2023屆廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知扇形圓心角為，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．2．圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離3．當(dāng)前，我省正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張問(wèn)題．已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問(wèn)題，先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）A．30 B．40 C．20 D．364．如圖所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．與a的值有關(guān)聯(lián)5．已知等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,,則()A．140 B．280 C．168 D．566．無(wú)論取何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A．0 B．1 C． D．8．已知200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在的汽車(chē)輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．709．已知兩個(gè)球的表面積之比為，則這兩個(gè)球的體積之比為（）A． B． C． D．10．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_________.12．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．13．在四面體ABCD中，平面ABC，，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_(kāi)______．14．若，則__________.15．若函數(shù)圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，再向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象離原點(diǎn)最近的的對(duì)稱(chēng)中心是______．16．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則的平均數(shù)是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，、、分別是內(nèi)角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．18．設(shè)是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求.19．某班在一次個(gè)人投籃比賽中，記錄了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)投進(jìn)個(gè)球的人數(shù)分布情況：進(jìn)球數(shù)（個(gè)）012345投進(jìn)個(gè)球的人數(shù)（人）1272其中和對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)不小心丟失了，已知進(jìn)球3個(gè)或3個(gè)以上，人均投進(jìn)4個(gè)球；進(jìn)球5個(gè)或5個(gè)以下，人均投進(jìn)2.5個(gè)球．（1）投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的分別有多少人？（2）從進(jìn)球數(shù)為3，4，5的所有人中任取2人，求這2人進(jìn)球數(shù)之和為8的概率．20．已知.（1）化簡(jiǎn);（2）若,且為第一象限角,求的值.21．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)扇形面積公式得到半徑，再計(jì)算扇形弧長(zhǎng).【詳解】扇形弧長(zhǎng)故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積和弧長(zhǎng)公式，解出扇形半徑是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、B【解析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．3、A【解析】

先求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,再由乙社區(qū)的低收入家庭數(shù)量乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,即可求解【詳解】每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為,乙社區(qū)由270戶低收入家庭,故應(yīng)從乙中抽取低收入家庭的戶數(shù)為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】試題分析：本題考查幾何概型問(wèn)題，擊中陰影部分的概率為．考點(diǎn)：幾何概型，圓的面積公式．5、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，其前項(xiàng)之和為，故選A.6、A【解析】

通過(guò)整理直線的形式，可求得所過(guò)的定點(diǎn).【詳解】直線可整理為，當(dāng)，解得，無(wú)論為何值，直線總過(guò)定點(diǎn).故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

根據(jù)兩直線的平行關(guān)系，列出方程，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行，所以；由兩條直線平行可得：，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程分別為：，，顯然平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為，，很顯然兩條直線重合，不合題意，舍去，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的條件，準(zhǔn)去計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

先計(jì)算時(shí)速在的汽車(chē)頻率，再乘200,?！驹斀狻坑蓤D知：時(shí)速在的汽車(chē)頻率為所以時(shí)速在的汽車(chē)輛數(shù)為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解析】

根據(jù)兩個(gè)球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【點(diǎn)睛】直線與圓的問(wèn)題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，可得，．因?yàn)闉橹苯侨切?，可得，所以，因此，結(jié)合幾何關(guān)系，可求得外接球的半徑，，代入公式即可求球的表面積．【詳解】本題主要考查空間幾何體．由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，，，．因?yàn)闉橹苯侨切?，因此或（舍）．所以只可能是，此時(shí)，因此，所以平面所在小圓的半徑即為，又因?yàn)?，所以外接球的半徑，所以球的表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，難點(diǎn)在于確定BC的長(zhǎng)，即得到，再結(jié)合幾何性質(zhì)即可求解，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬中檔題．12、1【解析】因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為1．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．13、【解析】

易得四面體為長(zhǎng)方體的一角,再根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線等于外接球直徑,再利用對(duì)角線公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗拿骟w中,平面,且,.故四面體是以為一個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體一角.設(shè)則因?yàn)樗拿骟w的外接球的表面積為,設(shè)其半徑為,故.解得.故四面體的體積.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方體一角的四面體的外接球有關(guān)問(wèn)題,需要注意長(zhǎng)方體體對(duì)角線等于外接球直徑.屬于中檔題.14、；【解析】

易知的周期為，從而化簡(jiǎn)求得.【詳解】的周期為，且，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的周期以及利用周期求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后由三角函數(shù)圖象變換得新解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得對(duì)稱(chēng)中心．【詳解】由題意，經(jīng)過(guò)圖象變換后新函數(shù)解析式為，由，，，絕對(duì)值最小的是，因此所求對(duì)稱(chēng)中心為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查二倍角公式，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16、5【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】由題意，故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查求新數(shù)據(jù)的均值．掌握均值定義是解題關(guān)鍵．實(shí)際上如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，由，可求，結(jié)合范圍，可求．（2）利用三角形的面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，即可計(jì)算得解的周長(zhǎng)的值．【詳解】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，即，∵，∴，∵，∴．（2）∵，，的面積為，，∴，∴由余弦定理可得：，∴解得：，∴的周長(zhǎng).【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18、（I）；（II）.【解析】

（I）設(shè)公差為，根據(jù)題意可列關(guān)于的方程組,求解，代入通項(xiàng)公式可得；（II）由（I）可得，進(jìn)而可利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.∴.∴點(diǎn)睛：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和共涉及五個(gè)基本量，知道其中三個(gè)可求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問(wèn)題的思想.19、（1）投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的分別有2人和2人；（2）.【解析】

（1）設(shè)投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的分別有，人，則,解方程組即得解.（2）利用古典概型的概率求這2人進(jìn)球數(shù)之和為8的概率．【詳解】解：（1）設(shè)投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的分別有，人，則解得．故投進(jìn)3個(gè)球和4個(gè)球的分別有2人和2人．（2）若要使進(jìn)球數(shù)之和為8，則1人投進(jìn)3球，另1人投進(jìn)5球或2人都各投進(jìn)4球．記投進(jìn)3球的2人為，；投進(jìn)4球的2人為，；投進(jìn)5球的2人為，．則從這6人中任選2人的所有可能事件為：，，，，，，，，，，，，，，．共15種．其中進(jìn)球數(shù)之和為8的是，，，，，有5種．所以這2人進(jìn)球數(shù)之和為8的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算和古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）由條件利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)所給的式子,即可求得答案;（2）由題意應(yīng)用誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值,可得的值,即可求得答案.【詳解】（1）（2）①又②解