象棋殘局中的數學文化

象棋殘局中的數學文化1編輯課件趣題——找次品：

1）有5個外形相同的乒乓球，其中只有

1個重量不標準的次品乒乓球。現再給你一個標準球；請用一架不帶砝碼的天平，最多兩次使用該天平，找出上述次品乒乓球。2編輯課件最優(yōu)化思想最少次數完成預定任務最大限度發(fā)揮該天平的作用3編輯課件趣題——找次品：

2）有12個外形相同的乒乓球，其中只有

1個重量不標準的次品乒乓球。請用一架不帶砝碼的天平，最多三次使用該天平，找出上述次品乒乓球，并判斷它是重于標準球，還是輕于標準球。4編輯課件關于“讀書報告”不少于3000字；著重在“讀書”及“數學思想”；于第15周以前交來（即5月29日以前交來）；既以郵件附件形式交電子稿(word03版)，也交打印稿（電子稿要見到我的“回復”郵件才算“交稿”）；（郵件“主題”寫“數學文化”）發(fā)電子稿時的“附件文件名”：學號、姓名、手機號、題目有的“圖”如果在電子稿上有困難，可以在打印稿上“手繪”；詳細“要求”請看“數學文化”課的課件1；“格式要求”與《數學之美》的投稿要求相同5編輯課件第三章

若干數學典故中的數學文化6編輯課件第二節(jié)歷史上的三次數學危機（2）

7編輯課件

歷史上，數學的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數學發(fā)展的先導。數學發(fā)展史上有三次數學危機。每一次數學危機，都是數學的基本部分受到質疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數學上的三次思想解放，大大推動了數學科學的發(fā)展。8編輯課件

一、第一次數學危機

第一次數學危機是由不能寫成兩個整數之比引發(fā)的。

9編輯課件

這一危機發(fā)生在公元前5世紀，危機來源于：當時認為所有的數都能表示為整數比，但突然發(fā)現不能表為整數比。其實質是：是無理數，全體整數之比構成的是有理數系；有理數系需要擴充，需要添加無理數。10編輯課件

當時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機。他采用了一個十分巧妙的關于“兩個量之比”的新說法，回避了是無理數的實質，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結果，使幾何的基礎牢靠了，幾何從全部數學中脫穎而出。歐幾里得的《幾何原本》中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數學的基礎。但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴實數理論的建立。11編輯課件

二、第二次數學危機

第二次數學危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀。第一次數學危機是由畢達哥拉斯學派內部提出的，第二次數學危機則是由牛頓學派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質疑引起的。12編輯課件1．危機的引發(fā)

1）牛頓的“無窮小”牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。13編輯課件

例如，設自由落體在時間下落的距離為，有公式，其中是固定的重力加速度。我們要求物體在的瞬時速度，先求?！啵?）14編輯課件

當變成無窮小時，右端的也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是，這就是物體在時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴格，遭到責難。15編輯課件

2）貝克萊的發(fā)難英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。貝克萊問道：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？16編輯課件

如果是0，上式左端當成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的就不能任意去掉。

在推出上式時，假定了才能做除法，所以上式的成立是以為前提的。那么，為什么又可以讓而求得瞬時速度呢？

因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。（*）17編輯課件

貝克萊還諷刺挖苦說：即然和都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。這就是著名的“貝克萊悖論”。對牛頓微積分的這一責難并不是由數學家提出的，但是，18編輯課件貝克萊的質問是擊中要害的數學家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責難。19編輯課件3）實踐是檢驗真理的唯一標準應當承認，貝克萊的責難是有道理的?！盁o窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎。牛頓和當時的其它數學家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小”的方法。數學家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責。這表明，在大多數人的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標準。”20編輯課件

2．危機的實質

第一次數學危機的實質是“不是有理數，而是無理數”。那么第二次數學危機的實質是什么？應該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎。21編輯課件

其實，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比”的時候，這種說法本身就是不明確的，是含糊的。當然，牛頓也曾在他的著作中說明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時的比——例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。他這里雖然提出和使用了“極限”這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。22編輯課件

德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因為如此，此后近二百年間的數學家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由“無窮小”引發(fā)的第二次數學危機，實質上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學的基礎。23編輯課件牛頓萊布尼茨24編輯課件3．危機的解決

1）必要性微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數學家的一塊心病。25編輯課件

而且，隨著時間的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數學家在研究無窮級數的時候，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結論。由于沒有嚴格的極限理論作為基礎。數學家們在有限與無限之間任意通行（不考慮無窮級數收斂的問題）。

26編輯課件

因此，進入19世紀時，一方面微積分取得的成就超出人們的預料，另一方面，大量的數學理論沒有正確、牢固的邏輯基礎，因此不能保證數學結論是正確無誤的。歷史要求為微積分學說奠基。27編輯課件2）嚴格的極限理論的建立到19世紀，一批杰出數學家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限理論，并把它作為微積分的基礎。應該指出，嚴格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。28編輯課件

①在18世紀時，人們已經建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。②達朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。③19世紀初，捷克數學家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數學分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。29編輯課件④而做出決定性工作、可稱為分析學的奠基人的是法國數學家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數學史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導數、微分、定積分和無窮級數的收斂性，已與我們現在教科書上的差不太多了。30編輯課件柯西波爾查諾31編輯課件3）嚴格的實數理論的建立

①對以往理論的再認識后來的一些發(fā)現，使人們認識到，極限理論的進一步嚴格化，需要實數理論的嚴格化。微積分或者說數學分析，是在實數范圍內研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數系的依賴比人們想象的要深奧得多。32編輯課件

一件事是，1874年德國數學家魏爾斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，1815—1897）構造了一個“點點連續(xù)而點點不可導的函數”?！斑B續(xù)函數”在直觀上是“函數曲線沒有間斷，連在一起”，而“函數在一點可導”直觀上是“函數曲線在該點有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導”有密切的聯系。這之前甚至有人還證明過：函數在連續(xù)點上都可導（當然是錯誤的）。因此根本不可想象，還會有“點點連續(xù)而點點不可導的函數”。

33編輯課件

魏爾斯特拉斯(1815～1897)

德意志帝國數學家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學學習法律和財政。1838年轉學數學。1842～1856年，先后在幾所中學任教。1854年3月31日獲得柯尼斯堡大學名譽博士學位。1856年10月受聘為柏林大學助理教授，同年成為柏林科學院成員，1864年升為教授。34編輯課件

魏爾斯特拉斯關于“點點連續(xù)而點點不可導的函數”的例子是

其中是奇數，，使。35編輯課件

另一件事是德國數學家黎曼（B.Riemann，1826—1866）發(fā)現，柯西把定積分限制于連續(xù)函數是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數不連續(xù)，其定積分也可能存在。黎曼還造出一個函數，當自變量取無理數時它是連續(xù)的，當自變量取有理數時它是不連續(xù)的。（

x為無理數時y=0；

x=q/p既約時y=1/p

）36編輯課件

黎曼

1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學，14歲進入大學預科學習，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學攻讀哲學和神學，1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。

37編輯課件

這些例子使數學家們越來越明白，在為分析建立一個完善的基礎方面，還需要再前進一步：即需要理解和闡明實數系的更深刻的性質。38編輯課件

②魏爾斯特拉斯的貢獻

德國數學家魏爾斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）的努力，終于使分析學從完全依靠運動學、直觀理解和幾何概念中解放出來。他的成功產生了深遠的影響，主要表現在兩方面，一方面是創(chuàng)造了精確的“”語言，另一方面是由此對建立實數系做出貢獻。39編輯課件“”語言的成功，表現在：這一語言給出極限的準確描述，消除了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終比”、“無限地趨近于”，等等。這樣一來，分析中的所有基本概念都可以通過實數和它們的基本運算和關系精確地表述出來。40編輯課件4）極限的“”定義及“貝克萊悖論”的消除

①極限的“”定義41編輯課件

定義：設函數在的附近都有定義，如果有一個確定的實數都，使當時，有我們就說“函數在趨近于時，有極限”。

記為。

42編輯課件

由極限的這個“”定義，可以求出一些基本的極限，并嚴格地建立一整套豐富的極限理論。簡單說，例如有

兩個相等的函數，取極限后仍相等；兩個函數，和的極限等于極限的和。等等。43編輯課件

②“貝克萊悖論”的消除

回到牛頓的（*）式上：（*）這是在（即）條件下，得到的等式；它表明時間內物體的平均速度為。（*）式等號兩邊都是的函數。然后，我們把物體在時刻的瞬時速度定義為：上述平均速度當趨于0時的極限，即物體在時刻的瞬時速度=。44編輯課件

下邊我們對（*）式的等號兩邊同時取極限，根據“兩個相等的函數取極限后仍相等”，得瞬時速度=再根據“兩個函數和的極限等于極限的和”，得然后再求極限得45編輯課件

上述過程所得結論與牛頓原先的結論是一樣的，但每一步都有了嚴格的邏輯基礎?！柏惪巳R悖論”的焦點“無窮小量是不是0？”，在這里給出了明確的回答：。這里也沒有“最終比”或“無限趨近于”那樣含糊不清的說法。46編輯課件

總之，第二次數學危機的核心是微積分的基礎不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I在于，將微積分建立在極限論的基礎。魏爾斯特拉斯的貢獻在于，創(chuàng)造了“”語言，與其他數學家一起邏輯地構造了實數系，建立了嚴格的實數理論，使之成為極限理論的基礎。所以，建立數學分析（或者說微積分）基礎的“邏輯順序”是：實數理論—極限理論—微積分。

而“歷史順序”則正好相反。47編輯課件知識的邏輯順序與歷史順序

有時是不同的.48編輯課件

三、第三次數學危機1．“數學基礎”的曙光——集合論到19世紀，數學從各方面走向成熟。非歐幾何的出現使幾何理論更加擴展和完善；實數理論（和極限理論）的出現使微積分有了牢靠的基礎；群的理論、算術公理的出現使算術、代數的邏輯基礎更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數學的基礎在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數學的基礎。49編輯課件

其理由是：算術以整數、分數等為對象，微積分以變數、函數為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術的對象可說成是“以整數、分數等組成的集合”；微積分的對象可說成是“以函數等組成的集合”；幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合”。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。50編輯課件

于是，集合論似乎給數學家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫“數學基礎”的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數學家大會上宣稱：“現在我們可以說，完全的嚴格性已經達到了！”51編輯課件

2．算術的集合論基礎

1）人們按下列邏輯順序把全部數學的基礎歸結為算術，即歸結為非負整數，即自然數集合加上0——現在我國中小學就把這一集合稱為自然數集合。（算術）非負整數n→有理數實數復數圖形52編輯課件

因此，全部數學似乎都可歸結為非負整數了，或者說，全部數學都可以歸結為算術了。這樣，如果能把算術建立在集合論的基礎上，就相當于解決了整個“數學基礎”的問題。法國數學家、數理邏輯先驅弗雷格（G.Frege,1848—1925）就做了這樣的工作。他寫了一本名叫《算術基礎》的書。53編輯課件弗雷格《算術基礎》54編輯課件

2)弗雷格的《算術基礎》

為了使算術建立在集合論的基礎上，所有的非負整數，都需要用集合論的觀點和語言重新定義。首先從0說起。0是什么？應當先回答0是什么，然后才有表示“0”的符號。55編輯課件

為此，先定義“空集”?？占恰安缓氐募稀?。例如，“方程在實數集中的根的集合”就是一個空集，再例如“由最大的正整數組成的集合”也是一個空集。56編輯課件

所有的空集放在一起，作成一個集合的集合，（為說話簡單我們把“集合的集合”稱作類），這個類，就可以給它一個符號：0，中國人念“l(fā)ing”，英國人念“Zero”。

空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。由它再作成一個集合{0}，則不是空集了。57編輯課件

弗雷格再定義兩個集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射，所以一般稱為“雙射”。弗雷格再定義兩個集合的“等價”：，能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為“等價”。58編輯課件

下邊可以定義“1”了。把與集合{0}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就可以給它一個符號：1。再定義“2”。把與集合{0，1}等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就叫：2。然后，把與{0，1，2}等價的集合作成的類，叫：3。59編輯課件

一般地，在有了0，1，2，…，n的定義后，就把所有與集合{0，1，2，…，n}等價的集合放在一起，作成集合的集合，這樣的類，定義為：n+1。這種定義概念的方法，叫作“歸納定義”的方法。60編輯課件

這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅用到集合及集合等價的概念，把全部非負整數定義出來了。于是根據上邊說的“可以把全部數學歸結為非負整數”，就可以說，全部數學可以建立在集合論的基礎上了。61編輯課件

3．羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機

1）悖論引起震憾和危機正當弗雷格即將出版他的《算術基礎》一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數學已經建立起來！”之后剛剛兩年，即1902年。62編輯課件

伯特蘭·羅素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)

出生年月：1872-1970國籍：英國

學科成就：英國著名哲學家、數學家、邏輯學家，分析學的主要創(chuàng)始人，世界和平運動的倡導者和組織者。

所獲獎項：1950年諾貝爾文學獎。

羅素63編輯課件

集合論中居然有邏輯上的矛盾！傾刻之間，算術的基礎動搖了，整個數學的基礎似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震憾是空前的。許多原先為集合論興高采烈的數學家發(fā)出哀嘆：我們的數學就是建立在這樣的基礎上的嗎？

羅素悖論引發(fā)的危機，就稱為第三次數學危機。64編輯課件

羅素把他發(fā)現的悖論寫信告訴弗雷格。弗雷格在他的《算術基礎》一書的末尾無可奈何地寫道：“一個科學家遇到的最不愉快的事莫過于，當他的工作完成時，基礎崩塌了。當本書即將印刷時，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地。”65編輯課件

2）羅素悖論在敘述羅素悖論之前,我們先注意到下邊的事實：一個集合或者是它本身的成員(元素),或者不是它本身的成員(元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集合”，把后者稱為“正常集合”。66編輯課件

例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。67編輯課件羅素當年的例子“異常集合”1：不多于29個字母表達的句子所構成的集合“異常集合”2：不是麻雀的東西所構成的集合68編輯課件

羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）69編輯課件

如果是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即不是它本身的成員，這與假設矛盾。即

如果不是它本身的成員，則按及的定義，是的成員，而不是的成員，即是它本身的成員，這又與假設矛盾。即

悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。70編輯課件

羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應該給他自己刮臉，這與假設矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應該給他自己刮臉，這又與假設矛盾。71編輯課件4．危機的消除

危機出現以后，包括羅素本人在內的許多數學家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎，另一種是分析悖論產生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。72編輯課件

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎之上的，這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（悖論的實質）是“自我指謂”。即，一個待定義的概念，用了包含該概念在內的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時，涉及到“自身”這個待定義的對象。（再如“本句話是七個字”）73編輯課件

為了消除悖論，數學家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構造集合的原則，例如，不允許出現“所有集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這樣的集合。74編輯課件

1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統。

1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統。再后來，還有改進的ZFC-系統。這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。75編輯課件

但是，新的系統的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內有沒有狼”。這就是說，第三次數學危機的解決，并不是完全令人滿意的。76編輯課件

四、三次數學危機與“無窮”的聯系