高數(shù)矩陣的初等變換

高數(shù)矩陣的初等變換第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日簡單回顧矩陣的定義矩陣的相等矩陣的乘法和線性方程組的關(guān)系第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日n元線性方程組n元線性方程組n元線性方程組定義齊次(線性)方程組方程組中的矩陣：系數(shù)矩陣和增廣矩陣階梯形方程組上三角形方程組階梯形方程組能化為上三角形的必要條件是m=n.加減消元法解方程組就是通過同解變形化為如下結(jié)果第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日系數(shù)矩陣和增廣矩陣?yán)?.2.1三元線性方程組的和分別是系數(shù)矩陣增廣矩陣由矩陣乘法，線性方程組可表示為AX=B，那么如何由矩陣變換來解線性方程組呢？第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日1.初等變換消元法解線性方程組的實(shí)例引入初等變換的增廣矩陣是①②③第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日的增廣矩陣是①②④1)③＋①×2,消去③中的x1,得到一個同解方程組第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日的增廣矩陣是①②⑤2)④－②×消去④中的x2,又得同解方程組第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日⑤×,得到同解方程組的增廣矩陣是①②⑥第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日上述增廣矩陣的變化對應(yīng)著方程組的同解變換，這就是矩陣的初等變換，另加一種對矩陣來說是很有用的變換：交換矩陣的兩行，就得到矩陣的三種行初等變換。第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日初等變換的定義初等行變換(1)交換A的第i

行與第j

行，記作RiRj

；

(2)用一個非零實(shí)數(shù)：乘以A的第

i

行，即用該數(shù)乘以該行的每個元素，所得各數(shù)按原來次序作為同一行的元素，記作Ri·c；

(3)用一實(shí)數(shù)c乘以A的第j

行（如（2）中所述）后，再加到A的第i

行上，記作Ri

＋Rj·c（稱為第i

行加上第

j

行的c倍），當(dāng)c＜0時，也記作Ri

－Rj·c.初等列變換當(dāng)上述三種變換中的行改為列時，我們稱為A的三種初等列變換．（列變換不能簡單地用于解線性方程組）第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日用矩陣的初等行變換解線性方程組解:根據(jù)矩陣相等的定義,必有:例求解未知數(shù)，使下列兩矩陣相等。這里，第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日整理得它的增廣矩陣第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日對增廣矩陣做行初等變換因第一行第一列的元素為0，因此將矩陣的第一、二兩行交換，使得第一行第一列的元素不為0，這樣就可以通過如下的行變換把矩陣化為第一列只有一個非零元(處在第一行，最好取為1)的矩陣.然后保持第一行不動，只對矩陣第二行以后的元素做初等行變換.此時如果第二列處在第二行之后的元素不都為0，則把由第二行和第二列以后的元素構(gòu)成的小一階的矩陣再重復(fù)實(shí)行上述變換;如果第二列的處在第二行以后的元素全為0，則直接從第三列的處在第二行之后的元素進(jìn)行同樣的處理.反復(fù)進(jìn)行這個過程，我們就可以通過初等行變換將一個矩陣化為上三角形方程組的增廣矩陣，然后就很容易把方程組的解求出來.(板演過程)最終得解為第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.階梯形矩陣——解方程組就是將它的增廣矩陣通過初等變換化為上三角矩陣（更一般的應(yīng)該是階梯形矩陣）定義（教材136頁）“右下方”而不能是”下方”!其中(1),(2),(4)是階梯形矩陣；而(3)不是，因?yàn)槠涞?行非零首元3不在上一行非零首元－1的右下方，而是在－1的正下方．若它們作為增廣矩陣，對應(yīng)的方程組是什么？第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理階梯形矩陣的秩(rank)：即其非零行數(shù).矩陣A的秩：任一矩陣A化成的階梯形矩陣具有的非零行數(shù)。記為r(A).定理初等變換不改變矩陣的秩.即r(A)是唯一的。初等變換對應(yīng)著方程組的求解,求秩就是確定方程組真正的個數(shù)?！按蚣佟?！

任意矩陣A均可經(jīng)有限次初等行變換化為階梯形,且所有化成的階梯形矩陣都具有相同個數(shù)的非零行(即該行至少有一個元素不為零).注

秩的另一種定義是矩陣中最大的非零子(行列)式的階數(shù),∵初等變換不改變行列式的非零性，∴秩不變.教材沒有定義一般矩陣的秩!因?yàn)樗鼈儗?yīng)的不同方程組都是同解的。不變的神韻！第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例將下列矩陣化為階梯形并求秩:第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日階梯形矩陣的形式不唯一.我們可以化得更簡單些。

n元方程組的解對應(yīng)著下述矩陣的形式，因此利用矩陣的行初等變換解n元線性方程組時，最終應(yīng)化為如下形式:第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.標(biāo)準(zhǔn)形矩陣（教材中沒有定義卻有例題）定義如果m×n階矩陣(aij

)mn滿足aii=1，i=1,2,

…,r(其中r不大于m和n)，除此以外所有元素均為0，則稱該矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.從以上的例子中不難看出，每個矩陣都可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

可以證明,標(biāo)準(zhǔn)形的得到與施行怎樣的初等變換（不管是行變換還是列變換,通常要用到列變換）無關(guān)，即所有矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形都與原矩陣具有相同的秩。因此標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是唯一的。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1.1.6化下列矩陣為階梯形和標(biāo)準(zhǔn)形，并求秩：標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩等于其非零元素1的個數(shù)。

每個矩陣都可經(jīng)有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日討論:下列兩個矩陣的秩是否相等?第一組后一矩陣R1+R3=R2!第二組前一矩陣R1+R2+R3得到前一矩陣的R’1，由R2+R3得到R’2，初等變換不改變矩陣的秩!第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日解下列矩陣方程:AX=Bi對應(yīng)的線性方程組的增廣矩陣是第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日解矩陣方程:AX=B2的過程是否與前面一樣?需要作相應(yīng)改變的只是第四列,步驟一點(diǎn)兒也不變!-2-2第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日上面的過程合并到一起，就是解矩陣方程AX=I，可以放到一個大矩陣中進(jìn)行，如右上。令I(lǐng)是單位矩陣，對于數(shù)，若ax=1,x是a的倒數(shù)，那么這里的矩陣X與A是什么關(guān)系呢？有什么用呢？咱們下節(jié)課繼續(xù)討論。第二十