2023屆黑龍江省哈爾濱市第24中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，位于處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營(yíng)救．在處南偏西且相距20海里的處有一救援船，其速度為海里小時(shí)，則該船到求助處的時(shí)間為（）分鐘．A．24 B．36 C．48 D．602．在中，分別為角的對(duì)邊，若，且,則邊=()A． B． C． D．3．如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得x,y的四組數(shù)值分別是A1,3，B2,3.8，C3,5.2，D4,6，則A．y=x+1.9 B．C．y=0.95x+1.04 D．4．正六邊形的邊長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對(duì)的描述正確的是（）A． B． C． D．5．設(shè)，若3是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）.A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，則向量（）A． B． C． D．7．同時(shí)拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時(shí)出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．8．已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．1010．已知，則的值為（）A． B． C． D．2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知中，，且，則面積的最大值為__________.12．函數(shù)的定義域?yàn)開____________．13．已知圓是圓上的一條動(dòng)直徑，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____.14．P是棱長(zhǎng)為4的正方體的棱的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程是_______.15．在數(shù)列中，已知，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.16．在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則三棱錐的外接球的表面積為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓（1）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；（3）當(dāng)取何值時(shí)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng)．18．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求邊c的值；（2）求的面積19．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足：．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．在等比數(shù)列中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知是圓的直徑，垂直圓所在的平面,是圓上任一點(diǎn)．求證:平面⊥平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出時(shí)間即可.【詳解】由題意可知：，運(yùn)用余弦定理可知：該船到求助處的時(shí)間，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】

由利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡(jiǎn)得a2b2+c2，與，聯(lián)立即可求出b的值．【詳解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b＝8c?cosA，將cosA代入得：b＝8c?，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），則b＝1．故選B【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準(zhǔn)確計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，是中檔題3、B【解析】

求出樣本數(shù)據(jù)的中心(2.5,4.5)，依次代入選項(xiàng)中的回歸方程.【詳解】∵x∴樣本數(shù)據(jù)的中心為(2.5,4.5)，將它依次代四個(gè)選項(xiàng)，只有B符合，∴y與x之間的回歸直線方程是y=1.04x+1.9【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，而不是考查利用最小二乘法求回歸直線方程.4、A【解析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結(jié)論．【詳解】由題意，以頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，以頂點(diǎn)D為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因?yàn)榉謩e為的最小值、最大值，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，分析出向量數(shù)量積的正負(fù)是關(guān)鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．5、C【解析】

由3是與的等比中項(xiàng)，可得，再利用不等式知識(shí)可得的最小值.【詳解】解：3是與的等比中項(xiàng)，，，=，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了計(jì)算變通能力.6、D【解析】

利用終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到向量的坐標(biāo)．【詳解】∵點(diǎn)，，∴向量，，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解.【詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布.本題也可根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解.8、B【解析】

將變形解出夾角的余弦值，從而求出與的夾角．【詳解】由得，即又因?yàn)椋?，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角，屬于簡(jiǎn)單題．9、A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào).點(diǎn)睛:對(duì)于拋物線弦長(zhǎng)問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長(zhǎng)的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.10、B【解析】

根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合，可以求出的值，用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式中的平方和關(guān)系把等式變成分子、分母的齊次式形式，最后代入求值即可.【詳解】..故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了二倍角的正弦公式，考查了兩角和的正切公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，邊上的高最大，的面積最大，利用余弦定理求出，最后求面積的最大值.【詳解】由可得，由正弦定理，得，故，當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，邊上的高最大，的面積最大，此時(shí).由余弦定理知，，即，故面積的最大值為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.12、【解析】函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?3、【解析】

由題意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【詳解】圓，得，則圓心C（1，2），半徑R＝，如圖可得：＝＝﹣＝，點(diǎn)是直線上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題．14、【解析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對(duì)稱的，所得結(jié)果一樣，另外一種是以側(cè)棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對(duì)稱，求得結(jié)果一樣，故解題時(shí)選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗(yàn)證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為4，6，故兩點(diǎn)之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2，8，故兩點(diǎn)之間的距離是故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程是cm故答案為【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意把求幾何體表面上兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)移到平面中來(lái)求15、【解析】

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的周期性，從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和的值.【詳解】對(duì)任意的，，.則，，，，，，所以，.，且，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列周期性的應(yīng)用，解題時(shí)要結(jié)合遞推公式求出數(shù)列的前若干項(xiàng)，找出數(shù)列的規(guī)律，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解析】

設(shè)三棱錐的外接球半徑為，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用公式可計(jì)算出外接球半徑，最后利用球體的表面積公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，的外接圓直徑為，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，平面，，因此，三棱錐的外接球表面積為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球，考查球體表面積的計(jì)算，在求解直棱柱后直棱錐的外接球，若底面外接圓半徑為，高為，可利用公式得出外接球的半徑，解題時(shí)要熟悉這些結(jié)論的應(yīng)用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或；（3）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；（3）由直線，得直線過定點(diǎn),根據(jù)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可求解．【詳解】（1）由題意，圓的圓心，半徑為，設(shè)，因?yàn)閳A心與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，則，半徑，所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)點(diǎn)到直線距離為，圓的弦長(zhǎng)公式，得，解得，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線的方程為，綜上，直線方程為或（3）由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn),當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又由，可得，此時(shí)最短弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的弦長(zhǎng)公式，合理、準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）3【解析】

（1）由可得,利用正弦定理可得,即可求解；（2）先利用余弦定理求得,即可求得,再利用三角形面積公式求解即可【詳解】解:（1）因?yàn)?所以,即,則（2）由（1）,則,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化,考查利用余弦定理求角,考查三角形面積公式的應(yīng)用19、（1）（2）【解析】試題分析：(1)對(duì)于求得首項(xiàng)和公差即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于，利用遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；(2)利用數(shù)列的特點(diǎn)錯(cuò)位相減求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.試題解析：(I)①②①-②得,為等比數(shù)列,(II)由兩式相減，得點(diǎn)睛：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．20、（1）（2）【解析】

（1）將已知條