)眾數(shù)組及相鄰組的頻率分布信息來確定數(shù)據(jù)中心點位置的，因此，眾數(shù)是一個位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中極端值的影響。第七十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日第五節(jié)、平均數(shù)之間的關(guān)系一、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)都是數(shù)值平均數(shù)，即都是根據(jù)所有數(shù)據(jù)計算的。如果從純數(shù)量關(guān)系上考察，這三種平均數(shù)的關(guān)系如下：第七十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日第七十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日第七十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日三種數(shù)值平均數(shù)的這種關(guān)系是純數(shù)學(xué)意義上的。當(dāng)然，在實際應(yīng)用中，采用何種平均數(shù)應(yīng)取決于現(xiàn)象的客觀性質(zhì)和研究目的。就是說，適宜用算術(shù)平均數(shù)計算的，就不能用調(diào)和平均數(shù)或幾何平均數(shù)計算，反之亦然。算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的一種平均數(shù)，因為其計算方法是與許多社會經(jīng)濟現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系相符合的，即許多社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體各單位的標(biāo)志值之和等于總體的標(biāo)志總量，且這種方法易理解并具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)。調(diào)和平均數(shù)在實際應(yīng)用中，通常是作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用的，即利用調(diào)和平均數(shù)的形式來計算算術(shù)平均數(shù)。幾何平均數(shù)適合于對一些特殊