費馬大定理證明共6篇

費馬大定理證明（共6篇）本文所用數(shù)集：N---自然數(shù)集，Q---有理數(shù)集，R---實數(shù)集。本文討論不超出R的范圍。本文中方程xyz及同類方程中的指數(shù)nEN,以后不再說明。引理1方程xyz（n22）（1）有N解的充要條件是它有Q解。引理2方程（1）xyz（n22）有N解的充要條件是它有既約N解。這樣，在以后的討論中只需討論Q解及既約N解的情形，可使過程簡化。引理3方程（1）xyz（n22）有N解的充要條件是方程X-Y1（n22） （2）有Q解。證明充分性如果方程（2）（n22）有Q解，設(shè)（X-Y1為其Q角解則（nnnnnnnnnnnnnnnnwu，）u，v，wN兩兩互素wunwnnnnnnn）-=1,uvw。于是方程（1）xyz（n22）vv有N解u,v,wo必要性如果方程（1）xyz（n22）有N解，設(shè)u,v,w u,v,wN兩兩互素nnn1為其N解，則unvnwn,（解（uwn）-n=1o于是方程（2）Xn-Yn1（n22）有Qvvwu。證畢，）vvnnn引理4如果方程（1）xyz（n22）有Q解，那么，只有兩類：i）完全Q解u,v,wu,v,wQ；ii）可導(dǎo)出Q解 u,v,w Q,u,v,wQ。nnn證明第i）類屬顯然。第ii）類，把u,v,w代入方程（1），得uvw, 「?unvnwn于是導(dǎo)出方程（1）的Q解u,v,wo除此以外，由其它任何形式的帶無理因子的解，都不能導(dǎo)出Q解。事實上，設(shè) iu，2v，3w（1，2，3中至少有一個EQ且三個數(shù)中含有不可通約的無理因子，u，v，wEQ）為方程（1）的解，則由1，2，3的定義知，它們的無理因子是不能從上式中完全提到括號外面去的，即由它不能導(dǎo)出方程（1）的Q解。證畢從引理4及其證明過程可以得到以下三條結(jié)論：（1）若將第i）類Q解的三個數(shù)同乘以一個數(shù)W（WEQ），得到Wu，V，w，貝此解仍是方程（1）的第i）類Q解；若將三個數(shù)同乘以一個數(shù)入（入EQ），得到入u，v，w，則此解變?yōu)榉匠蹋?）的第ii）類Q解。（2）若將第ii）類Q解的三個數(shù)同乘以一個數(shù)Q，得到u，v，w，則此解1變?yōu)榉匠蹋?）的第i）類Q解若將三個數(shù)同乘以一個數(shù)6（6ER且 Q），得到6入u，v，w，則此解仍是方程（1）的第ii）類Q解。（3）方程（1）的第i）、ii）類Q解與非第i）、ii）類Q解之間是封閉的。即無論對數(shù)組的三個數(shù)同乘以一個什么正實數(shù)，它們之間都不可能互化。定理1方程（1）xyz（n22）的R解公式是nnn22n2n2A 1n，（2d），（d21），（d21） （1、dR，d 1）2 r212n2r 12 nn），r， （2、rR，r1）或B 2（。 22 znyn nnn證明 當(dāng)x，y，zR時，由xyz得1。根據(jù)引理3,這兩個方程xx 在是否存在Q解方面是等價的。從而得到nnnznyzy2222 （ （ 1 ） ）xxxx nz2y21zny22 。由此解得d（d1）于是設(shè)，貝ijxxdxxnnz2d21y2d21， ?；謴?fù)z：x和y：x的比例系數(shù)后得x2dx2dnn) 0) 0z2(d21y2(d21,拆開后即得，(0R)x2d 0x2d 0nn222nnA (x,y,z)n(2d)02,(d21) 02,(d21) 02 (0R,d1)TOC\o"1-5"\h\z2n2n21n(2d),(d21),(d21) (122 n。02R,d1)nnnnn znzxx2z2x2nnn222又，由xyz得(( ( 1。 ) () 1, ) )yyyyyy nznxz2x2122(rr1)設(shè)，貝1J 。仿上法又得到y(tǒng)yyyrnnr212n2r212nnB(x,y,z) 2,r, (2、rR,r1)。 22若設(shè)dap、r(a、b、p、qR,ab,pq),則A、B之間的變換關(guān)系是bqdppab,r.將A、B兩式分別代入方程(1),等式成立。因此，A、B兩式都是方程pqab(1)的R解公式。證畢定理1說明i)方程(1)的任何一個R解都可以由A、B兩式同時表出;A、B兩式表出3的任何一個R數(shù)組，都是方程(1)的R解。ii)如果方程(1)有N(或Q)解，則必能用A、B兩式同時表出；如果A、B兩式同時表出N(或Q)數(shù)組，則方程(1)有N或Q)解。反之，如果A、B兩式不能同時表出N(或Q)數(shù)組，則方程(1)沒有N(或Q)解。2有N解的充要條件引理5方程(1)xyz(n22)有Q解的充要條件是2n2n2A0n(2d),(d21),(d21) (d1)2r212n2r12nn),r, (r1)或B0( 22nnn 能同時表出或?qū)С鯭數(shù)組。證明根據(jù)引理4的結(jié)論(3),可將A、B兩式的系數(shù)1, 2略去，因為這樣，一者可使討論簡化，二者既不會使第i)、ii)類Q解增生，也不會使之消失，三者必要時再同乘以一個公共因子。先證A0。必要性根據(jù)定理1,如果方程(1)有Q解，必能用A0式表出或?qū)С?。根?jù)引理4,其Q解只有兩類：i)如果是第i）類Q解，即存在d0,當(dāng)dd0時，其解2n2n2是Q解，則A0能表出Q數(shù)組A0；ii）如A0n（2d0）,（d021）,（d01） （d01）果是第ii）類Q解，根據(jù)引理4,由這個第ii）類Q解必能導(dǎo)出第i）類Q解，從而A0能導(dǎo)出Q數(shù)組。充要性如果A0式能表出或?qū)С鯭數(shù)組，顯然是方程（1）的Q解，即方程（1）有Q解。對于B0式與A0式同理可證。證畢根據(jù)引理1、2、5,不難找到思路：方程（1）有N解的充要條件是A0、B0兩式能同時表出或?qū)С黾燃sN數(shù)組。定理2方程x2ny2nz2n（n1（3））有N解的充要條件是以下兩式：4A（2n） n22n22n22n1a0nb0n，（2n1a0n）（b0n），（2n1a0n）（b0n） （2n1派 a0nb0n0，a0N，b0奇，（a0，b0） 1）,2n2n2n2 （pn） （q）（p） （qn0000）nnn，（pq）， 或B（2n）00 22 （p0q00，二奇，（p0，q0） 1）能同時表出既約N數(shù)組。儼］也可以是a02nn1b0n0,a0奇，b0EN,（a0,b0）=1。有且僅有這兩種情形，因為自然數(shù)只有奇偶兩類。此類情形與上同理，故未寫出。無妨，下同。證明必要性如果方程（3）有既約N解，根據(jù)引理1、2、5,必可由A0、B0兩式同時表出或?qū)С?。此時兩式分別為A0nnn,2d,d21,d21（d1）2r21nr1nn,r,）B0, （r122i）證A根據(jù)引理4的三條結(jié)論，先讓n2dEQ。為此必須設(shè)d（2n）。一奇一偶，（a,b）1,則aab0,1,bA0必須再設(shè)a2A0n1n1b2nnnn2ab,a2b2,a2b2a0,bb0,2n1a0b00,a0EN,b0奇，(a0,b0)1,則nnnn1(b0n)2nnn22n1a0nb0n,(2n1a0n)2(b0n)2,(2n1a0n)2(b0n)2 1A(2n)2b0nii)再證B(2n)。根據(jù)引理4的三條結(jié)論，先讓rQ。為此必須設(shè)rp1,pq0,q二奇，(p,q)1，貝1J1B0n2qn22p2q2pqnn,pq,n22 。必須再設(shè)pp0,qq0,p0q00,二奇，(p0,q0)1,貝Un522n2n2 (q0n)(p) q)1n(p0n)1nn00nnB0n,pq,B。 002 q02(2n)(q0n)22 同時易證A至U此，A(3)(2n)、B(2n)中的底數(shù)分別兩兩互素。(2n)、B(2n)兩式仍必能表出方程的既約N解。于是A(2n)、B(2n)必能同時表出既約N數(shù)組。充分性如果A(2n)、B(2n)都能表出既約N數(shù)組，同時易驗知，A(2n)、B(2n)能使方程(3)成立，那么，此時這兩個既約N數(shù)組就是方程(3)的既約N解。即方程(3)有N解。證畢推論1方程x2ny2nz2n(n1有N解的充要條件是一下兩式：) A(2n) 2n2n2n(2ab)2,(a2b2)2,(a2b2)2(ab0,一奇一偶，(a,b)1)2222pqpq2222n2n2n),(pq), (pq0,二奇，(p,q)1)或B(2n) ( 22能同時表出既約N數(shù)組。不難看出，A(2n)、B(2n)兩式內(nèi)容詳細(xì)，A(2n)、B(2n)兩式簡明扼要。它們各有所長，作用相同。定理2方程x2n1y2n1z2n1(n1(4))有N解的充要條件是一 下 兩 式 ；2n12n2n12n122n12n2n122n1222n12n2n12n122A(22ab),(2a) (b),(2a) (b)(2n1)000000(2a02n2n1b02n10,a0N,b0奇，(a0,b0)1)2n122n1222n122n122 (p) (q)(p)(q) 2n12n***-*****n12n12n1,(pq),或B(2n1)00 22 (p0q00,二奇，(p0,q0)1)能同時表出既約N數(shù)組。證明必要性如果方程(4)有既約N解，根據(jù)引理1、2、5,必可由A0、B0兩式同時表出或?qū)С?。此時兩式分別為22n1 2n 122n122, d 1 ,(d21))A0(2TOC\o"1-5"\h\zd), (r 1 622r1r 12 2n 1222n12n1), r,(r1)B0(。 22將A0、B0的證明同時進(jìn)行，以便比較。下面分四種情形討論：i)根據(jù)引理4的三條結(jié)論，若dQ,則必須設(shè)d則aab0 ,一奇一偶，(a,b) 1, 1,bA02n11b42n 2n122n 122n12 (2ab) ,(a2 b2),(a2b2)。必須再設(shè)a2a02n1,bb02n1,2a02n2n1b02n10,a0EN,b0奇，(a0,b0)1,則ijA012n12n2n12n122n12n2n122n1222n12n2n122n122 (22ab),(2a)(b),(2a)(b)000000 b04 1A；4(2n1)b0p1,pq0,二奇，(p,q)1,貝ijq若rQ,則必須設(shè)r1B02n14q必須再設(shè)pp02222pqpq2222n12n12n1),(pq),( 222n1,qq02n1,p0q00,二奇，(p0,q0)1,則*****n122p02n1)2n12n12n12p02n1)(q02n1)( (q) 12n1(02n1B04,(pq),

00q022 1B。4(2n1)q0221(2d) Q。為此ii)根據(jù)引理4的三條結(jié)論，若dQ,為了讓2n (2d) Q,必須有必須設(shè)d22n1a1b12n12n-12n1b12n10,alN,b1奇，(a1,b1)1 , 貝ij ,2a12n1A01b122n122122na1n21n2n11b1,2(2n21an11nn22112b)21,(2nn212n1212a1)b1①7若rQ,為了讓2n1rQ,必須有rQ,為此必須設(shè)r22p1q12n12n1,p1q10,二奇，(p1,q1)1,貝U1p12n1q112n1p12n1q12n122n12n12n12n1p12n1q12n12),p1q1, ②B02 （q122但是，在情形ii）下，方程（4）若有既約N解，必須被①、②兩式同時表出。于是得到2n1pq12n1222n2n1pq12n1222n12n12n122ab( 2a1 b12n1 )2n12n1p1q1222n1122n12n12n12④2n1p12n1q12n1(1122n1a12n1b12n1)2n⑤2比較后發(fā)現(xiàn)，③式中左邊的底數(shù)不是完全平方數(shù)，而右邊的底數(shù)是完全平方數(shù)；④式的情形恰好相反。為此必須再設(shè)a12a0,b1b0,2a0則222n2n1bb2n10,a0N,b0奇,(a0,b0)1,A012n12n2n12n122n12n2n122n1222n12n2nA012n12n2n122n122 (22ab),(2a) (b),(2a) (b)000000 b041A；4(2n1)b022必須再設(shè)p1p0,q1q0,p0q00,二奇，(p0,q0)1,則*****n122p02n1)2n12n12n12p02n1)(q02n1)( (q) 12n1(02n1nB04,(pq),00 q022 1B。4(2n1)q0、B這樣，情形ii)就歸結(jié)到情形i)中去了。同時易證A(2n1)(2n1)中的底數(shù)分別兩兩互素。至于情形iii)dQ,rQ和情形iv)dQ,rQ，顯然被情形ii)所包含。到此，A、B、B(2n1)(2n1)兩式仍必能表出方程(4)的既約N解。于是，A(2n1)(2n1)必能表出既約N數(shù)組。、B、B充要性如果A(2n1)(2n1)都能表出既約N數(shù)組，同時易驗知A(2n1)(2n1)分別能使8方程(4)成立，那么，此時這兩個既約N數(shù)組就是方程(4)的既約N解，即方程(4)有N解。證畢推論2方程(4)x2n1y2n1z2n1有N解的充要條件是以下兩式：(n1)A(2n1)2n12n12n1(2ab)2，(a2b2)2，(a2b2)2(ab0，一奇一偶，(a，b)1)2222pqpq2222n12n12n1B，(pq)，(pq0，二奇，(p，q)1) (2n1) 22能同時表出既約N數(shù)組。將推論1、2歸納到一起就是推論3方程(1)xyz有N解的充要條件是以下兩式：(n2)nnnA(n)n2n2n(2ab)，(a2b2)，(a2b2)2(ab0，一奇一偶，(a，b)1)22p2q22pq22nnnB)，(pq)， (pq0，二奇，(p，q)1) (n) ( 22能同時表出既約N數(shù)組.，B二式便可得到：順便指出，當(dāng)n2時,由A(n)(n)推論4方程x2y2z2(5)的既約N解公式是以下二式：(2ab,a2b2,a2b2)A(ab0,一奇一偶，(a,b)1)(2)p2q2p2q2或B,pq, (pq0,二奇，(p,q)1) (2) 2 23連環(huán)解定理3方程x4y2z4(6)沒有N解。推論5方程xyz沒有N解。94441推論6方程x4ny4nz4n沒有N解。推論7設(shè)x,zN,xz,那么z4x4Qo定義1如果(a,b,c),(a,c,d)都是方程(1)xyz(n22)的解，那么就把它們稱做方程(1)的一對連環(huán)解。引理6設(shè)ab0,一奇一偶，(a,b)1； 0,一奇一偶，(，)1,那么，方程組nnn2ab2 ①2222②ab沒有N解。證明假設(shè)方程組有N解，則由①式變形后設(shè)代入②式，得abm1(m1,m2,N,m1m2)m222a2m2(m2m1)2③222bm1(m2m1)當(dāng)m2m1時，③式左正右負(fù)相矛盾；當(dāng)m2m1時，將③式兩邊開平方，得2m2a44④mm2122bm1(m2m1)根據(jù)推論7,m2m1Q。那么，④式左邊是有理數(shù)，右邊是無理數(shù)，相矛盾。故原方程組沒有N解。證畢定理4方程(1)xyz(n22)沒有連環(huán)N解。nnn44(x0,y0,z0),(x0,z0,r0)證明假設(shè)方程(1)有連環(huán)N解，則可設(shè)是它的一對連環(huán)N解。根據(jù)推論3中的A(n)式，它們必可表示為(x0,y0,z0) n2n2n2(ab(x0,y0,z0) n(2ab),(a2b2),(a2b2)n2n222n222 (x,z,r) (2 ),( ),( )( 0,一奇一偶,(，)1)①= (2ab),(ab),( )②000n2n222n222對比①、②兩式得方程組102ab2 2222ab 根據(jù)引理6,上方程組沒有N解。此與a、b、、的定義相矛盾。故方程(1)沒有連環(huán)N解。證畢(z0,x0)1,那么，nz0x0與nz0x0中至推論8設(shè)n2,z0、x0N,z