高等數(shù)學重積分總結(jié)

高等數(shù)學重積分總結(jié)高等數(shù)學重積分總結(jié)高等數(shù)學重積分總結(jié)第九章二重積分【本章邏輯框架】二重積分的見解與性質(zhì)二重積分的計算在直角坐標系中二重積分的計算在極坐標系中二重積分的計算二重積分的應用【本章學習目標】⒈理解二重積分的見解與性質(zhì)，認識二重積分的幾何意義以及二重積分與定積分之間的聯(lián)系，會用性質(zhì)比較二重積分的大小，估計二重積分的取值范圍。⒉領悟?qū)⒍胤e分化為二次積分時怎樣確定積分序次和積分限，怎樣更換二次積分的積分序次，并且如何依照被積函數(shù)和積分地區(qū)的特點選擇坐標系。嫻熟掌握直角坐標系和極坐標系下重積分的計算方法。⒊掌握曲頂柱體體積的求法，會求由曲面圍成的空間地區(qū)的體積。9.1二重積分的見解與性質(zhì)【學習方法導引】1．二重積分定義為了更好地理解二重積分的定義，必定第一引入二重積分的兩個“原型”，一個是幾何的“原型”－曲頂柱體的體積怎樣計算，另一個是物理的“原型”—平面薄片的質(zhì)量怎樣求。從這兩個“原型”出發(fā)，對所抽象出來的二重積分的定義就易于理解了。在二重積分的定義中，必定要特別注意其中的兩個“隨意”，一是將地區(qū)D成n個小地區(qū)1,2,,n的分法要隨意，二是在每個小地區(qū)i上的點(i,i)i的取法也要隨意。有了這兩個“隨意”，若是所對應的積分和當各小地區(qū)的直徑中的最大值0時總有同一個極限，才能稱二元函數(shù)f(x,y)在地區(qū)D上的二重積分存在。2．明確二重積分的幾何意義。(1)若在D上f(x,y)≥0，則f(x,y)d表示以地區(qū)D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積。特別地，當D＝1時，fxy表示平面地區(qū)Df(x,y)(,)dD的面積。(2)若在D上f(x,y)≤0，則上述曲頂柱體在Oxy面的下方，二重積分f(x,y)d的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積D(3)若f(x,y)在D的某些子地區(qū)上為正的，在D的另一些子地區(qū)上為負的，則f(x,y)d表示在這些子地區(qū)上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上D的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3．二重積分的性質(zhì)，即線性、地區(qū)可加性、有序性、估值不等式、二重積分中值定理都與一元定積分近似。有序性常用于比較兩個二重積分的大小，估值不等式常用于估計一個二重積分的取值范圍，在用估值不等式對一個二重積分估值的時候，一般狀況須按求函數(shù)f(x,y)在閉地區(qū)D上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應用估值不等式獲得取值范圍?！局饕娊馐崂怼?.二重積分的定義設二元函數(shù)f(x,y)在閉地區(qū)D上有定義且有界.切割用隨意兩組曲線切割D成n個小地區(qū)1,2,,n，同時用i表示它們的面積，i1,2,,n.其中隨意兩小塊i和j(ij)除界線外無公共點。i既表示第i小塊,又表示第i小塊的面積.近似、求和對隨意點(i,i)i,作和式nf(i,i)i.i1取極限若i為i的直徑，記n},若極限limnmax{1,2,,f(i,i)i0i1存在，且它不依靠于地區(qū)D的分法，也不依靠于點(i,i)的取法，稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分.記為稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分地區(qū)，x、y為積分變元，d為面積微元(或面積元素).2.二重積分f(x,y)d的幾何意義D(1)若在D上f(x,y)≥0，則f(x,y)d表示以地區(qū)D為底，以f(x,y)為曲頂D的曲頂柱體的體積.(2)若在D上f(x,y)≤0，則上述曲頂柱體在Oxy面的下方，二重積分f(x,y)d的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積D若f(x,y)在D的某些子地區(qū)上為正的，在D的另一些子地區(qū)上為負的，則f(x,y)d表示在這些子地區(qū)上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上D的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3．二重積分的存在定理3.1若f(x,y)在有界閉地區(qū)D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積).3.2若有界函數(shù)f(x,y)在有界閉地區(qū)D上除掉有限個點或有限個圓滑曲線外都連續(xù)，則f(x,y)在D可積.4．二重積分的性質(zhì)二重積分有與定積分近似的性質(zhì).假定下面各性質(zhì)中所波及的函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在地區(qū)D上都是可積的.性質(zhì)1有限個可積函數(shù)的代數(shù)和必然可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質(zhì)2被積函數(shù)中的常數(shù)因子能夠提到積分號前面，即性質(zhì)3若D能夠分為兩個地區(qū)D1,D2，它們除界線外無公共點，則性質(zhì)4若在積分地區(qū)D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示地區(qū)D的面積，則性質(zhì)5若在D上各處有f(x,y)≤g(x,y)，則有推論f(x,y)df(x,y)d.DD性質(zhì)6(估值定理)若在D上各處有m≤f(x,y)≤M，且S(D)為地區(qū)D的面積，則性質(zhì)7(二重積分中值定理)設f(x,y)在有界閉地區(qū)D上連續(xù)，則在D上存在一點(,),使【基本問題導引】依照二重積分的幾何意義或性質(zhì)求解以下各題：1．a(chǎn)2dxdy，其中D{(x,y)|x2y2a2}D2．設D是由x軸，y軸與直線xy1所圍成的地區(qū)，則I1(xy)2d,I2(xy)3d的大小關系DD是.【堅固拓展提高】1．若f(x,y)在有界閉地區(qū)D上連續(xù)，且在D的任一子地區(qū)D*上有f(x,y)d0，試證明在D內(nèi)恒有f(x,y)＝0D*2．估計I(xxyx2y2)dxdy的值，其中D{(x,y)|0x2,0y1}.D3．設f(x,y)是有界閉地區(qū)D：x2y2a2上的連續(xù)函數(shù)，則lim1f(x,y)dxdy的值為多少？a2a0D【數(shù)學思想方法】二重積分是一元函數(shù)定積分的實行與發(fā)展，它們都是某種形式的和的極限，即切割求和、取極限，故可用微元法的思想來理解二重積分的見解與性質(zhì)。9.2在直角坐標系中二重積分的計算【學習方法導引】本章的重點是二重積分的計算問題，而直角坐標系中二重積分的計算問題重點是怎樣確定積分地區(qū)及確定X型地區(qū)仍是Y型地區(qū)，這也是本章的難點。直角坐標系中二重積分計算的基本技巧：(1)在定積分計算中，若是D的形狀不能夠簡單地用近似1(x)y2(x)或axb1(y)x2(y)的形式來表示，則我們能夠?qū)分紅若干塊，并由積分性cyd質(zhì)對右端各式進行計算。(2)互換積分序次不只要考慮到地區(qū)D的形狀，還要考慮被積函數(shù)的特點。若是依照某一積分序次的積分比較困難，若互換積分序次后，由于累次積分的積分函數(shù)(一元積分)形式發(fā)生變化，可能會使新的積分序次下的積分簡單計算，進而達成積分的求解?？墒遣徽撌窍葘積分，再對y積分，還是先對y積分，再對x積分最后計算的結(jié)果應當是相同的。一般的辦理方法是由積分限確定積分地區(qū)D，并依照新的積分序次將二重積分化成二次積分。詳細步驟以下：①確定D的界線曲線，畫出D的草圖；②求出D界線曲線的交點坐標；③將D的界線曲線表示為x或y的單值函數(shù)；④考慮可否要將D分紅幾塊；⑤用x,y的不等式表示D.注：在積分序次選擇時，應試慮以下幾個方面的內(nèi)容：(ⅰ)保證各層積分的原函數(shù)能夠求出；(ⅱ)若D為X型(Y型),先對x(y)積分；(ⅲ)若D既為X型又為Y型，且知足(ⅰ)時，要使對D的分塊最少。利用對稱性等公式簡化計算設f(x,y)在地區(qū)D上連續(xù)，則①當?shù)貐^(qū)D對于x軸對稱若f(x,y)f(x,y)，則(,)d＝0；fxyD若f(x,y)f(x,y)，則f(x,y)d＝2f(x,y)d，其中D1為D在x軸上方DD1部分。②當?shù)貐^(qū)D對于y軸對稱若f(x,y)f(x,y)，則f(x,y)d＝0；若，則D＝2f(x,y)d，其中D2為D在y軸右側(cè)f(x,y)f(x,y)fxy(,)dDD2部分。③當?shù)貐^(qū)D對于x軸和y軸都對稱若f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)，則fxy＝0；(,)d若，則fxy＝4D，其中D1為D在第一f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)d(,)dDD1象限部分。④輪換對稱式設D對于直線yx對稱，則fxy)d＝fyx.(,(,)dDD【基本問題導引】一．判斷題1．xydxdy=4xydxdy,D:x2y24;D1:x2y24,x0,y0()DD1若f為連續(xù)函數(shù)，則1x222x1yf(x,y)dxdxf(x,y)dydxf(x,y)dydy2y00100()【主要見解梳理】直角坐標系中二重積分計算y當被積函數(shù)f(x,y)0且在D上連續(xù)時,

D若D為X-型地區(qū)D:1(x)y2(x)axb

abxo1(x)y則f(x,y)dxdyb2(x)f(x,y)dydxDa1(x)若D為Y–型地區(qū)D:1(y)x2(y)cy,d則f(x,y)dxdyd2(y)dyf(x,y)dxDc1(y)說明:若積分地區(qū)既是X–型地區(qū)又是Y–型地區(qū),則有【堅固拓展提高】1y1yyy1.(1992)計算I12dy1exdx1dyexdx.422yx2.設f(x)xeydy，計算1f(x)dx.109.3在極坐標系中二重積分的計算【學習方法導引】極坐標系中二重積分計算的基本技巧：(1)一般地，若是積分地區(qū)是圓域、扇形域或圓環(huán)形域，且被積函數(shù)為f(x2y2),(y),f(x)等形式時，計算二重積分時，經(jīng)常采用極坐標系來計算。y【基本問題導引】1.若二重積分的積分地區(qū)D是1x2y24,則dxdy＝。D2．設D:x2y2a2,x0,(a0).將二重積分If(x,y)d化為極坐標形式的二D次積分，則I.3．設D:a2x2y2b2,0ab.將二重積分If(x,y)d化為極坐標形式的二D次積分，則I.【主要見解梳理】利用極坐標系計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)及射線=常數(shù),分劃地區(qū)D為k(k1,2,,n)。則f(x,y)df(rcos,rsin)rdrdDD特別地若D:1()r2(),則有f(rcos,rsin)rdrdd2()1()f(rcos,rsin)rdrD若D:0r()則有f(rcos,rsin)rdrdd(),rsin)rdr0f(rcosD若D:0r()02則有f(rcos,rsin)rdrd2()d0f(rcos,rsin)rdrD0【堅固拓展提高】1．計算二重積分：|1x2y2|d,其中D:x2y24.D2．設D:x2y21,x0,y0.計算二重積分：ln(x2y21)d.D9.4二重積分的應用【學習方法導引】二重積分的應用主要在幾何方面和物理方面。幾何應用之一是求曲線所圍成的面積，應用之二是求曲面所圍成的立體的體積；物理應用主若是平面薄片的質(zhì)量。【主要見解梳理】空間立體的體積V設空間立體由曲面1:zf(x,y)與2:zg(x,y)所圍成，在xoy面投影為平面地區(qū)D，并且f(x,y)g(x,y).則V[f(x,y)g(x,y)]d或V