第四章靜態(tài)場邊值問題的解法

第四章靜態(tài)場邊值問題的解法第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日4.1分離變量法

1.分離變量法的思想

把一個(gè)包含多個(gè)自變量的函數(shù)用含單個(gè)自變量的函數(shù)的乘積表示，從而將偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程分別求解，最后利用邊界條件確定積分常數(shù)，得到級(jí)數(shù)形式的解。分離變量法解題的一般步驟：寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；分離變量，將偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程；解常微分方程，并疊加得到通解；下頁上頁返回第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。下頁上頁

分離變量法采用正交坐標(biāo)系，當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，分離變量法是一種有效的方法。2.直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）分離變量，設(shè)解答為：代入微分方程第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日設(shè)分離常數(shù)的取值有三種情況：下頁上頁除以fg分離常數(shù)特解1第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁返回指數(shù)函數(shù)特解2第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁特解3第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日

通解為所有特解的疊加下頁上頁

對于具體問題，根據(jù)邊界條件確定積分常數(shù)，積分常數(shù)的確定一般有：比較系數(shù)法傅立葉級(jí)數(shù)展開法第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日

分離常數(shù)的確定：若邊界條件可看成周期性（f=0），則分離常數(shù)為虛數(shù)，對應(yīng)解為三角函數(shù)；若邊界條件為非周期性，則分離常數(shù)為實(shí)數(shù)，對應(yīng)解為雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，其中有限區(qū)域的取雙曲函數(shù)，而無限區(qū)域的解衰減的指數(shù)函數(shù)；若場與某坐標(biāo)無關(guān)，則分離常數(shù)為零，對應(yīng)解為常數(shù)；確定了各坐標(biāo)變量方程的解，它們的乘積是拉氏方程的特解，須將特解線性疊加，使其滿足邊界條件，從而確定各系數(shù)，求得電位函數(shù)。下頁上頁返回第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。

邊值問題（D域內(nèi)）接地金屬槽的截面下頁上頁例：解：(1)(2)(3)(4)第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日代入邊界條件，確定積分常數(shù)下頁上頁由邊界條件（1）得：f(0)=0由邊界條件(1)、（2）分析可知：由邊界條件（2）得f(a)=0第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁由邊界條件（3）代入得可知g(0)=0將各特解線性疊加得通解第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁由邊界條件（4）代入通解得比較系數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日若金屬槽蓋電位，再求槽內(nèi)電位分布通解當(dāng)時(shí)，下頁上頁返回傅立葉級(jí)數(shù)第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日代入通解接地金屬槽內(nèi)的等位線分布下頁上頁第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁返回第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁2.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）設(shè)電位只是r和f

的函數(shù)，拉普拉斯方程為：分離變量,設(shè)

代入微分方程分離常數(shù)第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁

歐拉方程當(dāng)時(shí)，不是周期函數(shù)因周期函數(shù)第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，

歐拉方程必為實(shí)數(shù)必為整數(shù)下頁上頁返回第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日通解下頁上頁或若求的是圓柱區(qū)域的問題，則A0=0,B0=0第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日

取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題

垂直于均勻電場E0

放置一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，試求圓柱內(nèi)外f和E的分布。下頁上頁返回例：解：通解

均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒E0f2f1P(r,j)e第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁利用給定邊界條件確定積分常數(shù)通解對稱性b.可知參考點(diǎn)a.有限值第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日通解c.由比較系數(shù)通解下頁上頁返回第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁d.分界面的銜接條件對于f2，n=1第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日最終解下頁上頁均勻電場第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日

均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場下頁上頁介質(zhì)柱內(nèi)電場均勻，并與外加電場E

平行；表明若2<1，E2>E1；若2>1，E2<E1；第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日4.2鏡像法下頁上頁返回鏡像法與電軸法的基本思想

根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡單分布電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解簡單分布電荷電場的問題。是一種間接計(jì)算方法。

適合電荷附近由導(dǎo)體面或介質(zhì)面存在的情況。1.點(diǎn)電荷對平面導(dǎo)體的鏡像場分布特點(diǎn)：平面導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場為兩維子午平面場第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁返回邊值問題易求鏡像電荷大小與位置平面導(dǎo)體鏡像電荷位置與原電荷關(guān)于導(dǎo)體平面對稱，電荷大小相等帶電量相反，RR第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日上半場域的電位和電場下頁上頁返回-q是虛設(shè)的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導(dǎo)板上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；注意鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時(shí)也可作相應(yīng)的鏡像。pR2R1第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日地面上感應(yīng)電荷的總量為垂直地面的電場分量試求空氣中點(diǎn)電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布及點(diǎn)電荷受到的作用力。解：下頁上頁返回例：應(yīng)用鏡像法，地面任意點(diǎn)地面電荷分布RR鏡像電荷第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日點(diǎn)電荷q受到的作用力：用線電荷密度為rl無限長直導(dǎo)線代替點(diǎn)電荷q，則單位長直導(dǎo)線受到的作用力：鏡像電荷單位長作用力下頁上頁返回第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

點(diǎn)電荷對相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像

如圖，兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。

要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個(gè)鏡像電荷。如圖所示。

對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若為偶數(shù)則可用鏡像法求，鏡像電荷位于以O(shè)P為半徑的圓周上，則所有鏡像電荷數(shù)目為n-1個(gè)。OP下頁上頁返回第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論依據(jù)是：鏡像法的實(shí)質(zhì)是：鏡像法的關(guān)鍵是：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。

用虛設(shè)的簡單分布的鏡像電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻媒質(zhì)；靜電場唯一性定理；

確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置以保證原場的邊值問題不變；應(yīng)用鏡像法解題時(shí)注意：下頁上頁返回第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日2.點(diǎn)電荷對球面導(dǎo)體的鏡像點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外下頁上頁場分布特點(diǎn)：球面上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場為兩維子午平面場邊值問題導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：a第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁確定鏡像電荷的位置確定鏡像電荷大小應(yīng)用鏡像法求解球面電位將r1,r2代入方程

，得鏡像電荷放在求解的場域外。a第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日聯(lián)立求解得鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁鏡像電荷等于負(fù)感應(yīng)電荷總量。第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日球外任一點(diǎn)P的電位與電場為

球外的電場分布下頁上頁

球外的電場計(jì)算afp第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.點(diǎn)電荷q對不接地金屬球的鏡像。

邊值問題思路下頁上頁討論導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：a第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日則任一點(diǎn)電位通量為零（)

大小相等）球面等位（位于球心）下頁上頁導(dǎo)體球零電位球面電位任一點(diǎn)場強(qiáng)r1r2r_a第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日

點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖下頁上頁討論2.點(diǎn)電荷q對帶有電荷Q的金屬球的鏡像。a第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日下頁上頁

邊值問題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：a+Q任一點(diǎn)電位r1r2r_a+Q第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日a討論下頁上頁3.點(diǎn)電荷q對帶有電壓U0的金屬球的鏡像。

邊值問題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：r1r2r_aQ第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日討論下頁上頁4.點(diǎn)電荷q在不帶電的金屬球殼內(nèi)的鏡像。

邊值問題思路導(dǎo)體球內(nèi)（除q點(diǎn)）空間：aqq’bd第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、線電荷對圓柱面導(dǎo)體的鏡像（1）接地導(dǎo)體圓柱邊值問題導(dǎo)體柱外（除q點(diǎn)）空間：arl下頁上頁返回第四十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日確定鏡像電荷的位置確定鏡像電荷大小鏡像電荷放在求解的場域外。求解過程與導(dǎo)體球類似圓柱外電位