數(shù)理方程第8講課件

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下載數(shù)學(xué)物理方程第8講1第五章貝塞爾函數(shù)§5.1貝塞爾方程的引出2設(shè)有半徑為R的薄圓盤,側(cè)面絕緣,邊界溫度保持為零攝氏度,初始溫度已知,求圓盤內(nèi)的瞬時(shí)溫度分布規(guī)律.

這歸結(jié)為求解下述定解問題:用分離變量法解這個(gè)問題,先令

u(x,y,t)=V(x,y)T(t),代入(5.1)得3為了求出這個(gè)方程滿足條件的解,將(5.5)與(5.6)寫成極坐標(biāo)形式:再令 V(r,q)=P(r)Q(q)代入(5.7)并分離變量可得5由于u(x,y,t)是單值函數(shù),所以V(x,y)也必是單值的,因此Q(q)應(yīng)該是以2p為周期的周期函數(shù),這就決定了m只能等于如下的數(shù):

0,12,22,…,n2,…

對(duì)應(yīng)于mn=n2,有

Q0(q)=a0/2(為常數(shù)),

Qn(q)=ancosnq+bnsinnq(n=1,2,…).

以mn=n2代入(5.10)得這是n階貝塞爾方程.若再作代換并記6則得這是n階貝塞爾方程最常見的形式.由條件(5.8)及溫度u是有限的,分別可得因此,原定解問題的最后解決就歸結(jié)為求貝塞爾方程(5.11)在條件(5.12)下的特征值與特征函數(shù).7用x,y來表示自變量和函數(shù)值,則n階貝塞爾方程為其中n為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù).在本書中n只限于實(shí)數(shù),且由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)n2項(xiàng),所以不妨假定n0.設(shè)方程有一個(gè)級(jí)數(shù)解,其形式為91011 1o

a0(c2-n2)=0;

2o

a1[(c+1)2-n2]=0;

3o[(c+k)2-n2]ak+ak-2=0(k=2,3,…)

由1o得c=n,代入2o得a1=0.現(xiàn)暫取c=n,代入3o得4o因?yàn)閍1=0,由4o知a1=a3=a5=a7=…=0,而a2,a4,a6,…都可以用a0表示,即134o因?yàn)閍1=0,由4o知a1=a3=a5=a7=…=0,而a2,a4,a6,…都可以用a0表示,即14由此知(5.14)的一般項(xiàng)為a0是一個(gè)任意常數(shù),讓a0取一個(gè)確定的值,就得(5.13)的一個(gè)特解.把a(bǔ)0取作這樣選取a0可使一般項(xiàng)系數(shù)中2的次數(shù)與x的次數(shù)相同,并可以運(yùn)用下列恒等式:(n+m)(n+m-1)(n+2)(n+1)G(n+1)=G(n+m+1)15n階第一類貝塞爾函數(shù):至此,求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解Jn(x).當(dāng)n為正整數(shù)或零時(shí),G(n+m+1)=(n+m)!,故有17取c=-n時(shí),用同樣方法可得(5.13)的另一特解比較(5.16)式與(5.18)式可見,只要在(5.16)的右端把n換成-n,即可得到(5.18)式.因此不論n是正數(shù)還是負(fù)數(shù),總可以用(5.16)式統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù).18當(dāng)n不為整數(shù)時(shí),這兩個(gè)特解Jn(x)與J-n(x)是線性無關(guān)的,由齊次線性常微分方程的通解的結(jié)構(gòu)定理知道,(5.13)的通解為

y=AJn(x)+BJ-n(x), (5.19)

其中A,B為兩個(gè)任意常數(shù).

當(dāng)然,在n不為整數(shù)的情況,方程(5.13)的通解除了可以寫成(5.19)式以外還可寫成其他的形式,只要能夠找到該方程的另一個(gè)與Jn(x)線性有關(guān)的特解,它與Jn(x)就可構(gòu)成(5.13)的通解,這樣的特解是容易找到的.例如,在(5.19)中取A=cotnp,B=-cscnp,則得到(5.13)的一個(gè)特解19§5.3當(dāng)n為整數(shù)時(shí)貝塞爾方程的通解2122這時(shí)JN(x)與J-N(x)已不能構(gòu)成貝塞爾方程的通解了.為了求出貝塞爾函數(shù)的通解,還要求出一個(gè)與JN(x)線性無關(guān)的特解.定義第二類貝塞爾函數(shù)為23根據(jù)這個(gè)函數(shù)的定義,它確是貝塞爾方程的一個(gè)特解,而且與Jn(x)是線性無關(guān)的(因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),Jn(x)為有限值,而Yn(x)為無窮大).

綜上所述,不論n是否為整數(shù),貝塞爾方程(5.13)的通解都可表示為

y=AJn(x)+BYn(x).

其中A,B為任意常數(shù),n為任意實(shí)數(shù).25§5.4貝塞爾函數(shù)的遞推公式26即29以上結(jié)果可以推廣,現(xiàn)將Jn(x)乘以xn求導(dǎo)數(shù),得即同理可得30將(5.26)和(5.27)兩式左端的導(dǎo)數(shù)求出來,并經(jīng)過化簡(jiǎn),則分別得將這兩式相減及相加,分別得到用(5.28)式可以用較低階的貝塞爾函數(shù)把較高階的貝塞爾函數(shù)表示出來,如果我們已有零階和一階貝塞爾函數(shù),就可以做到.31第二類貝塞爾函數(shù)也具有與第一類貝塞爾函數(shù)相同的遞推公式325.5函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)335.5.1貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)

1o

Jn(x)有無窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn),且這無窮多個(gè)零點(diǎn)在x軸上關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱分布著的,因而Jn(x)必有無窮多個(gè)零點(diǎn);

2o

Jn(x)的零點(diǎn)與Jn+1(x)的零點(diǎn)是彼此相間分布的,即Jn(x)的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)Jn-1(x)的零點(diǎn);345.5.2貝塞爾函數(shù)的正交性35通常把定積分36利用§2.6中關(guān)于特征函數(shù)系的完備性可知,任意在[0,R]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(r),只要它在r=0處有界,在r=R處等于零,則它必能展開成如下形式的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)37即38§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例39例1設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤,邊界上溫度為零攝氏度,初始時(shí)刻圓盤內(nèi)溫度分布為1-r2,其中r是圓盤內(nèi)任一點(diǎn)的極半徑,求圓內(nèi)溫度分布規(guī)律.

解采用極坐標(biāo)系,定解條件與q無關(guān),溫度只能是r,t的函數(shù),可歸結(jié)為求解下列定解問題40由物理意義,還有條件|u|<,且當(dāng)t+時(shí),u0.

令 u(r,t)=F(r)T(t),

代入方程(5.44)得或由此得41方程(5.48)的解為因?yàn)閠+時(shí),u0,所以l>0,令l=b2則此時(shí)方程(5.47)的通解為因u(r,t)有界,C2=0,再由(5.45)得J0(b)=0,即b是J0(x)的零點(diǎn).以mn(0)表示J0(x)的正零點(diǎn),則42

b=mn(0) (n=1,2,3,),

綜合以上結(jié)果可得Fn(r)=J0(mn(0)