如何建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型課件

一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要由三部分組成：1、用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行描述2、采取各種數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)手段求解模型3、從實(shí)際的角度分析模型的結(jié)果，考察其是否合理、是否具有實(shí)際意義？如何建立一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型

一、模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征

形成一個(gè)比較清晰的“問(wèn)題”

拿到需要解決的問(wèn)題之后，首先應(yīng)該做的事情是:了解有關(guān)背景知識(shí)，查閱前人在這方面的工作，并在此基礎(chǔ)上探討解決問(wèn)題的方法。例1.1CMCM-96B題：節(jié)水洗衣機(jī)

由于淡水資源的短缺以及洗衣機(jī)的廣為普及，節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)放入衣物和洗滌后洗衣機(jī)的運(yùn)行程序?yàn)椋杭铀黄匆幻撍患铀黄匆幻撍唬ぁぁぁ?稱“加水一漂水一脫水”為一輪。)現(xiàn)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數(shù)據(jù)計(jì)算。例1.2：CMCM-92B題。組成生命蛋白質(zhì)的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過(guò)質(zhì)譜實(shí)驗(yàn)測(cè)定分子量來(lái)分析蛋白質(zhì)分子的組成時(shí)，遇到的首要問(wèn)題是如何將它的分子量X分解為幾個(gè)氨基酸的已知分子量之和。分析：題目要求根據(jù)蛋白質(zhì)的分子量給出所有的氨基酸組合方式。

令M為蛋白質(zhì)的分子量，表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數(shù)目，問(wèn)題歸結(jié)為求解下列不定方程計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)?shù)鞍踪|(zhì)的分子量為1000時(shí)，解的個(gè)數(shù)已達(dá)到28268個(gè)，這樣的模型對(duì)于實(shí)際的工作而言并無(wú)多大的意義。要想建立一個(gè)合理的有用的模型，首先應(yīng)該了解生物學(xué)中關(guān)于蛋白質(zhì)組成以及化學(xué)中關(guān)于分子結(jié)構(gòu)測(cè)試方面的知識(shí)，例如原題中提到了質(zhì)譜儀的使用，質(zhì)譜儀可以精確測(cè)定分子量和分子式，即可以知道蛋白質(zhì)分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數(shù)目和計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間，而且便模型更具有實(shí)用性。有些問(wèn)題可能是某一領(lǐng)域中早已存在的問(wèn)題，專家們已經(jīng)有過(guò)許多研究，充分利用他們的研究結(jié)果，對(duì)于建模有很大的幫助.例如:

CMCM-91B題（施肥效果分析）二、模型假設(shè)1、假設(shè)的依據(jù):（1）、對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)。（2）、對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的，作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)設(shè)，在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中2、基本原則：（1）多數(shù)的原則。如曲線擬合時(shí)，可根據(jù)多數(shù)點(diǎn)的分布趨勢(shì)來(lái)確定曲線，經(jīng)驗(yàn)證后，選擇誤差少的曲線。（2）發(fā)展的原則。觀察事物的發(fā)展方向。（3）主導(dǎo)性的原則。分析何種因素起主導(dǎo)作用。如修盤山公路，主導(dǎo)性因素是公路坡度在一個(gè)合理范圍內(nèi)。（4）相對(duì)性的原則。例2.1：AMCM-92B題，在應(yīng)急系統(tǒng)的研制過(guò)程中，優(yōu)秀論文作者作了如下假定：

（1）、從派遣中心到事故發(fā)生地點(diǎn)的距離以兩地橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值之和度量（2）、修理隊(duì)總以30里/小時(shí)的平均速度行駛（3）、在緊急情況下，修理隊(duì)隨時(shí)可供派遣（4）、修理隊(duì)的車輛無(wú)損壞情況……這些假設(shè)給應(yīng)急系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便3、假設(shè)的分類：（1）簡(jiǎn)化問(wèn)題的假設(shè)。（2）對(duì)所研究對(duì)象進(jìn)行近似，使之滿足建模所用數(shù)學(xué)方法必需的前提條件。建立數(shù)學(xué)模型就是采用或建立某種數(shù)學(xué)方法來(lái)解決具體的問(wèn)題，而每種理論的應(yīng)用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應(yīng)用某種數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵在于所研究對(duì)象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對(duì)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問(wèn)題的方便，即假設(shè)必須合理。

例2.3：雙層玻璃窗的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，如圖所示：兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，試建立一個(gè)模型描述熱量通過(guò)窗戶的傳導(dǎo)（即流失）過(guò)程。以上假設(shè)為我們利用熱傳導(dǎo)定理奠定了基礎(chǔ)。假設(shè)1、熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流2、T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)3、材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)

例2.4：AMCM-89A題要求對(duì)蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設(shè)：1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長(zhǎng)度的總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)與學(xué)習(xí)樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長(zhǎng)度x和y服從二維正態(tài)分布這兩條假設(shè)為從概率論的角度對(duì)蠓蟲進(jìn)行分類提供了根據(jù)，由于統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用必須建立在對(duì)大量樣本進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，而我們面臨的問(wèn)題是，題中所給的數(shù)據(jù)（15個(gè)學(xué)習(xí)樣本）太少，因此優(yōu)秀論文作者清醒指出，這些假設(shè)未必一定可靠，這顯示了他們對(duì)實(shí)際問(wèn)題及所用方法的深刻見解，三、模型的建立1、分析問(wèn)題，闡明建模的依據(jù)。不同性質(zhì)的問(wèn)題需要采用不同的數(shù)學(xué)方法加以解決，建立什么樣的模型是由問(wèn)題的本質(zhì)決定的。

例3.1、Logistic模型。資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，即增長(zhǎng)率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡(jiǎn)單的假設(shè)是例3.2CMCM-04B電力市場(chǎng)輸電阻塞模型

關(guān)于有功潮流近似表達(dá)的確定，有一篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的：根據(jù)功率疊加原理，我們認(rèn)為各線路上的有功潮流應(yīng)為各發(fā)電機(jī)組出力的線性組合。隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。如線路1受機(jī)組1的影響，線路3受機(jī)組4的影響，可以發(fā)現(xiàn)，有功潮流受到各機(jī)組的影響近似成線性關(guān)系。因此假設(shè)有功潮流關(guān)于各個(gè)機(jī)組出力的函數(shù)關(guān)系為2．采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法建立模型

主要有以下幾種類型（1）優(yōu)化模型根據(jù)已知信息，對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，如費(fèi)用最小，時(shí)間最短等。如AMCM89B設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)起飛的系統(tǒng)，CMCM-96B節(jié)水洗衣機(jī)，CMCM-010B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸，等等。

一般分三種情況。1）給出了明確的優(yōu)化目標(biāo)2）有些問(wèn)題本身的性質(zhì)（如圖與網(wǎng)絡(luò)中的NPC問(wèn)題）決定了無(wú)法找到最優(yōu)解。應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)近似算法，使目標(biāo)盡可能優(yōu)化。3）沒有提出明確的優(yōu)化目標(biāo)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要，提出合理的優(yōu)化目標(biāo)。（2）微分方程模型所研究對(duì)象與已知因素之間的關(guān)系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動(dòng)物群體的增長(zhǎng)。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。方法總結(jié)：用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計(jì)的方法.

插值與擬合，隨機(jī)模擬在數(shù)據(jù)處理時(shí)很有必要?；疑到y(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析3．創(chuàng)造性地改造已有模型。

數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題一般來(lái)自解決的實(shí)際問(wèn)題，沒有現(xiàn)成的模型可直接套，能否提出自己見解是評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。因?yàn)闀r(shí)間和知識(shí)水平的限制，一般在現(xiàn)有的模型上對(duì)已有的模型進(jìn)行必要的修正，或者創(chuàng)造條件而使用這些模型。

例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊(duì)利用等高線圖確定目標(biāo)的方法很有創(chuàng)造性，盡管有其他不足，仍被評(píng)為特獎(jiǎng)。例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問(wèn)題，需要做的是提DNA序列的分類特征。例3.5減肥問(wèn)題在以下假設(shè)下：1、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)。得到下面的基本模型：基本模型

根據(jù)題意，得到購(gòu)買Si的金額為xi的交易費(fèi)為但因M相當(dāng)大，Si若被選中，其投資額xi一般都超過(guò)ui，交易費(fèi)可簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型的建立是一個(gè)從實(shí)際——數(shù)學(xué)——實(shí)際的過(guò)程，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象化描述后，可編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用各種軟件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數(shù)學(xué)軟件包）對(duì)模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)結(jié)果之后，問(wèn)題并未完全解決，前已述及，我們?cè)诮?shù)學(xué)模型的過(guò)程中，作了各種近似和簡(jiǎn)化，而且更重要的是，我們建立的數(shù)學(xué)模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù)，因此，模型的結(jié)果是否具有實(shí)際意義或滿足實(shí)際要求，有待于細(xì)致的分析。五、模型求解及結(jié)果的分析六、模型的檢驗(yàn)完成模型的設(shè)計(jì)及求解之后，我們還需要對(duì)模型的各種性能作出評(píng)價(jià)，這就是模型的檢驗(yàn)，它一般包括以下幾個(gè)方面：1、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學(xué)模型它的價(jià)值在于能夠從已知的信息預(yù)測(cè)未知的東西，因此，一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果對(duì)模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性，這是其廣泛適用性的保證以足球賽排名為例，用特征向量法求出排名結(jié)果后，隨意改變一兩場(chǎng)比賽結(jié)果，觀察排名結(jié)果的變動(dòng)，發(fā)現(xiàn)變動(dòng)很小，說(shuō)明該模型對(duì)原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。作為實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)近似描述，數(shù)學(xué)模型所預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差，這種偏差是來(lái)源于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，還是由于模型的不完善造成的？為回答這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該對(duì)殘差（模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差）的分布作統(tǒng)計(jì)分析。如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態(tài)分布，表示模型很好地反映了實(shí)際情況；如果殘差分布的均值不為0，則表明模型可能還需要進(jìn)一點(diǎn)修正。2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優(yōu)秀論文作者先假設(shè)殘差服從正態(tài)分布，然后用顯著性水平a=0.01進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不能通過(guò)原假設(shè)，隨后，又對(duì)對(duì)數(shù)殘差分別表示多巴胺濃度的觀測(cè)值和計(jì)算結(jié)果)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明模型預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在數(shù)量級(jí)上是保持一致的。另一個(gè)重要的方面是，數(shù)據(jù)的測(cè)量中不可避免地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結(jié)果（依賴于原始數(shù)據(jù)）必然有一定的不準(zhǔn)確度，因此，估計(jì)結(jié)果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來(lái)計(jì)算，s為結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差，Si（i=1,2,…）是每個(gè)觀測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，如AMCM-91A題對(duì)于水塔水流量的估計(jì)，用上述方法很容易計(jì)算出用水量總標(biāo)準(zhǔn)偏差為7.3%，大約相當(dāng)于水塔容量的2.1%數(shù)學(xué)建模即根據(jù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，將新建的模型與原來(lái)的模型進(jìn)行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性，以CMCM-93B題(足球比賽的排名問(wèn)題)為例，優(yōu)秀論文用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)積分法和特征向量法的排名結(jié)果與各隊(duì)強(qiáng)弱順序（事先設(shè)定）進(jìn)行比較，100次模擬的結(jié)果表明，特征向量法給出的結(jié)果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。3、新舊模型的對(duì)比MCM中的優(yōu)化模型常常是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使之盡可能滿足實(shí)際要求，如AMCM-89B題緊急修復(fù)系統(tǒng)的研制都屬于這種類型，在完成系統(tǒng)的設(shè)計(jì)之后，最重要的事情是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趯?shí)際中的可行性和有效性，只有做到這一點(diǎn)，才是一個(gè)運(yùn)籌學(xué)模型的真正完成，以飛機(jī)排隊(duì)模型為例，優(yōu)秀論文用線性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)飛機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)之后，為了解模型運(yùn)行的良好性，用計(jì)算機(jī)模擬的方法，產(chǎn)生各種情形，根據(jù)優(yōu)先排隊(duì)模型確定起飛次序，并觀察結(jié)果的合理性。4、實(shí)際可行性檢驗(yàn)七、模型的改進(jìn)、推廣及優(yōu)缺點(diǎn)分析在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般先考慮主要因素建立模型，忽略一些次要因素以簡(jiǎn)化問(wèn)題。如AMCM-92A題，優(yōu)秀論文在設(shè)計(jì)雷達(dá)發(fā)射功率時(shí)，進(jìn)一步考慮了出現(xiàn)雷雨天氣時(shí)，雨滴對(duì)雷達(dá)所發(fā)射電磁波信號(hào)的消弱，從而得到更適用的雷達(dá)發(fā)射功率，又如對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，也應(yīng)考慮各種偶然事故或極端情況的出現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的影響，這樣既使模型更符合實(shí)際要求，也增加了模型的穩(wěn)定性。模型的推廣是針對(duì)模型的適用性而言的，一個(gè)好的模型不應(yīng)該對(duì)題中所給數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)有過(guò)多的依賴性，正如一個(gè)好的程序總是將算法獨(dú)立于數(shù)據(jù)之外一樣，數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的描述，另一方面，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值取決于它的廣泛適用性，因此推廣所建立的模型是擴(kuò)大模型的應(yīng)用范圍，從而提高其使用價(jià)值，一般來(lái)說(shuō)，