2019市直初中數(shù)學(xué)解題比賽試題

2019年泰州市直初中青年數(shù)學(xué)教師解題比賽試題說明：1．本試卷共4頁，10大題，滿分為150分，考試時間為120分鐘；2．所有試題一律在答題紙上作答，尺規(guī)作圖請規(guī)范操作．1．（本題滿分10分）已知（其中a、b、c為常數(shù)），求m；2．（本題滿分10分）我們知道，如果，，其中≥，則以、為根的一元二次方程為．利用這個結(jié)論解方程．3．（本題滿分10分）設(shè)二次函數(shù)(a≠0，≠)的圖像與一次函數(shù)(d≠0)的圖像交于點（，0），若函數(shù)的圖像與x軸僅有一個交點．下列等式：①a(-)=d；②a(-)=d；③a(-)=d；④a(+)=d．請寫出其中成立的等式，并說明理由．4．（本題滿分15分）鳳凰路鼓樓路北AB1200y/mx/min3.757.5Oy1y2圖①圖②如圖①，將南北向的鼓樓路與東西向的鳳凰路看成兩條直線，十字路口記作點A．甲從鼓樓路上點B出發(fā)，騎車向北勻速直行；與此同時，乙從點A出發(fā)，沿鳳凰路步行向東勻速直行．設(shè)出發(fā)鳳凰路鼓樓路北AB1200y/mx/min3.757.5Oy1y2圖①圖②（1）求甲、乙兩人的速度；（2）當x取何值時，甲、乙兩人之間的距離最短？5．（本題滿分15分）如圖，⊙O的半徑為OA=R．OAR（1）求⊙O的內(nèi)接正OAR（2）用尺規(guī)作圖作出⊙O的內(nèi)接正十邊形ABCDE．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）6．(本題滿分15分)三角形全等下列3種判定方法：①兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③三邊分別相等的兩個三角形全等，分別簡稱為“SAS”、“ASA”和“SSS”，課本中將他們稱為“基本事實”，但“SSS”可以證明．已知：如圖，已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．求證：△ABC≌△AB'C'．BBCAA′B′C′7．（本題滿分15分）如圖，正方形ABCD的邊長為a（a為常數(shù)，且a>0），點G、H分別在邊AB、CD上，點E、F分別在邊AD、BC上，且GH∥AD，EF∥AB，EF與GH相交于點P．設(shè)△GBF的周長為l．AECHGBFDP（1）若lAECHGBFDP（2）是否存在l，使矩形EPHD的面積是一個與點G、F位置無關(guān)的常數(shù)？如果存在，請求l的值；如果不存在，請說明理由．8．(本題滿分20分)已知一次函數(shù)（n<0）和反比例函數(shù)（m>0，x>0）．（1）如圖①，若n=-2，且函數(shù)、的圖像都經(jīng)過點A（3，4），直接寫出當>時x的范圍；（2）如圖②，過點P（1，0）作y軸的平行線l與函數(shù)的圖像相交于點B，與反比例函數(shù)（x>0）的圖像相交于點C．①若k=2，直線l與函數(shù)的圖像相交點D．當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值；圖①yxAO圖②yxCBOPl②過點B作x軸的平行線與函數(shù)的圖像相交于點E．當取某一范圍內(nèi)的任意實數(shù)時，點B、C間的距離與點圖①yxAO圖②yxCBOPl9．（本題滿分20分）已知：二次函數(shù)（a為常數(shù)）．（1）試證明：當x>2時，y隨x增大而增大；（2）設(shè)坐標原點為O，該二次函數(shù)圖像與y軸相交于A點，P為該函數(shù)圖像對稱軸上一點，且OP+AP取最小值5，求此時a的值及點P的坐標；（2）在同一直角坐標系中，若該二次函數(shù)的圖像在x≤4的部分與一次函數(shù)的圖像有兩個交點，求a的取值范圍．10．（本題滿分20分）（1）問題提出。如圖①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為．（2）問題探究。如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值．（3）問題解決。如圖③所示，AB、AC、eq\o(⌒,BC)是某新區(qū)的3條規(guī)劃路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，eq\o(⌒,BC)所對的圓心角為60°，新區(qū)管委會想在eq\o(⌒,BC)路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F，也就是分別在eq\o(⌒,BC)、線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和F