高中數(shù)學(xué)同步講義分冊(cè)選修2-2第2章章末總結(jié)

空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為 —[解析 (1)等式的左邊的通項(xiàng)為 1，前n項(xiàng)和為1 —

－＋－

1 1 1 1 1；右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng) ，共有n項(xiàng)，故

1∶8.—＋—[答案 —＋—

1 1 1 1— — [類題通法

n(n≥2)nn＝2，S2＝4，n＝3，S3＝8，n＝4，S4＝12Snn 解析：S4＝4×4－4(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次，應(yīng)減去在平面幾何中：△ABC的∠C內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為 ＝ A-BCD中(如圖)，DECA-CD-BAB

＝[典例]已知

{a}的前n項(xiàng)和為S，點(diǎn) 2n＋，數(shù)列2nx

(2)求證：n S>2( [解 1

2 4＋4＋1 1 1 2－2＝4(n∈N 1 1∴數(shù)列22＝11

1 ∴ 4n－3＋4n＋1－ ∴Sn＝a1＋a2＋…＋n

5－1)＋(9－5a＋(4n＋1－4n－3)]＝(2[類題通法已知a＝ ，函

a

ea>0，f(x)＝axRae ae解析：∵f(x)＝axRe a ae∴f(－x)＝f(x)a＋e－x＝ae1

1－1∴(e－e)＋a

ex 1 1ae∴－ex＝0x∈Rae—＝ —＝a要證……”“只需證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題[典例] 1

[證明 法一：綜合≤，所以1＝a＋b≥2ab， ≤，

≤ ≤

≥1 ≥ ＝(a＋b)＋＝2 1 ≥8(

時(shí)等號(hào)成立 法二：

1≥8.＋＋ ＋＋

a只要證a

ab 只要證

＋

也就是證a＋b ＋≥由基本不等式可知，當(dāng) 2成立＋≥ [類題通法綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用的

m恒成立，那么m的最大值等于( ＋≥ ＋≥ 解析：選 abab∴m≤＋(2a＋b)＝5＋2abab∵5＋2b＋a≥5＋4＝9，即其最小值為 ∴m≤9ma＞b＞c＞d＞0a＋d＝b＋c，求證：d＋a＜b＋c.證明：要證d＋a＜b＋c，只需證(d＋a)2＜(b＋c)2，a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，a＋d＝b＋c，只需證ad＜bc，ad＜bca＋d＝b＋c＝t，ad＜bc成立，從而d＋a＜b＋c成立.反證法是證明問(wèn)題的法，在高很少單獨(dú)考查，常用來(lái)證明解答題中的得出[典例](1)否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為 a，b，ca，b，ca，b，ca，b，cx2＋ax＋b＝0x2＋cx＋d＝0]反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)．”[類題通法，21，2

證明a，b，c1a＜1，b＜1，c＜1，a＋b＋c＜3，

22a＋b＋c＝2x－2x3＝222

a，b，c1.f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．證明：f(x)＝0k，ak2＋bk＋c＝0，∴a＋b必為偶數(shù)，ak2＋bk為奇數(shù)．kk＝2n(n∈Z)，與ak2＋bk為奇數(shù)；kak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)ak2＋bk為f(x)＝0無(wú)整數(shù)根—．它的第一步(歸納奠基)n＝n0時(shí)結(jié)論成立．第二步(歸納遞推)n＝kn＝k＋1①n＝n0n＝kn＝k＋1n＝kn＝kn＝k＋1＝[典例]設(shè) ax，令a＝1，a＝

＝f(a

(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)[解 ∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a a；a4＝f(a3) a 猜想 (2)證明：①易知，n＝1②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)猜想正確 即 則 ＝f(a a

a a＋ 這說(shuō)明，n＝k＋1由①②知，對(duì)于任何n∈N*，都有 [類題通法S1，S2，S3，猜想 解析：由(S1－1)2＝S2 3由(S2－1)2＝(S2－S1)S234由(S3－1)2＝(S3－S2)S34＝猜想 n.＝設(shè)數(shù)列{a}n

∈N*)，a

(1)求{an}的前三項(xiàng)(2)猜想{an}的通項(xiàng)，并證明 得a1＝1，又由a2＝2，得n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk 11k1ak＋1＝k1k1n＝k＋1根據(jù)①②知，對(duì)任意n∈N*，都有用演繹推理證明函數(shù)y＝x3是增函數(shù)時(shí)的是( B．函數(shù)y＝x3滿足增函數(shù)的定C．若x1<x2，則D．若x1>x2，則 y＝x3是增函數(shù)的應(yīng)是增函數(shù)的定義an的表達(dá)式是)解析：選 求得a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想＋＝1＋＝1x，ya，b x y zA.＋＋ ＋＋

＋

解析：選 4．(山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè) Ax3＋ax＋b＝0Cx3＋ax＋b＝0Dx3＋ax＋b＝0 0沒(méi)有實(shí)根公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8＝32，則S10＝( 由a2＝aa得(a＋3d)2＝(a＋2d)(a＋6d)，即2a＋3d＝0.再由S＝8a 3 56d＝32，得2a1＋7d＝8，則d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋90d＝60，選 則AG＝2ABCD△BCD△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn) 圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而 解析：Sn＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n，用數(shù)學(xué)歸納法證明(＋＋(＋＋…＋(＋)

∈N*)的第二步中 n＝k＋1時(shí)等式左邊與n＝k時(shí)的等式左邊的差等 卷Ⅰ)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的 解析：法一：21223，則甲的卡13，滿足題意；1323，則甲的卡12，不滿足甲的說(shuō)法．1法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是12313.答案：1f(x)＝exln

x證明：由題意知f(x)>1等價(jià)于xln g(x)＝xlnxg′(x)＝1＋ln x∈，e當(dāng)x∈1，＋∞時(shí)

g(x)在，e上單調(diào)遞減，在e，＋∞ 設(shè)函數(shù) －e. .e各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}a1＝1，a2＋求數(shù)列{an}的通項(xiàng)

n

1 1 ＋≤2n－1n∈N＋≤2n－1n∈N解：(1)∵a2＋n n∴數(shù)列{a2}12nnan>0an＝2n－1.n＋ 1 ≤＋ ①n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，所以不等式成立．n＝2時(shí)，左邊<右邊，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立即1＋1 ≤ n＝k＋1左邊1 左邊＋ ≤

< 2k＋1＋＝2(2k＋1－＝2＝2k＋1＝n＝k＋1由①②知對(duì)一切n∈N*不等式恒成立a＝2f(x)已知a<1，c1>0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列解：(1)a＝21 ±2f′(x)＝0x＝±2當(dāng) 2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 2當(dāng)x∈－ 2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 2，2x∈2，＋∞時(shí)，f′(x)>0，f(x) ＝－2＝－2＝2極小值點(diǎn)