蘇州大學歷年高等代數(shù)真題

精品文檔2000年真題114分）設f(x),g(x),h(x)都是數(shù)域P上的一元多項式，并且滿足：精品文檔放心下載(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0（）感謝閱讀(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0感謝閱讀（）x41g(x)。214分）設A是nr的矩陣，并且秩（）=，C是rm矩陣，并且AB=AC，證明：B=C。感謝閱讀315分）求矩陣321的最大的特征值，并且求A的屬于的特征子空間的一組基。0A2223610４(14分)設-2,3,-1是33A36An．５(14分)設A,B都是實數(shù)域R上的nn矩陣:AB,BA的特征多項式相等．精品文檔放心下載1歡迎下載。精品文檔EAEB證明：要證明AB,BA的特征多項式相等，只需證明：精品文檔放心下載６．(14分設A是nn實對稱矩陣,證明：A25A7En是一個正定矩陣．證明：A是實對稱矩陣，則Ａ的特征值均為實數(shù)．n=0,(15分)設A是數(shù)域P上的n維線性空間V的一個線性變換,設V,使An10,A精品文檔放心下載．證明：{,A,A2,,An1}是Ｖ的一組基．并且求線性變換Ａ在此基下的矩陣，以及Ａ的核的維數(shù)．感謝閱讀2000年真題答案2歡迎下載。精品文檔11(2)2g(x)0h(x)g(x)

4h(x)（）21將（）帶入（）中，得到：(x1)f(x)xg(x)感謝閱讀42x4與x互素，x41g(x)．注：本題也可以把作為未知量對線性方程求解，用克萊姆法則導出結果。精品文檔放心下載2、證明：ABAC,A(BC)謝謝閱讀A是nr的矩陣,R(r,AAX0．精品文檔放心下載BC0,即BCEA2、，0241，22，當時，求出線性無關的特征向量為，0，2＇，2是的特征子空間的一組基．0則L,，,12012-2,3,-1是332,3,123則矩陣36A15,16對應的特征值為：220,1n3故A201636A4800n1,利用構造法，設0、HE1B，AEE0EAE1BE1B，兩邊取行列式得AE01EABHE11()nE．（１）111EBEB，兩邊取行列式得E0AEHE11()nE(1)nEAB1＝()nEBA3歡迎下載。精品文檔EE（３）．上述等式是假設了0，但是（３）式兩邊均為的n次多項式，有無窮多個值使它們成立（0精品文檔放心下載注：此題可擴展為Ａ是mnnm矩陣，ＡＢ，ＢＡ的特征多項式有如下關系：nEmmEnBA個等式也稱為薛爾佛斯特（Sylvester）公式．5A5A7E57()設6、2222n故A25A是一個正定矩陣．7En340．證明：An10,An=0.令lAl、ln1An1010用An1左乘（１）式兩邊，得到l(A0n1)0．An10，帶入（１）得l0，ln10，l0再用An2左乘（２）式兩端，可得l10．這樣繼續(xù)下去，可得到lll01n110．Aln1An10,A,A2,,An1謝謝閱讀(,A,A2,,An1)0(,A,A2,,An1)00．0000010011000Ａ在此基下的矩陣為1000001000000010，可見,R(n1,dimkerAn(n1謝謝閱讀即A的核的維數(shù)為．2001年真題4歡迎下載。精品文檔5歡迎下載。精品文檔2002年真題115分）設A1101000001110011110111，0102100032100n1nnn都是n2n1n3n21201矩陣。解矩陣方程AXB。0B1001220分）設143A是否相似于對角矩陣？如果相似于對角矩陣，求可逆矩陣C，使得C1是一個對角矩陣。，A25344

2310分）設k,m,r,sf(x)g(x)。都是非負整數(shù)。設f(x)1xx2x3,g(x)x4kx4m1x4r2x4s3。證明：410分）設A，B矩陣，G矩陣，并且G的秩是n。證明：如果AGBGAB都是nn是nm。6歡迎下載。510分）設A是nn矩陣，并且A是可逆的。證明：如果A精品文檔與A1的所有的元素都是整數(shù)，則A的行列式是-1或1。610分）設A是nn反對稱矩陣，證明：A2是半正定的。715分）設A是nn矩陣。如果A2E，并且(AE)nnr，A是否相似于一個對角矩陣？如果是，求這個對角矩陣。V810是有理數(shù)域V的維數(shù)是證明：存在正整數(shù)mm是零變換。n，與是VABBAA。2003年真題7歡迎下載。精品文檔8歡迎下載。精品文檔9歡迎下載。精品文檔2004年真題2004年真題答案10歡迎下載。精品文檔的10112101X021精品文檔放心下載3510201012152解；35311012101115P是010212102220111011011112101521011X3501002131010021由或411511222210210p12且p12i取12則但感謝閱讀三（’）設PnV2感謝閱讀））{（|V}精品文檔放心下載1（）V）1(3)是V(V)=1謝謝閱讀1）則(（）(2()(()0感謝閱讀則（）））{（|V}感謝閱讀11）,2()0,（）{（|V}精品文檔放心下載1）{（|V}精品文檔放心下載1）{（|V}精品文檔放心下載1（）V,則（））精品文檔放心下載1=（）+（））精品文檔放心下載1即V=）1）(V)(1V()精品文檔放心下載((（()）=(謝謝閱讀）1V）1（3(V)是謝謝閱讀11(V)，V=+謝謝閱讀（）），，=（）感謝閱讀1（）（（=+=）+（==（）精品文檔放心下載()=0，(（）（（=（（+=（（）+()）=（）謝謝閱讀（）=（）11歡迎下載。精品文檔四（20）設是數(shù)域PV的一個線性變換，是感謝閱讀1的特征向量，向量組，，……

滿足關系12

s（-E）=，i=1，2?…s-1,其中E是恒等變換i精品文檔放心下載證明：，，?…線性無關12

s證明：因為（-E）=i所以（），i=1，2?…s-1i精品文檔放心下載即k設k+k+?…+k謝謝閱讀s01122sii1si(k+k+?…+k)0謝謝閱讀1122ss)ks1(()，2?…s-1k感謝閱讀11i1i1k1s1ksk011i1ii1i1kk0,由于kss1s0iiiiii1i1i1ks10ii1So,k0

+k+?…+k2132s(k+k+?…+k)0感謝閱讀2132s0重復上述過程可得k+k+?…+k3142s繼續(xù)重復上述過程，我們有k，因為，所以k0s11s從而我們有k0+k+?…+k1122s1再繼續(xù)上面步驟，可得k0k0精品文檔放心下載1由歸納法得kk?…+k012s因此，，……感謝閱讀12s線性無關12歡迎下載。精品文檔五(20)用正交線性替換三元二次型f(x,x,x)=x2-2x22-4xx+4xx+8x1231231213為標準型,并給出所用的正交線性替換.x23212解:設A為二次型矩陣,A=224242令|EA|0122即224(2)2(7)0242感謝閱讀2,71,23對應于2的特征向量為1,21對應于7的特征向量為33正交化(0,1,1),(1,2,2(2,0,1)令(0,1,1)1()11

,)12(,)2222111(1,2,2)31021從而令C122

1122200從而CAC020007令XCY則f(x,x1,x)=XAX=()A(CY)Y'C'2y22y27y223123六(15)設A,B為兩個n階方陣,r(A)r(B)n1,其中n1感謝閱讀齊次線性方程組AX=0與BX=0同解,證明:A的非零列與B的非零列的非零精品文檔放心下載列成比例,其中A**分別是A,B的伴隨矩陣.感謝閱讀證明:sincer(A)r(B)n1謝謝閱讀so,r(A*)r(B*)1because,AA*AE0,BB*BE0謝謝閱讀A的列向量是AX=0的解,B的列向量是BX=0的解感謝閱讀For,AX=0與BX=0同解設是A的非零列,是B的非零列=k13歡迎下載。精品文檔設,是nV,V,精品文檔放心下載((),)(,()),:謝謝閱讀:,((,(((),))0謝謝閱讀(V)(V)...............................................(1)謝謝閱讀),(,(0謝謝閱讀((),)(,(0()0,精品文檔放心下載)謝謝閱讀感謝閱讀(V)八(15)設M是數(shù)域P上的n(n1),f(x),g(x)x](f(x),g(x))1謝謝閱讀Af(M),Bg(M),W,W,W分別是方程組ABXAX0,BX0謝謝閱讀12空間,證明:證明:(1),g(M)fWW(M)011221A0f(M)0f(M)g(M)1111WWW11同樣WW2WWW12(2)because,(f(x),g(x))

1,so,u(x),v(x)x]u(x)f(x)v(x)g(x)1u(M)f(M)v(M)g(M)E感謝閱讀WW,A0,Bf(M)g(M)012(u(M)f(M)v(M)g(M))E0感謝閱讀謝謝閱讀WW12(3)sinWWW12so,dim(WW)dim(W)12Also,WW{0}dim(WW)dim(W)dim(W)感謝閱讀121212dim(W)dim(W)dim(W)....................................................(1)謝謝閱讀12Still,r(r(B)nr(AB)感謝閱讀ndim(W)ndim(W)nndim(W)謝謝閱讀12dim(W)dim(W)dim(W)....................................................(2)感謝閱讀12dim(W)dim(W)dim(W)12also,WW12WW1214歡迎下載。精品文檔九(10)設V是數(shù)域Pn維線性空間,,是V的線性變換,有n個互異謝謝閱讀的特征值,證明:與可交換的充分必要條件是:是E,,22線性組合,其中E是恒等變換.n1的證明:因為=,設是的n個互異的特征值,是屬于謝謝閱讀的特征向量iii則也是的特征向量i,對于每個(i1,2..........n)有(())()

()=(())=()=(精品文檔放心下載)iiiiiiiii從而()V由于,所以dim(V)1,(i1,2..........n)感謝閱讀iiii故也是的特征向量)i從而uV,使)u,(i1,2..........n)謝謝閱讀iiii1于是有(,.........)(,..........)2謝謝閱讀1212nnnu1u)2(,)(,.........精品文檔放心下載1212nnuxxxn.........un11121n1x.........

xx

u{1......................1）感謝閱讀n1222n

2考慮方程組.....................................精品文檔放心下載x111n2.........nnunn1n1n111n（）1i(異）)0(互由于系數(shù)行列式

22

iji

1ijn1n1nn則方程組有唯一解，設為（a,a......a)12n則a,(i1,2..........n)aau1i2iin即（a）an1au

1i2ii

nii得（aa（）n（））=（）112inii由于,........是V的一組基，因此=aa（）1212nin所以是E,,2n1的線性組合2005年真題15歡迎下載。精品文檔120分）設A,B均為n階方陣A中的所有元素均為1,B中的除元素為1外其余元素均為0.問A,B是否等價是否合同是否相似感謝閱讀么?220分）設A=。vA最大的特征值。求A的屬于v的特征子空間的基。精品文檔放心下載320分）設（）是一個整系數(shù)多項式。證明：如果存在一個偶數(shù)m和一個奇數(shù)n（（）都是奇數(shù)，則（）沒有整數(shù)感謝閱讀根。420分）設A是一個2n×2n的矩陣。證明：如果對于任意的2n2，矩陣方程B都有解，則A是可逆的。謝謝閱讀5有解的充要條件是用它的常數(shù)項依次構成的列向量B與它所對應的齊次線性方程組的解空間謝謝閱讀正交。620分）設，B是n實對稱矩陣，且A+B=E,E為單位矩陣。證明下列結論等價：感謝閱讀16歡迎下載。（）AB=O,O為零矩陣（）秩(A)+秩(B)=n謝謝閱讀精品文檔720分）設V是復數(shù)域上的n維線性空間，，p是V上的兩個可對角化的線性變換，且qp=pq。證明：精品文檔放心下載（）如果k是q的特征值，那么（）存在一組基使得、p在這組基下的矩陣都是對角矩陣。感謝閱讀810分）設，，C分別是m×n,mn矩陣（）且AC=CB,C的秩為r.精品文檔放心下載證明:A和B至少有r個相同的特征值。注意：7題中在原題中k為V的下標。謝謝閱讀2006年真題17歡迎下載。f(x,x,x123精品文檔)x24x4xxx112132x8x2xx222233變換。212是否相似于一個對角陣？如果相似，則求出可逆矩陣，使得C二、設A254A為對角陣，且寫出此對角陣。精品文檔放心下載1f(x)axaxax1ann110是一個整系數(shù)多項式，證明：如果ana0是一個奇數(shù)，則f(x)x-1也不能被x+1A是一個nn矩陣，證明：如果A的秩等于A2的秩，則齊次線性方程組AX=0與齊次線性方程組A2X=0同解。五、設VQ上的線性空間，id是V的恒等變換。又設是V的一個線性變換，證明：如果325沒有特，則18歡迎下載。精品文檔征值。A是nn實對稱矩陣，b是A的最大的特征值。證明：對任意n維非零的實列向量，都有(A,)(,)b。七、設F[x]是F上全體次數(shù)<5的多項式及零多項式構成的線性空間。精品文檔放心下載5f(x)V，定義映射(f(x))r(x)f(x)(x21)q(x)r(x)，r(x)或deg(r(x))2感謝閱讀a)證明映射是V的一個線性變換。b)求在基，x,x2,x3,x4下的矩陣。8A,B都是nn矩陣，并且AB=BA。證明：如果A,B都相似于對角矩陣，則A+B也相似于對角矩陣。精品文檔放心下載一，化二次型fx,x12,x32xx122xx232xx132007年真題為標準型并給出所用的非退化線性替換.19歡迎下載。精品文檔二，求三階矩陣126的.1072527,R2,矩陣AEnnTT求A的特征多項式.四，設A是n證明：aEA階反對稱矩陣,E為單位矩陣.1求證Q是正交陣.n可逆設,b設Q=E+AEA1陣.求證Q是正交五，設A是3階對稱矩陣且A的各行元素之和都是3,0,1,1,1,2,1TT是AX0的解A的特征值,特征向量,求正交陣Q和矩陣B使得QBQAT精品文檔放心下載20歡迎下載。精品文檔六，設P是一個數(shù)域,Px是Px中次數(shù)大于0的多項式,證明：如果對于任意的fx,gx,若有Px|fxgxpx|fxpx|gx,PxPx是不可約多項式.謝謝閱讀，那么dimW2dimW1，，12，n,0.W1L,,,12nW,2L,,12,,,證明：ni0,八，設是n維歐氏空間中的一個對稱變換則VV2007年真題答案01.解所給二次型的矩陣為A111011為1其特征多項式f()|EA|(1)(2).故特征值為2021歡迎下載。精品文檔11,22.121,解對應的特征方程(EA)X0得X(110)T,X21T,X2,解對應的特征方程(2EX0得X(11T.3(101)T.以X,X,X12,X3作為列向量作成矩陣C.則C,且CT.這時做非退化線性替換yxx121xxy213得f(y,y12,y)yy2y2223123.■0yxxx312312610010.1701

02.解EA,將其對角化為01.故A的若當標準形為102700((1)

001■3.解A的特征多項式為f()|EnA|(nTT(n(TT)(n2(2T()(n2(2TTT(n21TTT1TT(1)(1025()).■n22T24.證⑴AT是反對稱實矩陣故其特征值為零或純虛數(shù).,是A的特征值,是相應的特征向量則A(()AA(謝謝閱讀TTTTTTTT,又A,故這說明是零或純虛數(shù)由此得|EA|0,因而EA.TT⑵由知EA這說明Q有意義而Q(E1(E,感謝閱讀TQTQ(E1(EA)(EA)(EA)1(E1(EA)(EA)(E