高三數(shù)學(xué)立體幾何的難點(diǎn)突破3常見(jiàn)的補(bǔ)形法

高三數(shù)學(xué)立體幾何的難點(diǎn)打破3常有的補(bǔ)形法高三數(shù)學(xué)立體幾何的難點(diǎn)打破3常有的補(bǔ)形法高三數(shù)學(xué)立體幾何的難點(diǎn)打破3常有的補(bǔ)形法幾種常有的補(bǔ)形法周?chē)w的補(bǔ)形法【例1】在周?chē)wABCD中，設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為3，則周?chē)w的體積等于______．EABCD補(bǔ)成四棱錐A–BDCE，【剖析】法1：如圖，將周?chē)w且BE∥CD，BE=CD，則∠ABE=3或2，BE=3，CD∥面ABE，∴CD與AB3CC的距離即為到平面的距離，亦即到平面的距離就是三棱錐–的CDABEABEABE高h(yuǎn)=2，∴VA–BCD=VA–BEC=VC–ABE=1hS△ABE121ABBEsin=1.33232法2：如圖，把周?chē)wABCD補(bǔ)成三棱柱ABE–FCD，則面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，則AB與CD的距離就是平面ABE與平面FCD的距離，即三棱柱的高h(yuǎn)=2，且∠DCF=3或2.313∴V柱=△FCD·h=CFsin212132故周?chē)w的體積為V柱.32A法3：如圖，把周?chē)wABCD補(bǔ)成平行六面體，則周?chē)w的體積是平行六面體體積的1,V平行六面體=S底·h=113sin23，故周?chē)w的體積為1.32322【評(píng)注】三棱錐補(bǔ)成四棱錐、三棱柱或正方體能夠簡(jiǎn)化求體積，此題將兩異面的直線段組成的周?chē)w用三種不同樣的補(bǔ)形研究出.結(jié)論：在周?chē)w中，設(shè)ABCDAB=a，CD=b，直線AB與CD的距離為h，夾角為θ，則周?chē)w的體積為V=1abhsin.6三側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體

ABDCBAECFDBCD【例2】已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為3的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則正三棱錐P－ABC球心到截面ABC的距離為_(kāi)_______．【剖析】正三棱錐補(bǔ)成正方體如圖，可知球心O為體對(duì)角線PD的中點(diǎn)，且PO＝3，1321123又P到平面ABC的距離為h，則3×4×(22)·h＝3×2×2×2×2.∴h＝3.【評(píng)注】若是三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則能夠補(bǔ)形為一個(gè)正方體;若是三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則能夠補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．R2a2＋b2＋c2l2＝4＝4(l為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng))．【變式1】利用四個(gè)面為直角三角形的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體求外接球的面積V在三棱錐VABC中，VA底面ABC，ABC90，若ABCVA1,AB2,BC3，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)______．1.14.【剖析】將三棱錐VABC中補(bǔ)成以以下圖的長(zhǎng)方體，則三棱錐的VABC的外接球即如圖所示的長(zhǎng)方體的外接球，球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)14，∴三棱錐外接球的表面積為4r214.【變式2】利用三側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體求周?chē)w的體積以以下圖，在周?chē)wABCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且ABBC2，E是AC的中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角的DQ余弦值為10，則周?chē)wABCD的體積.GH10BA2.8【剖析】依題意把AB,BC,BD視為長(zhǎng)方體一角的三條CE3F棱，將周?chē)wABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體CFABGHQD.如圖，連接GF,BF，則GFB就是異面直線AD與BE所成角，設(shè)BDx,則BG2GF2x24,BF28，由x4周?chē)w18余弦定理求得..VABCD=224=36對(duì)棱相等的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體【例3】已知周?chē)wSABC的三組對(duì)棱相等，依次為25、13、5，則周?chē)鶪C體的體積為.SH【剖析】如圖,把周?chē)wS–ABC補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ADBE–GSHC,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2+2=(222+2=(22+2AEa、b、c，則有ab5)，bc13)，caDB=52，聯(lián)立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS–ABC=V長(zhǎng)方體–4VS–ABD=abc–411abc1abc=8.332【變式1】周?chē)w補(bǔ)成長(zhǎng)方體求體積已知周?chē)wSABC的三組對(duì)棱相等，依次為25、13、5，則周?chē)w的體積為．1.8【剖析】如圖,把周?chē)wS–補(bǔ)形為長(zhǎng)方體–,ABCADBEGSHC設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，則有2+b2=(25)2，abcab2+c2=(13)2，c2+a2=52，聯(lián)立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故S–ABC=V長(zhǎng)方體–4S–ABDVV=abc–4

11abc1abc=8.323【變式2】周?chē)w補(bǔ)成正方體等積法求點(diǎn)到面的距離已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為3的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)_______．2.3【剖析】正三棱錐補(bǔ)成正方體如圖，可知球心O為體對(duì)角線PD的中點(diǎn)，且PO＝3，又P到平3面的距離為h132)21123，則××(2·＝××2×2×2.∴＝.ABC34h32h3【變式】由三視圖建立長(zhǎng)方體研究變量關(guān)系借助于均值不等式求最值某幾何體的一條棱長(zhǎng)為7，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為6的線段，在該幾何體的側(cè)視圖、俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，則ab的最大值是________