二項式定理的練習及答案

二項式定理的練習及答案基礎知識訓練（一）選擇題1．展開式中常數(shù)項是（）A.第4項B.C.D.22．(x－1)11展開式中x的偶次項系數(shù)之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．展開式中有理項的項數(shù)是（）A.4B.5C.6D.74．若與同時有最大值，則m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.55．設(2x-3)4=，則a0+a1+a2+a3的值為（）A.1B.16C.-15D.156．展開式中的中間兩項為（）A.B.C.D.（二）填空題7．在展開式中，x5y2的系數(shù)是8．9.的展開式中的有理項是展開式的第項10．(2x-1)5展開式中各項系數(shù)絕對值之和是11．展開式中系數(shù)最大的項是12．0.9915精確到0.01的近似值是（三）解答題13．求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)15．已知(1-2x)5展開式中第2項大于第1項而不小于第3，求x的取值范圍16．若展開式中，x的系數(shù)為21，問m、n為何值時，x2的系數(shù)最??？17．自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證：18．求被9除的余數(shù)19．已知的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項20．在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)21．求(2x+1)12展開式中系數(shù)最大的項參考解答：1．通項，由，常數(shù)項是，選（B）2．設f(x)=(x-1)11,偶次項系數(shù)之和是，選（C）3．通項，當r=0，2，4，6時，均為有理項，故有理項的項數(shù)為4個，選（A）4．要使最大，因為17為奇數(shù)，則或或n=9，若n=8，要使最大，則m==4，若n=9，要使最大，則或或m=5，綜上知，m=4或m=5，故選（A）5.C6.C7.;8.4n;9.3,9,15,2110．(2x-1)5展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為3511．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此題中的系數(shù)就是二項式系數(shù)，系數(shù)最大的項是T16=.12.0.9915=(1-0.009)5=13．,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與(1-x)9展開式中的項作積，第一個因式中的－x3與(1-x)9展開式中的項作積，故x4的系數(shù)是14．=，原式中x3實為這分子中的x4，則所求系數(shù)為15．由16．由條件得m+n=21，x2的項為，則因n∈N，故當n=10或11時上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時，x2的系數(shù)最小17．原式=18.,∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余819．依題意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設第r+1項為常數(shù)項，又令，此所求常數(shù)項為18020．在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為∴展開式中含x的項為，此展開式中x的系數(shù)為24021．設Tr+1的系數(shù)最大，則Tr+1的系數(shù)不小于Tr與Tr+2的系數(shù)，即有∴展開式中系數(shù)最大項為第5項，T5=三.拓展性例題分析例1在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項．分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決．解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的得系數(shù)為：，由已知：，∴通項公式為為有理項，故是4的倍數(shù)，∴依次得到有理項為．說明：本題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項．類似地，的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有17頁 系數(shù)和為．例2（1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中的常數(shù)項．分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉化為二項式．解：（1）展開式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：用展開式中的常數(shù)項乘以展開式中的項，可以得到；用展開式中的一次項乘以展開式中的項可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用中的項乘以展開式中的項可得到，合并同類項得項為：．（2）．由展開式的通項公式，可得展開式的常數(shù)項為．說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決．這時我們還可以通過合并項轉化為二項式展開的問題來解決．例3求展開式中的系數(shù)．分析：不是二項式，我們可以通過或把它看成二項式展開．解：方法一：其中含的項為．含項的系數(shù)為6．方法二：其中含的項為．∴項的系數(shù)為6．方法3：本題還可通過把看成6個相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，項可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到．3個因式中取x，一個取，兩個取1得到．1個因式中取x，兩個取，三個取1得到．合并同類項為，項的系數(shù)為6．例4求證：（1）；（2）．分析：二項式系數(shù)的性質(zhì)實際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值．解決這兩個小題的關鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項式系數(shù)性質(zhì)．解：（1）∴左邊右邊．（2）．∴左邊右邊．說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解．此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：例5：求的結果．仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開式接近，但要注意：從而可以得到：．例6利用二項式定理證明：是64的倍數(shù)．分析：64是8的平方，問題相當于證明是的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形，將其展開后各項含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來．解：∵是64的倍數(shù)．說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù)．例7展開．分析1：用二項式定理展開式．解法1：分析2：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開．解法2：．說明：記準、記熟二項式的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件．對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便．例8若將展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（）．A．11B．33C．55D．66分析：看作二項式展開．解：我們把看成，按二項式展開，共有“項”，即．這時，由于“和”中各項的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式展開，不同的乘積（）展開后，都不會出現(xiàn)同類項．下面，再分別考慮每一個乘積（）．其中每一個乘積展開后的項數(shù)由決定，而且各項中和的指數(shù)都不相