橋梁設(shè)計(jì)理論第一二三講三

浙江大學(xué)橋梁與隧道專業(yè)研究生學(xué)位課程《橋梁設(shè)計(jì)理論》二00二年九月第-PAGEII–頁(yè)目錄第一講概述………………1第二講薄壁箱形梁的結(jié)構(gòu)與受力特點(diǎn)……………………2第三講薄壁箱形梁的彎曲…………………6第四講薄壁箱梁剪力滯的變分解法………20第五講薄壁箱形梁的自由扭轉(zhuǎn)……………38第六講薄壁箱形梁的約束扭轉(zhuǎn)……………56第七講薄壁箱形梁的組合扭轉(zhuǎn)……………72第八講薄壁箱形梁的畸變…………………87第九講曲線梁橋計(jì)算理論………………105第十講斜橋計(jì)算理論……………………113第一講概述本課程是橋隧專業(yè)碩士研究生的專業(yè)課，它是在本科《橋梁工程》的基礎(chǔ)上對(duì)內(nèi)容進(jìn)行深化，著重介紹一些設(shè)計(jì)公式和規(guī)范條文的理論依據(jù)。使研究生能從原理上和從問(wèn)題的本質(zhì)上去認(rèn)識(shí)橋梁結(jié)構(gòu)的受力特性和性能，為今后從事橋梁工程研究工作打下基礎(chǔ)，并掌握基本的研究方法?！稑蛄汗こ獭返闹攸c(diǎn)是簡(jiǎn)支梁橋，計(jì)算理論是以橫向分布為基礎(chǔ)，形式以空心板梁和梁為重點(diǎn)，其中橫向分布概念的引入，將橋梁空間結(jié)構(gòu)問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題，極大地簡(jiǎn)化了梁橋的計(jì)算。但是該方法在其他體系的橋梁如連續(xù)梁橋、懸臂梁橋、剛架橋、斜拉橋、懸索橋及拱橋等，應(yīng)用很不成功。其主要原因是這些體系的橋梁的主梁常采用箱形截面。在利用橫向分布技術(shù)處理箱形梁計(jì)算時(shí)，通常將箱梁腹板近似看作等截面的梁肋，按修正偏壓法求出活載作用下邊腹板的荷載分配系數(shù)，再乘以腹板總數(shù)，得到箱梁截面活載內(nèi)力增大系數(shù)，然后求得箱梁內(nèi)力[姚玲森《橋梁工程》P.198]，這種方法有時(shí)會(huì)引起很大的誤差，因?yàn)橄淞菏且环N閉合截面，看作等截面梁肋的做法，是將閉合截面處理成開(kāi)口截面，與實(shí)際不符。因此，本課程將研究箱梁計(jì)算理論，包括箱梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變等方面設(shè)計(jì)計(jì)算分析方法?！稑蛄汗こ獭分薪榻B了斜橋的受力特點(diǎn)，但并沒(méi)有討論其計(jì)算理論，還有隨著城市高速路的發(fā)展，立交橋日益增多，為增添城市景觀，使橋梁服從線路的平面布置和提高交通樞紐的使用功能，曲線橋梁應(yīng)運(yùn)而生，因此，本課程將斜、彎橋列入。針對(duì)我校本科教學(xué)的特點(diǎn)，鋼筋混凝土尤其是預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁計(jì)算理論是薄弱點(diǎn)，本課程也將這部分內(nèi)容列入。第二講箱形梁的結(jié)構(gòu)與受力特點(diǎn)第一節(jié)箱形梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用一、箱形結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用得益于它的眾多優(yōu)點(diǎn)：（一）截面抗扭剛度大，結(jié)構(gòu)在施工與使用過(guò)程中都具有良好的穩(wěn)定性；（二）頂板和底板都具有較大的混凝土面積，能有效地抵抗正負(fù)彎矩，并滿足配筋的要求。適應(yīng)具有正負(fù)彎矩的結(jié)構(gòu)，如連續(xù)梁、斜拉橋、拱橋的拱肋和懸索橋加勁梁等；（三）適應(yīng)現(xiàn)代化施工方法的要求，如懸臂施工法、頂推法等；（四）承重結(jié)構(gòu)與傳力結(jié)構(gòu)相結(jié)合，使各部件共同受力，經(jīng)濟(jì)效果良好，同時(shí)截面效率高，適合預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)空間布束，更加收到經(jīng)濟(jì)效果；（五）適合于修建曲線橋；顯然，箱形截面也存在一些不足之處，需要引起設(shè)計(jì)者的充分重視。如箱形截面屬薄壁結(jié)構(gòu)，除受力鋼筋外，還需配置大量構(gòu)造鋼筋，這對(duì)于中等跨徑的橋梁，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致用鋼量比工字形或T形截面增多。而對(duì)于大跨徑橋梁，由于箱形截面乃實(shí)腹式梁，比起空腹式的桁架式結(jié)構(gòu)自重大。而減輕自重是大跨徑橋梁的重要課題，因而在設(shè)計(jì)時(shí)必須采取措施減輕自重，以節(jié)省材料，使造價(jià)經(jīng)濟(jì)。近年來(lái)由于三向（即縱向、橫向、豎向）預(yù)應(yīng)力的應(yīng)用，可采用薄壁、少肋的所謂寬箱截面，以收到良好的經(jīng)濟(jì)效果。二、箱形截面在各類橋梁上的應(yīng)用箱形截面早期應(yīng)用于普通鋼筋混凝土懸壁梁橋和連續(xù)梁橋，一般采用在支架上現(xiàn)澆施工。近代由于預(yù)應(yīng)力混凝土的發(fā)展，同時(shí)由于現(xiàn)代施工技術(shù)的進(jìn)步，箱形截面更加廣泛應(yīng)用于各種現(xiàn)代橋梁，而且一般采用無(wú)支架施工。據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)跨徑大于60m后，除極少數(shù)外，其橫截面大多為箱形截面，其結(jié)構(gòu)形式有簡(jiǎn)支、懸臂、T形剛構(gòu)、連續(xù)梁等。截面形式如圖2-1。1、簡(jiǎn)支梁一般采用預(yù)制安裝，單箱或多箱截面形式，公路橋梁最大跨徑達(dá)76m；鐵路橋梁則采用單箱單室等高梁，跨徑在40m以內(nèi)。2、懸臂梁橋、T形剛構(gòu)橋以及連續(xù)梁橋一般采用懸臂施工法。連續(xù)梁橋還可采用項(xiàng)推法施工。這些施工方法都充分發(fā)揮箱形截面的優(yōu)越性。大跨徑梁式橋多采用變高度梁，其最大跨徑已達(dá)270m。3、在城市高架橋中，采用梯形單箱單室截面與單柱墩配合，具有外形簡(jiǎn)潔、美觀，橋下通視良好的優(yōu)點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。圖2-2城市高架橋箱形截面形式圖2-2城市高架橋箱形截面形式4、在現(xiàn)代斜拉橋中，也廣泛應(yīng)用箱形截面，特別是采用單索面時(shí)，由于箱形截面的主梁抗扭剛度大，有利于承受偏心荷載，而且也便于拉索與主梁的連接。采用三角箱的斜拉橋具有風(fēng)動(dòng)力性能良好的優(yōu)點(diǎn)。5、在拱式橋梁中，大跨徑的鋼筋混凝土拱橋大都采用箱形截面。由于箱形截面中和軸居中，能抵抗相等的正負(fù)彎知，適應(yīng)拱中各截面正負(fù)彎短的變化；抗扭剛度大，拱中應(yīng)力分布較均勻；施工中穩(wěn)定性好，有利于單片成拱，便于無(wú)支架施工。拱圈截面形式可以是多箱組合，也可以用單箱式。三、箱形截面的構(gòu)造要點(diǎn)（一）外形：由頂板、底板、肋板及梗腋組成1、頂板：除承受結(jié)構(gòu)正負(fù)彎矩外，還承受車輛荷載的直接作用。在以負(fù)彎矩為主的懸壁梁及T形剛構(gòu)橋中，頂板中布置了數(shù)量眾多的預(yù)應(yīng)力鋼束，要求頂板面積心須滿足布置鋼束的需要，厚度一般取18—25cm。2、底板主要承受正負(fù)彎矩。當(dāng)采用懸臂施工法時(shí)，梁下緣承受很大的壓應(yīng)力，特別是靠近橋墩的截面，要求提供的承壓面積更大；同時(shí)在施工時(shí)還承受掛籃底模板的吊點(diǎn)反力。在T形剛構(gòu)橋和連續(xù)梁橋中，底板厚度隨梁的負(fù)彎矩塔大而逐漸加厚。底板最小厚度15cm。3、肋板承受截面剪應(yīng)力及主位應(yīng)力，并承受局部荷載產(chǎn)生的橫向彎矩，其厚度還須滿足布置預(yù)應(yīng)力筋及澆筑混凝土的要求，以及錨固錨頭的需要，一般厚度為20-35cm，大跨徑橋梁可采用變厚度。4、梗腋頂板與肋板交接處設(shè)使梗液，其作用是；（1）提高截面抗扭剛度，減少畸變應(yīng)力；（2）使橋面板支點(diǎn)加厚，減少橋面板跨中彎矩；（3）使力線過(guò)渡平緩，避免應(yīng)力集中；（4）提供布置縱向預(yù)應(yīng)力鋼束的面積。底板與助板交接處的梗腋，其作用不如上梗腋顯著，尺寸可較小，有的國(guó)外橋梁甚至不設(shè)。尺寸：以提高截面的抗扭剛度為目的設(shè)置，其斜度可按1:1，也可1:2或2:1設(shè)計(jì)。注意：在大跨徑箱形梁橋中，結(jié)構(gòu)自重占總荷載的比例較大（可達(dá)80％以上），為減輕自重，宜采用寬箱薄壁截面。圖2-3箱形截面配筋示意圖兩層鋼筋網(wǎng)橫向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋豎向預(yù)應(yīng)力筋兩層鋼筋網(wǎng)（二）箱形截面的配筋圖2-3箱形截面配筋示意圖兩層鋼筋網(wǎng)橫向預(yù)應(yīng)力筋縱向預(yù)應(yīng)力筋豎向預(yù)應(yīng)力筋兩層鋼筋網(wǎng)箱形截面的預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)一般配有預(yù)應(yīng)力鋼筋和非預(yù)應(yīng)力向普通鋼筋。1、縱向預(yù)應(yīng)力鋼筋：結(jié)構(gòu)的主要受力鋼筋，根據(jù)正負(fù)彎矩的需要一般布置在頂板和底板內(nèi)。這些預(yù)應(yīng)力鋼束部分上彎或下彎而錨于助板，以產(chǎn)生預(yù)剪力。近年來(lái)，由于大噸位預(yù)應(yīng)力束的采用，使在大跨徑橋梁設(shè)計(jì)中，無(wú)需單純?yōu)榱瞬贾帽姸嗟念A(yù)應(yīng)力束而增大頂板或底板面積，使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔，而又便于施工。2、橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋：當(dāng)箱梁肋板間距較大，或箱的懸臂板長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，采用普通鋼筋混凝土的板面板，鋼筋用量過(guò)多，或需要較厚的橋面板。這時(shí)可考慮設(shè)置橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋，橫向預(yù)應(yīng)力鋼筋一般為直線形，布置在頂板的上、下兩層鋼筋網(wǎng)間，錨固于懸臂板端。3、豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋：當(dāng)肋板中的剪應(yīng)力或主位應(yīng)力較大，配置普通鋼筋不能滿足要求時(shí)，可布置豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋，避免采取加厚肋板增大自重帶來(lái)的不利影響。豎向預(yù)應(yīng)力筋一般下端埋入脅板混凝土，上端錨于頂板項(xiàng)面。配有縱向、橫向、豎向預(yù)應(yīng)力鋼筋的結(jié)構(gòu)稱為三向預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。近年來(lái)，大跨徑箱形截面橋梁都采用三向預(yù)應(yīng)力?？v向彎曲剛性扭轉(zhuǎn)畸變橫向撓曲縱向彎曲剛性扭轉(zhuǎn)畸變橫向撓曲圖2-4箱形梁在偏心荷載作用下的變形狀態(tài)第二節(jié)箱形梁的受力特點(diǎn)作用在箱形梁上的主要荷載是恒載與活載。恒載一般是對(duì)稱作用的，活載可以是對(duì)稱作用，但更多的情況是偏心作用的，因此，作用于箱形梁的外力可綜合表達(dá)為偏心荷載來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析；在偏心荷載作用下，箱形梁將產(chǎn)生縱向彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變及橫向撓曲四種基本變形狀態(tài)。詳見(jiàn)圖2-4。1、縱向彎曲產(chǎn)生豎向變位，在橫截面上起縱向正應(yīng)力及剪應(yīng)力。對(duì)于肋距不大的箱形梁，按初等梁理論計(jì)算，當(dāng)肋距較大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)所謂“剪力滯效應(yīng)”。即翼板中的分布不均勻，近肋翼板處產(chǎn)生應(yīng)力高峰，而遠(yuǎn)肋翼板處則產(chǎn)生應(yīng)力低谷，這稱為“正剪力滯”；反之，如果近肋翼板處產(chǎn)生應(yīng)力低谷，而遠(yuǎn)肋翼板處則產(chǎn)生應(yīng)力高峰，則為“負(fù)剪力滯”。對(duì)于肋距較大的寬箱梁，這種應(yīng)力高峰可達(dá)相當(dāng)大比例，必須引起重視。2、剛性扭轉(zhuǎn)剛性扭轉(zhuǎn)即受扭扭時(shí)箱形的的周邊不變變形。扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角。分自由扭扭轉(zhuǎn)與約束束扭轉(zhuǎn)。（1）自由扭轉(zhuǎn)：箱形形梁受扭時(shí)時(shí)，截面各各纖維的縱縱向變形是是自由的，桿桿件端面雖雖出現(xiàn)凹凸凸，但縱向向縱維無(wú)伸伸長(zhǎng)縮短，能自由翹曲，因而不產(chǎn)生縱向正應(yīng)力，只產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。（2）約束扭轉(zhuǎn)：受受扭時(shí)縱向向纖維變形形不自由，受受到拉伸或或壓縮，截截面不能自自由翹曲。約約束扭轉(zhuǎn)在在截面上產(chǎn)產(chǎn)生翹曲正正應(yīng)力和約約束扭轉(zhuǎn)剪剪應(yīng)力。產(chǎn)生約束扭轉(zhuǎn)的的原因：支承條件件的約束，如如固端支承承約束縱向向纖維變形形；受扭時(shí)時(shí)截面形狀狀及其沿梁梁縱向的變變化，使截截面各點(diǎn)纖纖維變形不不協(xié)調(diào)也將將產(chǎn)生約束束扭轉(zhuǎn)。如如等厚壁的的矩形箱梁、變變截面梁、設(shè)設(shè)橫隔板的的箱梁等，即即使不受支支承約束，也也將產(chǎn)生約約束扭轉(zhuǎn)。3、畸變（即受扭時(shí)時(shí)截面周邊邊變形）畸變的主要變形形特征是畸畸變角。薄薄壁寬箱的矩形截面受扭變形后，無(wú)無(wú)法保持截截面的投影影仍為矩形形?；儺a(chǎn)產(chǎn)生翹曲正正應(yīng)力和畸畸變剪應(yīng)力力。4、橫向彎曲：畸畸變還會(huì)引起箱箱形截面各各板的橫向彎曲曲，在板內(nèi)內(nèi)產(chǎn)生橫向向彎曲應(yīng)力力（縱截截面上）。圖2-5局部荷載作用下橫向彎矩圖5、局部荷載的影影響：箱形形梁承受偏偏心荷載作作用，除了了按彎扭桿桿件進(jìn)行整整體分析外外，還應(yīng)考考慮局部荷荷載的影響響。車輛荷荷載作用于于頂板，除除直接受荷荷載部分產(chǎn)產(chǎn)生橫向彎彎曲外，由由于整個(gè)截截面形成超超靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)，因而引引起其它各各部分也產(chǎn)產(chǎn)生橫向彎彎曲。圖22-5表示箱形截截面在頂板板上作用車車輛荷載，在在各板中產(chǎn)產(chǎn)生橫向彎彎矩圖。這這些彎矩在各板的的縱截面上上產(chǎn)生橫向向彎曲正應(yīng)應(yīng)力及剪應(yīng)應(yīng)力。圖2-5局部荷載作用下橫向彎矩圖綜合箱形梁在偏偏心荷載作作用下產(chǎn)生生的應(yīng)力有有：在橫截面上：縱縱向正應(yīng)力力：剪應(yīng)力：在縱截面上；橫橫向彎曲正正應(yīng)力：在預(yù)應(yīng)力混凝土土梁中，跨跨徑越大，恒載占總荷載比例就越大。一般地，由于恒載產(chǎn)生的對(duì)稱彎曲應(yīng)力是主要的，而由于活載偏心所產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力是次要的。如果箱壁較厚，或沿梁的縱向布置一定數(shù)量的橫隔板，限制箱形梁的畸變，則畸變應(yīng)力也是不大的。但對(duì)于少設(shè)或不設(shè)橫隔板的寬箱薄壁梁，畸變應(yīng)力不可忽視。板的橫向應(yīng)力對(duì)于頂板、肋板及底板的配筋具有重要意義，必須引起重視。第三講薄壁箱梁的彎曲曲剪應(yīng)力現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)廣廣泛使用薄薄壁結(jié)構(gòu)，特特別是橋梁梁工程，從從特大跨徑徑的懸索橋橋、大跨徑徑斜拉橋，到到中小跨徑徑的連續(xù)梁梁橋，甚至至簡(jiǎn)支梁橋橋等，多采采用箱形截截面的薄壁壁結(jié)構(gòu)或桁桁架形式的的薄壁桿件件。如杭州州灣跨海大大橋，建設(shè)設(shè)方采用設(shè)設(shè)計(jì)施工總總承包的招招標(biāo)方式，各各投標(biāo)單位位均采用了了鋼箱梁斜斜拉橋和箱箱形截面混混凝土連續(xù)續(xù)梁橋形式。1、懸索橋：主要要有美國(guó)式式和英國(guó)式式兩種形式式懸索橋。美美國(guó)式懸索索橋采用鋼鋼桁架加勁勁梁（如GGoldeenGaatebbridgge，Verraazanoobriidge，日本的的明石海峽峽大橋等）；；英國(guó)式懸懸索橋采用用鋼箱梁（如如Seveernbbridgge，Humbberbbridgge，我國(guó)的的江陰長(zhǎng)江江大橋，在在建的潤(rùn)揚(yáng)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋橋南汊橋等等）。2、斜拉橋：主梁梁多采用預(yù)預(yù)應(yīng)力混凝凝土或鋼結(jié)結(jié)構(gòu)箱形截截面。如日日本多多羅羅大橋、南南京長(zhǎng)江二二橋、等采采用鋼箱梁梁；而錢江江三橋、招招寶山大橋橋等采用預(yù)預(yù)應(yīng)力混凝凝土箱形梁梁。3、懸壁梁橋、TT型剛構(gòu)橋橋、連續(xù)梁梁橋：多采采用預(yù)應(yīng)力力混凝土箱箱梁作主梁梁。如虎門門大橋輔航航道橋、南南京長(zhǎng)江二二橋北汊橋橋、錢江二二橋、錢江江五橋、錢錢江六橋等等。薄壁桿件在彎扭扭變形時(shí)，其其正應(yīng)力和和剪應(yīng)力分分布及大小小與通常的的實(shí)體截面面桿件差別別很大，且且開(kāi)口截面面與閉合截截面桿件在在相同受力力情況下其其正應(yīng)力和和剪應(yīng)力也也大不相同同。因此，有有必要對(duì)開(kāi)開(kāi)口截面和和閉合截面面桿件分別別加以討論論。第一節(jié)坐標(biāo)系的建立薄壁桿件分析中中，常取桿桿件的中面面（到兩縱縱向表面距距離相等的的面）來(lái)表表示桿件，取取橫截面的的中線表示示橫截面。應(yīng)用的坐標(biāo)系有有兩種，如如圖3-1所示。其一一是以截面面某一特定定點(diǎn)為原點(diǎn)點(diǎn)（如形心心）的固定定坐標(biāo)系，取取桿件軸線線為軸，坐坐標(biāo)軸正向向符合右手手法則；或或者為了運(yùn)運(yùn)算方便，采采用曲線坐坐標(biāo)，即在在截面上選選定一原點(diǎn)點(diǎn)，以自原原點(diǎn)量取的的截面中線線（曲線）長(zhǎng)長(zhǎng)為坐標(biāo)量量值，取逆逆時(shí)針?lè)较蛳驗(yàn)檎?，于于是截面上上任意點(diǎn)的的位置可表表示為或。其二是以截面上上任意點(diǎn)為為原點(diǎn)的動(dòng)動(dòng)坐標(biāo)系，軸平行于于桿件軸線線，為點(diǎn)處截面面中線的切切線，為相相應(yīng)的外法法線，三者者之間也符符合右手法法則。圖3-1二種形式坐標(biāo)系在圖3-1二種形式坐標(biāo)系在第二節(jié)薄壁桿桿件彎曲基基本假定薄壁桿件尺寸限限制：桿件件的寬度與與長(zhǎng)度之比比（）和壁壁厚與寬度度之比（）均均小于（或或等于）0.1。薄壁桿件彎曲分分析中采用用以下基本本假定：1、平面假定。即假假定桿件變變形后橫截截面仍保持持為平面，據(jù)據(jù)此，截面面上任一點(diǎn)點(diǎn)的縱向應(yīng)應(yīng)變?yōu)椋海?-1）式中。、、為待待定常數(shù)。2、線性假定。即應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變變呈線性關(guān)關(guān)系，滿足足虎克定律律。（3-2）其中、為彈性常常數(shù)。將式式（3-1）代入上式便有：：（3-3）表明桿件橫截面面上的正應(yīng)應(yīng)力也呈線線性分布。3、小變形假定。即即忽略桿件件變形引起起的二次力力的影響，與與假定“2”相聯(lián)系，表表明本書的的討論限干干線彈性分分析，因此此適用疊加加原理。4、假定彎曲剪應(yīng)力力沿壁厚均均勻分布。據(jù)據(jù)此，單位位周邊中線線長(zhǎng)度上的的剪力流可可用剪應(yīng)力力與壁厚的乘乘積來(lái)表示示。即=或：（3-4）在研究彎曲變形形時(shí)，假定定無(wú)扭矩作作用，且軸軸向力沿桿軸無(wú)變變化（=常數(shù)）或或等于零。第三節(jié)不考慮剪力滯彎彎曲正應(yīng)力力及慣性主主軸一、彎曲正應(yīng)力取截面形心為原原點(diǎn)，建立立坐標(biāo)系如如圖3-22所示，現(xiàn)現(xiàn)以靜力學(xué)學(xué)條件確定定式（3--1）中的待待定常數(shù)、、。圖3-2圖3-2（3-5）上述各式中的積積分僅與截截面形狀和和尺寸有關(guān)關(guān)，分別表表示截面的的幾何特性性。其中：：截面積截面對(duì)軸的的靜矩截面對(duì)軸的的靜矩截面對(duì)軸的的慣性矩（3-6）截面對(duì)軸的的慣性矩截面對(duì)軸的的慣性矩注意到坐標(biāo)系以以截面形心心為原點(diǎn)，因因此有，。將以上上各式代入入式（3--5），解方方程組得：：（3-7）式（3-7）代代入式（3-3），有：：（3-8）為分別表達(dá)、的的作用，上上式可改寫寫為：（3-9）二、幾種特例1、=0（3-10）或（3-11）令式（3-100）中=0，則得到到、的作用下下的中性軸軸方程：（3-12）2、僅有豎向彎矩作作用時(shí)，、=0，（3-13）3、同理當(dāng)、=00時(shí)（3-14）可見(jiàn)，一般情況況下，作用用在平面的的彎矩產(chǎn)生生的彎曲正正應(yīng)力不僅僅與有關(guān)，同同時(shí)也與有有關(guān)。即正正應(yīng)力不對(duì)對(duì)稱于軸。可可以證明其其撓曲線為為一空間曲曲線，不僅僅有平面的的彎曲變形形，而且也也有平面的的彎曲變形形。因此稱稱為非對(duì)稱稱彎曲或廣廣義彎曲。（三）慣性主軸軸如果、軸的選擇擇使得截面面對(duì)其慣性性積為零時(shí)時(shí)，則正應(yīng)應(yīng)力公式（3-9）簡(jiǎn)化為人們熟知的偏心受壓（受拉）公式。即（3-15）此時(shí)，坐標(biāo)軸、稱為慣性性主軸，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱主軸。通通過(guò)截面形形心的主軸軸，稱為形形心主軸。圖3-3顯然，形心主軸軸可根據(jù)==0確定。對(duì)對(duì)于任一截截面，經(jīng)過(guò)過(guò)截面形心心任選一參參考坐標(biāo)系系，設(shè)形心主主軸與該參參考坐標(biāo)系系間的夾角角為（逆時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)為正），根根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換關(guān)系有有：圖3-3（3-16）代入=0，化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后得到：：（3-17）這樣就求得了形形心主軸相相對(duì)于參考考坐標(biāo)系的的夾角，即即確定了形形心主軸，此此后的計(jì)算算，便可基基于形心主主軸，按簡(jiǎn)簡(jiǎn)化公式（3-15）進(jìn)行計(jì)算。工程實(shí)際中常采采用對(duì)稱截截面，若以以對(duì)稱軸為軸，則截截面的對(duì)稱稱軸就是形形心主軸。注意：只有當(dāng)、軸為形心心主軸（對(duì)對(duì)稱軸為特特例）時(shí)，平平面彎曲公公式（3--15）才適用用，否則應(yīng)應(yīng)采用廣義義彎曲公式式（3-9）計(jì)算，平平面彎曲與與廣義彎曲曲二者不可可混淆。第四節(jié)開(kāi)口薄壁桿件的的彎曲剪應(yīng)應(yīng)力及剪力力中心一、彎曲剪應(yīng)力力觀察圖3-2薄薄壁單元的的平衡，根根據(jù)本章假假定“4”，引入剪剪力流表達(dá)達(dá)式（3-4）后，由由，可得（3-18）即：，則得到正正應(yīng)力與剪剪力流間的的關(guān)系方程程：（3-19）將其移項(xiàng)后積分分得：（3-20）式中為積分常數(shù)數(shù)，其物理理含義為曲曲線坐標(biāo)==0點(diǎn)處的的初始剪力力流（見(jiàn)圖圖3-2）。對(duì)于開(kāi)開(kāi)口薄壁截截面，當(dāng)取取自由邊緣緣作為=00點(diǎn)時(shí)，便便有=0，這時(shí)開(kāi)開(kāi)口截面彎彎曲剪力流流公式可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為：（3-21）將正應(yīng)力一般表表達(dá)式（33-8）代入式式（3-20），注注意到截面面幾何特性性的定義并并引用彎短短、剪力間的微分分關(guān)系便有有：（假定=常數(shù)）（3-22）則開(kāi)口薄壁截面面的彎曲剪剪力流表達(dá)達(dá)式為：（3-23）注：式（3-223）推導(dǎo)如如下：由式（3-9）得得：（A）注意到式（3--22），（A）式成為為（B）將式（B）代入入式（3--21）得：（C）由定義：，代入入式（C）即得到到式（23）。討論：（1）當(dāng)、軸為截面主軸時(shí)時(shí)，，則式式（3-23）可簡(jiǎn)化化為（3-24）（2）式（3-233）中先后后令及，則得到到由、方向剪力力及引起的剪剪力流。,（3-25）（3）若以和表示==1及=1單獨(dú)作用用時(shí)的剪力力流，則：：（3-26）顯然（3-27）二、剪力中心薄壁（桿件）截截面剪力流流的合力（，）作用點(diǎn)稱為剪力中心。各截面剪力中心的連線稱為剪力中心線。對(duì)于等截面直桿，它為與桿軸線平行的直線。當(dāng)橫向力作用于剪力中心線上時(shí)，由剪力中心的定義可知，該橫向力產(chǎn)生的彎曲剪應(yīng)力的合力將與此橫向力相應(yīng)的截面剪力平衡，桿件僅發(fā)生彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)（和方向的位移、不等于零，扭轉(zhuǎn)角=0），因此剪力中心又稱為彎曲中心。本章研究的薄壁桿件彎曲問(wèn)題，就是指在通過(guò)剪力中心線的橫向荷載作用下的“只彎不扭”問(wèn)題。根據(jù)位移互等定定理（見(jiàn)圖圖3-4a），當(dāng)桿件件僅承受扭扭矩作用時(shí)時(shí)，其橫截截面只產(chǎn)生生繞剪力中中心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)（0），而剪剪力中心處處無(wú)橫向位位移（==0），即“只扭不彎”，此時(shí)剪力力中心線為為桿件扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，故故截面的剪剪力中心也也稱扭轉(zhuǎn)中中心。(a)(b)圖3-4(a)(b)圖3-4在薄壁桿件分析析中，常取取剪力中心心線為坐標(biāo)標(biāo)系的縱向向坐標(biāo)軸，其其后將截面面內(nèi)力分解解到坐標(biāo)軸軸上，即以以、、以及、、來(lái)表示，這這樣就將問(wèn)問(wèn)題分解為為平面彎曲曲與純扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的組合，分分別按“只彎不扭”和“只扭不彎”計(jì)算，而而后疊加?，F(xiàn)討論剪力中心心的計(jì)算。如圖3-4b所所示開(kāi)口薄薄壁截面，先先取以形心心為原點(diǎn)的的參考坐標(biāo)標(biāo)系，設(shè)截截面的剪力力中心為，以以和分別表示示和單獨(dú)作用用引起的剪剪力流，根根據(jù)剪力中中心的定義義知，、作用點(diǎn)應(yīng)滿滿足（合力力矩定理）條條件式中為截面中線線全長(zhǎng)，為為截面形心心至截面上上任一點(diǎn)的的切線的距距離，將剪剪力流表達(dá)達(dá)式（3--26）引入便便有：（3-28）再將式（3-226）代入得得：（3-29）現(xiàn)定義：，則：：（3-300-1）并定義：（3-30-2）表示截面上任一一點(diǎn)的曲線線坐標(biāo)與點(diǎn)（稱極極點(diǎn)）組成成的扇性面面積（）的的二倍。當(dāng)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)一定定時(shí)，點(diǎn)的的位置由唯唯一確定，故故稱為點(diǎn)的扇性性坐標(biāo)，而而及則稱為截截面的扇性性慣積。將式（3-300）代入式式（3-29），并進(jìn)進(jìn)行分部積積分，即得得到剪力中中心的坐標(biāo)標(biāo)為：（3-31）式（3-31）推推導(dǎo)如下：：式（3-29）中中的積分：：（A）應(yīng)用分部積分公公式，則式（A）變?yōu)椋˙）由于軸以形心為為原點(diǎn)，故故無(wú)論曲線線在坐標(biāo)==0或=，對(duì)于開(kāi)開(kāi)口截面均均有，而為有限限值，故式式（B）中，根據(jù)據(jù)定義，有有（C）因此，式（B）可可改寫為：：（D）再將式（D）代代入（A）及式（33-29）即可得得到剪力中中心坐標(biāo)式式（3-31）。當(dāng)軸為形心主軸時(shí)時(shí)，有，式（3-31）便簡(jiǎn)化化為：（3-32）式（3-31）表表明，剪力力中心只與與截面有關(guān)關(guān)，與荷載載無(wú)關(guān)，故故屬于截面面固有的幾幾何特性。根據(jù)剪力中心的的定義及其其計(jì)算公式式（3-31），不難難得出確定定剪力中心心的下列規(guī)規(guī)律（圖33-5）：1、對(duì)于雙軸對(duì)稱截截面，對(duì)稱稱中心即為為剪力中心心（圖3-5d）；2、對(duì)于僅有一個(gè)對(duì)對(duì)稱軸的截截面，剪力力中心必位位于該對(duì)稱稱軸上（圖圖3-5C）；3、對(duì)于由兩個(gè)矩形形狹條組成成的截面，剪剪力中心位位于此二矩矩形狹條中中線的交點(diǎn)點(diǎn)上（圖3-5a、b）。(a)(b)(c)(d)圖3-5(a)(b)(c)(d)圖3-5第五節(jié)閉口薄壁桿件的的彎曲剪應(yīng)應(yīng)力及剪力力中心一、閉口薄壁截截面的彎曲曲剪應(yīng)力1、單室閉口截面的彎彎曲應(yīng)力回顧式（3-220）可以以發(fā)現(xiàn)，它它也適用于于閉口薄壁壁截面的計(jì)計(jì)算。對(duì)于于開(kāi)口截面，由由于取在截截面的自由由邊緣，故故，對(duì)于閉口口截面（圖圖2-5），當(dāng)曲線線坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)（）任意意取定時(shí)，在在一般情況況下，因此此閉口截面面剪力流（以以表示）應(yīng)應(yīng)為：（3-33）將式（3-200）代人便便有：（3-34）可見(jiàn)，閉口截面面的剪力流流歸結(jié)為相相應(yīng)開(kāi)口截面剪力力流加上坐坐標(biāo)原點(diǎn)處處的初始剪剪力流。以下討論的計(jì)算算：(a)(a)(b)圖3-6設(shè)想在閉口截面面的周邊上上任選=0的點(diǎn)處將截截面“切開(kāi)”，使其成成為開(kāi)口截截面，按力法原理理，在切口口處去掉約約束后應(yīng)代代之以贅余余力（設(shè)為為）的作用用。首先按式（3--20）求得此此開(kāi)口截面面的剪力流流，然后利利用相應(yīng)的的閉口截面面在及作用下切切口處的變變形連續(xù)條條件建立方方程，求解解。切口處變形連續(xù)續(xù)條件為、間相對(duì)縱縱向位移為為零（圖2-5）。根據(jù)圖2-5b所示微元元的剪切變變形為：則（3-35）于是，、間相對(duì)對(duì)縱向位移移為零的條條件可表達(dá)達(dá)為：將虎克定律及剪剪力流的定定義式（33-4）引入，則則上式變?yōu)闉椋海?-36）再將式（3-334）代入便便有：注意到與無(wú)關(guān)，于于是上式移移項(xiàng)后得到到：（3-37）再將和相應(yīng)的（由由式（3-21）求得）代代入式（33-34），即得得閉口截面面的彎曲剪剪力流。若以和分別表示示單獨(dú)作用用引起的剪剪力流，以以和分別表示示單獨(dú)作用用引起的剪剪力流，則則由式（33-37）可得：：（3-38）同理仿照式（33-27），令或（3-39）將此式及式（33-27）代入式式（3-38）得到（3-40）2、多室閉口截面的的彎曲剪應(yīng)應(yīng)力對(duì)于多室截面，仍仍采用力法法原理，先先將各室切切開(kāi)（如圖圖3-7），在切口口處作用以以相應(yīng)的贅贅余剪力流流（），它們們由各切口口處的變形形連續(xù)條件件所給出的的準(zhǔn)則方程程式求解。由于在各各室交界（腹腹壁）板上上，存在著著相鄰箱室室贅余剪力流流的共同作作用，因此此，對(duì)于第第室切口處處的變形連連續(xù)條件仿仿照式（33-36）有：圖3-7圖3-7式中表示沿室和和室交界板板壁的積分分。由于及及均與曲線線坐標(biāo)無(wú)關(guān)關(guān)，故上式式可進(jìn)一步步簡(jiǎn)寫成：：（）（3-41）對(duì)于室截面，上上式為一階階線性方程程組，解此此方程組，即即可求得（），于是根根據(jù)式（33-34），多室室閉口截面面的總剪力力流為：必須注意，對(duì)于于交界腹板板上的剪力力流，應(yīng)計(jì)計(jì)及鄰室的的共同作用用。即（3-42）顯然，一個(gè)腹壁壁往往只是是二室的交交界，則以以上公式中中的不復(fù)存存在，而對(duì)對(duì)于非交界界壁，式中中最后一項(xiàng)項(xiàng)應(yīng)為零。二、閉口薄壁截截面的剪力力中心1、單室閉口截面面根據(jù)剪力中心的的定義，閉閉口截面的的剪力中心心坐標(biāo)不難難仿照式（3-28）寫出，即式中和為閉口截截面的單位位剪力流，對(duì)對(duì)于單室截截面，根據(jù)據(jù)式（3-34）、式（3-39）及式（3-37）可以得到到。即（3-43）將其代入、的表表達(dá)式有（3-44）將式中右邊第一一項(xiàng)與式（3-28）比較可知，它就是開(kāi)口截面（計(jì)算基本體系）的剪力中心坐標(biāo)。注意到于是，式（3--44）簡(jiǎn)化為為（3-45）在求得、及后，便便可按式（3-45）計(jì)算單室閉口截面的剪力中心。顯然，上式未能給出剪力中心坐標(biāo)的顯式表達(dá)，只是作為多室截面剪力中心的基礎(chǔ)。為了實(shí)際應(yīng)用的方便，對(duì)于單室截面可進(jìn)一步導(dǎo)出剪力中心的直接計(jì)算公式。將式（3-266）及式（33-40）中的及表達(dá)式代代入式（33-44）進(jìn)行分分部積分并并定義：（3-46）便可得到單室截截面剪力中中心的計(jì)算算公式為（3-47）它與開(kāi)口截面剪剪力中心計(jì)計(jì)算公式（3-31）具有相同的表達(dá)式，僅其中的扇性坐標(biāo)及其相應(yīng)的扇性幾何特性（、、、）定義不同，如式（3-30）及式（3-46）所示。式（3-47）推推導(dǎo)如下：：在式（3-444）中引入入后，有（A）將式（3-266）及式（33-39）中的及代入，則則可得到如如下的表達(dá)達(dá)式：（B）對(duì)式中各積分項(xiàng)項(xiàng)應(yīng)用分部部積分便有有：（C）式中項(xiàng)，在圖33-6中，無(wú)論論取點(diǎn)（）或點(diǎn)（），，因坐標(biāo)系以以形心為原原點(diǎn)，且其其乘數(shù)又為為有限值，故故=0。將式（C）代入式（B）得得到：上式合并后得到到：引用定義式（33-46），上式式中項(xiàng)分別別為和，于是，便便得到剪力力中心的計(jì)計(jì)算公式（3-47）。2、多室閉口截面面多室閉口截面剪剪力中心的的計(jì)算，從從剪力中心心的定義出出發(fā)，即以以式（3--42）為基礎(chǔ)礎(chǔ)，其中應(yīng)應(yīng)為各箱室室的剪力流流值，根據(jù)據(jù)式（3--39）、（3--40）及式（3-34）改寫得得到：（3-48）將其代入式（33-28），注意意到這時(shí)系系沿各閉室室求后再求求和，交界界壁的影響響已包含在在中，故式式中項(xiàng)不復(fù)復(fù)出現(xiàn)，于于是有（3-49）將上式右邊第一一項(xiàng)與式（3-28）比較可知，它表示多室箱切口為開(kāi)口截面后的中心坐標(biāo)。即（3-50）又，將此式及式（3-50）代入式（3-49），得到多室閉口截面剪力中心坐標(biāo)的最后表達(dá)式為：（3-51）于是，多室截面面剪力中心心的計(jì)算步步驟是：（1）將各室切開(kāi)成成為開(kāi)口截截面，分別別計(jì)算和作用下的的剪力流、以及；（2）按式（3-550）計(jì)算相相應(yīng)開(kāi)口截截面的、；（3）最后由式（33-51）求多室室閉口截面面的剪力中中心坐標(biāo)和和。圖3-810圖3-81010109