中學生標準學術能力診斷性測試2023屆高三下學期3月測試數(shù)學試題及參考答案

中學生標準學術能力診斷性測試2023年3月測試數(shù)學試卷本試卷共150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設z是純虛數(shù)，若是實數(shù)，則z的虛部為（）A.－3 B.－1 C.1 D.33.已知函數(shù)，則“函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若圓上有四個點到直線的距離為，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.5.若是9的倍數(shù)，則自然數(shù)n為（）A.4的倍數(shù) B.3的倍數(shù) C.奇數(shù) D.偶數(shù)6.現(xiàn)將0－9十個數(shù)字填入下方的金字塔中，要求每個數(shù)字都使用一次，第一行的數(shù)字中最大的數(shù)字為a，第二行的數(shù)字中最大的數(shù)字為b，第三行的數(shù)字中最大的數(shù)字為c，第四行的數(shù)字中最大的數(shù)字為d，則滿足的填法的概率為（）A. B. C. D.7.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點，將沿直線DE翻折成，連接.當二面角的平面角的大小為時，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知且，若集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設，，滿足，下列說法正確的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為110.已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，下列說法正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.的前10項和為11.已知的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知，，的面積S滿足，點O為的外心，滿足，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.12.已知，是橢圓上兩個不同點，且滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點M為拋物線上的動點，點N為圓上的動點，則點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為______..14.已知為上的偶函數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，則不等式的解集為______.15.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，要求任意兩個偶數(shù)數(shù)字之間至少有一個奇數(shù)數(shù)字，則符合要求的六位數(shù)的個數(shù)有______個.16.若關于x的不等式對任意的恒成立，則整數(shù)k的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）設的前n項和為，證明：.18.（12分）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）設的角平分線BD交AC于點D，若，求的面積的最小值.19.（12分）如圖所示，在三棱錐中，滿足，點M在CD上，且，為邊長為6的等邊三角形，E為BD的中點，F(xiàn)為AE的三等分點，且.（1）求證：面ABC；（2）若二面角的平面角的大小為，求直線EM與面ABD所成角的正弦值.20.（12分）為提高學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數(shù)學建?！边x修課，為了解學生對“數(shù)學建?！钡呐d趣度是否與性別有關，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問卷調查，其中認為感興趣的人數(shù)占70%.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認為學生對“數(shù)學建?！边x修課的興趣度與性別有關？感興趣不感興趣合計男生12女生5合計30（2）若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二次訪談，記選出高三女生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點F坐標為.（1）求雙曲線C的方程；（2）不平行于坐標軸的直線l過F與雙曲線C交于P，Q兩點，PQ的中垂線交y軸于點T，問是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.22.（12分）設.（1）求的單調性，并求在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求k的取值范圍.中學生標準學術能力診斷性測試2023年3月測試數(shù)學參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678ADBDCCAB二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對但不全的得2分，有錯選的得0分.9101112ACBCDABDAD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.15.10816.1四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）（1）∵，∴，即.…………2分又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而，則.…………5分（2）∵…………6分∴，設，則，兩式相減得：.…………9分從而，故.…………10分18.（12分）（1）由已知及正弦定理得：，又在中，.…………2分∴，即，又，∴.…………4分又，∴，即角B的大小為.…………5分（2）∵.…………6分BD是的角平分線，而，∴，即，∴.…………8分∵，∴，∵，∴，即.…………10分當且僅當時取等號，則，即的面積的最小值為.…………12分19.（12分）（1）在BE上取一點N，使得，連接FN，NM，∵，∴，，，∵，∴，則.…………2分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴.…………4分∵面ABC，面ABC，∴面ABC，∵，∴面面ABC，∵面FNM，∴面ABC.…………5分（2）∵，，所以二面角的平面角為.…………6分又∵，∴面AEC，∵面ABD，∴面面AEC，∵面面，過點C作，則面ABD，則.∵，∴，…………8分即C到面ABD的距離為，∵，∴M到面ABD的距離為.…………9分計算EM：，在中，，，∴.…………11分∴EM與面ABD所成角的正弦值為.…………12分（其他方法酌情給分）20.（12分）（1）列聯(lián)表如下：感興趣不感興趣合計男生12416女生9514合計21930…………2分，所以沒有85%的把握認為學生對“數(shù)學建模”選修課的興趣度與性別有關.…………5分（2）由題意可知X的取值可能為0，1，2，3，則，…………6分，…………7分，…………8分.…………9分故X的分布列為X0123P.…………12分21.（12分）（1）因為雙曲線C以為漸近線，設雙曲線方程為，即.…………1分∵，∴，即：，∴，∴，即.…………3分所以雙曲線C的方程為：.…………4分（2）設直線l：，，，，化簡得：.…………6分此方程的兩根為，，則，∴.…………8分PQ中點M坐標為.…………9分∴PQ中垂線方程為：，令，∴，∴，則.…………11分∴.…………12分22.（12分）（1）令.……