甘肅省蘭州市第五十八中學2022-2023學年高三下學期第二次模擬考試數(shù)學（理科）試卷及答案解析

蘭州五十八中學2022-2023學年度下學期第二次模擬考試數(shù)學試卷（理科）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，則（

）A．8 B． C． D．44．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．325．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（

）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位7．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則8．為慶祝黨的二十大的勝利召開，某高校黨委從所有的學生黨員中隨機抽取100名，舉行“二十大”相關知識的競賽活動，根據(jù)競賽成績，得到如下2×2列聯(lián)表.則下列說法正確的是（

）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男203050女351550合計5545100參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.A．有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”B．有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關”D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”9．若直線與曲線恰有兩個公共點，則a的取值范圍是（

）A．B．C． D．10．中國古代某數(shù)學名著中有這樣一個類似問題：“四百四十一里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見末日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問最后一天走的路程是（

）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里11．已知函數(shù)恒有零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若四邊形為矩形，則C的離心率為（

）A． B．3 C． D．第II卷（非選擇題）填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，的系數(shù)為60，則實數(shù)______.14．在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱為等和數(shù)列，這個常數(shù)稱為該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，，則這個數(shù)列的前2022項的和為________．15．盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販售．它的隨機性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復購買．小明購買了5個冰墩墩單只盲盒，拆開后發(fā)現(xiàn)有2個相同的“竹林春熙”以及“冰雪派對”、“青云出岫”、“如意東方”各1個．小明想將這5個擺件排成一排，要求相同的擺件不相鄰．若相同擺件視為相同元素，則一共有____________種擺放方法．16．天干地支紀年法，源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，已知2099年為己未年，那么3035年為________年.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17(12分)．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長的取值范圍.18．(12分)隨著社會的進步，科技的發(fā)展，越來越多的大學本科生希望通過保研或者考研進入更理想的大學進行研究生階段的學習．某大學為了解準備保研或者考研的本科生每天課余學習時間，隨機抽取了400名大學生進行調(diào)查，將收集到的學習時間（單位：小時）數(shù)據(jù)分成5組：，，，，（學習時間均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求m的值，并估計這400名大學生每天課余學習時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)按分層抽樣的方法從學習時間在和組中抽出8人，再從這8人中隨機抽取3人，記X表示抽到的3人中學習時間在組中的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．19．(12分)如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，為的中點.(1)證明：.(2)求二面角的平面角的余弦值.20(12分)．已知函數(shù).(1)若是的極值點，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在上有且僅有個零點，求的取值范圍.21．(12分)已知橢圓的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線l與圓相切，與橢圓交于不同的兩點，求的面積的最大值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號方框涂黑。按所涂題號進行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分。22.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設均不為零，且．(1)證明：；(2)求的最小值．23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；(2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，點P是曲線C上的一動點，求面積的最大值.答案解析1．B【分析】根據(jù)交集的定義計算即可.【詳解】因為，，所以.故選：B.2．B【分析】直接根據(jù)虛部的概念求解即可.【詳解】復數(shù),故的虛部為.故選：B.3．D【分析】根據(jù)模長平方可得.【詳解】因為，所以，又因為所以，所以.故選：D.4．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為8．故選：B．5．D【分析】根據(jù)框圖結(jié)構(gòu)利用循環(huán)語句求解.【詳解】當輸入的時，；；輸出,故選:D.6．A【分析】利用二倍角的正弦公式化簡目標函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】因為，為了得到函數(shù)圖象，只需把函數(shù)的圖象向右平移個單位，故選：A.7．C【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運用有關的定理逐項分析.【詳解】當，時，可能有，但也有可能或，故A選項錯誤；當，時，可能有，但也有可能或，故選項B錯誤；當，，時，必有，從而，故選項C正確；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時滿足，，，但不成立，故選項D錯誤；故選：C.8．A【分析】求得的觀測值，再與臨界值表對照下結(jié)論.【詳解】解：因為的觀測值，由臨界值表知，有的把握認為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”.故選：.9．B【分析】曲線方程變形得曲線為半圓，由直線與半圓相切得的一個值，由直線過直徑的一個端點又得一個值，結(jié)合圖象可得的范圍．【詳解】可化為且，即曲線是以為圓心，1為半徑的圓的下半圓，作出曲線，如圖，作直線，而直線與直線平行，當直線過時，，當直線與半圓相切時，由得舍去），由圖象可知的取值范圍是．故選：B．10．A【分析】由“每天走的路程為前一天的一半”可知這個人每天走的路程是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得出答案.【詳解】設第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.11．B【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)求出的最大值即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得：，令，，則，即在上單調(diào)遞增，，因此，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得當時，，函數(shù)的值域是，而函數(shù)恒有零點，當且僅當，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是.故選：B【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點問題，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合求解.12．C【分析】聯(lián)立直線與C的方程，求出弦AB長，由求解即得.【詳解】顯然直線與交于原點O，由雙曲線對稱性知，若四邊形是矩形，則，設點，而由得，解得，則，則，化簡得，即，，解得，則.故選：C.13．【分析】求出二項展開式的通項，令的指數(shù)等于2，求得，再根據(jù)展開式中的系數(shù)為60，即可得出答案.【詳解】的展開式的通項為，令，則，則在展開式中，的系數(shù)為，所以.故答案為：.14．6066【分析】寫成的通項公式，求出公和，再分組求和.【詳解】設等和數(shù)列的公和為m．因為，所以，，，，…，所以，又，所以，所以．故答案為：606615．36【分析】利用插空法計算即可.【詳解】記2個相同的“竹林春熙”為A，A，“冰雪派對”為B，“青云出岫”為C，“如意東方”為D，先擺放B，C，D，一共有種擺放方式，再將2個A插空放入，有種擺放方式，所以，一共有種擺放方式．故答案為：36.16．乙未【分析】分析天干與地支的相配原則可知天干地支紀年法以60為周期，依次將十天干、十二地支標序號，2099年可記為（6，8），而3035-2099=36，由天干與地支的循環(huán)可算出對應第36年的天干與地支.【詳解】解：將天干按順序依次排列，十個一組；將地支也一樣排列十二個一組，由此可知天干地支紀年法以60年（10，12的最小公倍數(shù)）為周期循環(huán)。不妨給十天干與十二地支依次標號：1，2……10；1，2……11，12，將甲子年記為（1，1），乙丑年（2，2）……，則2099年可記為（6，8）而3035-2099=36，故36÷10=3……6，即6+6-10=2，對應天干第二號2，即乙；36÷12=3……0，即地支仍是8號，即未.故答案為：乙未17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關系以及和差角公式可得，進而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因為，，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長因為，則，所以故求周長的取值范圍為.18．(1)；8.12小時；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)各組數(shù)據(jù)頻率之和為1即可求出圖中的值，利用平均數(shù)計算公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分析的可能取值為0，1，2，3，進而列出分布列求出結(jié)果.【詳解】（1）由于各組數(shù)據(jù)頻率之和為1，即，則，這400名大學生每天課余學習時間的平均值為：(小時)；（2）由題可知學習時間在和組的頻率分別為0.3,0.18，按分層抽樣的方法從學習時間在和組中抽出8人，有5名在內(nèi)，3名在內(nèi)，則的可能取值為0，1，2，3，則，，，，即的分布列為0123所以．19．(1)證明見解析(2).【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.因為，所以；（2）設平面的法向量為，則取，可得.設平面的法向量為，則取，可得..故二面角的平面角的余弦值為.20．(1)1(2)答案見解析(3).【分析】（1）由題意，求導得，然后根據(jù)，即可得到結(jié)果；（2）由題意，求導得，然后分與兩種情況討論，即可得到結(jié)果；（3）由題意，構(gòu)造函數(shù)，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為則，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意（2），則.當時，，在上單調(diào)遞增；當時，由，得，若，則；若，則.當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）當時，由可得，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖像有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)的極大值為，且，，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)在上的圖像有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.21．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；（2）當直線斜率不存在時，可得，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)韋達定理及弦長公式可表示出，結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：.故橢圓的標準方程為：；（2）圓的方程為，圓心為，半徑為，①當直線斜率不存在時，的方程為或，直線與橢圓交點為，的面積為，根據(jù)對稱性，直線時，的面積為；②當直線斜率存在時，設直線方程為，由得，由，得，則，得.因為，所以，所以恒成立，設，則，所以，所以，令，則的面積為，令，令，,所以因為，從而的面積的最大值為為,綜上，的面積的最大值為.22．(1)證明見解析；(2)3.【分析