湘教版數(shù)學九年級上冊初中知識點及典型例題

初中數(shù)學試卷金戈鐵騎整理制作浙教版初中數(shù)學九年級上知識點及典型例題：反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，形如y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù).注意：（1）常數(shù)k稱為比例系數(shù)，k是非零常數(shù)；（2）解析式有三種常見的表達形式：（A）y=（k≠0）（B）xy=k（k≠0）（C）y=kx-1（k≠0）同步訓練：1、已知函數(shù)y＝（m＋1）x是反比例函數(shù)，則m的值為.2、已知變量y與x-5成反比例，且當x=2時y=9,寫出y與x之間的函數(shù)解析式.2、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)反比例函數(shù)(k≠0)的圖象是由兩個分支組成的曲線。當時，圖象在一、三象限：當時，圖象在二、四象限。反比例函數(shù)(k≠0)的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱。3、反比例函數(shù)解析式的確定確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。4、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義過反比例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。。同步訓練：1．反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)Y=3X的圖象，交于點A（1，m），則m＝________，反比例函數(shù)的解析式為__________，這兩個圖象的另一個交點坐標是_________.2．已知（），（），（）是反比例函數(shù)的圖象上的三個點，并且，則的大小關系是（）（A）（B）（C）（D）5、比較正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖像直線雙曲線位置k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限k＞0，一、三象限k＜0，二、四象限增減性k＞0，y隨x的增大而增大k＜0，y隨x的增大而減小k＞0，在每個象限y隨x的增大而減小k＜0，在每個象限y隨x的增大而增大同步訓練：1、已知關于x的函數(shù)和（k≠0），它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是（）2、已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點.（1）分別求這兩個函數(shù)的解析式.（2）試判斷點關于x軸的對稱點是否在一次函數(shù)的圖象上.第二章：二次函數(shù)1、二次函數(shù)定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2、二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。3、二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4、二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7、頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.9、拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.12.、直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故同步訓練：1、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2，-3）（1）求這個函數(shù)解析式。（2）求圖像與坐標軸的交點坐標和頂點坐標，并畫出函數(shù)大致的圖像。（3）當x≥2時，求y的取值范圍。2、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、四象限，則函數(shù)的圖像必不經(jīng)過第象限。3、拋物線與直線在同一平面直角坐標系中的圖像大致是（）：圓的基本性質(zhì)（一）圓的定義在同一平面內(nèi)，一條線段OP繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點P所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓．定點O就是圓心，線段OP就是圓的半徑．以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．（二）圓的有關概念弦直徑圓弧半圓劣弧優(yōu)弧等圓同心圓（1）連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖BC．經(jīng)過圓心的弦是直徑，圖中的AB。直徑等于半徑的2倍．（2）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。∮梅枴啊小北硎荆∮诎雸A的弧叫做劣弧，如圖中以B、C為端點的劣弧記做“”；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧要用三個字母表示，如圖中的．(3)半徑相等的兩個圓能夠完全重合，我們把半徑相等的兩個圓叫做等圓．例如，圖中的⊙O1和⊙O2是等圓．圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓。說明：圓上各點到圓心的距離都相等，并且等于半徑的長；反討來，到圓心的距離等于半徑長的點必定在圓上．即可以把圓看作是到定點的距離等于定長的點的集合。例在A地往北80m的B處有一幢房，西100m的C處有一變電設施，在BC的中點D處有古建筑．因施工需要在A處進行一次爆破，為使房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內(nèi)?（三）三點確定一個圓？1：經(jīng)過一個已知點A能作多少個圓?結(jié)論：經(jīng)過一個已知點A能作無數(shù)個圓!2：經(jīng)過兩個已知點A,B能作多少個圓？結(jié)論：經(jīng)過兩個已知點A,B能作無數(shù)個圓!討論1：把這些圓的圓心用光滑線連接是什么圖形？討論2：這條直線的位置能確定嗎？怎樣畫這條直線？3：經(jīng)過三個已知點A、B、C能作多少個圓？討論1：怎樣找到這個圓的圓心？討論2：這個圓的圓心到點A、B、C的距離相等嗎？為什么？即OA=OB=OC結(jié)論：不在同一直線上的三個點確定一個圓（四）平面上點與圓的位置關系一般地，如果P是圓所在平面內(nèi)的一點，d表示P到圓心的距離，r表示圓的半徑，那么就有：d<rP在圓內(nèi)d=rP在圓上d>rP在圓外．（五）圓的有關概念定義：經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.舉例、1：⊙O是△ABC的外接圓,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點O是△ABC的外心即外接圓的圓心。2：三角形的外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點.2：練一練a：下列命題不正確的是()A.過一點有無數(shù)個圓.B.過兩點有無數(shù)個圓.C.弦是圓的一部分.D.過同一直線上三點不能畫圓.b：三角形的外心具有的性質(zhì)是()A.到三邊的距離相等.B.到三個頂點的距離相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形內(nèi).知識小結(jié)1：不在同一直線上的三點確定一個圓?！阒朗窃鯓拥娜c嗎？2：畫已知圓或圓弧的圓心是在圓或圓弧上先取三點,連成兩條線段,再做兩線段的垂直平分線,則其交點即為所求的圓心?！銜嬃藛?？3：三角形的外接圓，圓的內(nèi)接三角形、外心的概念——你會辨別嗎？（六）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的?。普?

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；(3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧.例一條排水管的截面如圖所示．排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC．1．已知⊙0的半徑為13，一條弦的AB的弦心距為5，則這條弦的弦長等于．2．如圖，AB是⊙0的中直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC3．過⊙O內(nèi)一點M的最長弦長為10cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（）A．3B．6cmC．cmD．9cm4．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB長為8，M是弦AB上的動點，則OM的長的取值范圍是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3<OM<5D．4<OM<55．已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，求AB和CD的距離注：要分兩種情況討論：（1）弦AB、CD在圓心O的兩側(cè)；（2）弦AB、CD在圓心O的同側(cè)．（七）、圓心角定理1、圓心角定理1、頂點在圓心的角,叫圓心角2、圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角α，都能夠與原來的圓重合。3、圓心到弦的距離，叫弦心距2、圓心角定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。已知：如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF為AB、CD的弦心距，根據(jù)本節(jié)定理及推論填空：如果∠AOB=∠COD，那么_________,________,_________。3、圓心角定理的逆命題1:在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。逆命題2:在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，弦的弦心距相等。O逆命題3:在同圓或等圓中，相等的弦心距對應弦相等,弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。O一般地，圓有下面的性質(zhì)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量都相等。例：如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O,連結(jié)OA,OB,OC．⑴∠AOB、∠COB、∠AOC分別為多少度？⑵延長AO，分別交BC于點P，弧BC于點D,連結(jié)BD,CD.判斷三角形ＯＢＤ是哪一種特殊三角形？⑶判斷四邊形BDCO是哪一種特殊四邊形，并說明理由。⑷若⊙O的半徑為r,求等邊ABC三角形的邊長？⑸若等邊三角形ABC的邊長r,求⊙O的半徑為多少？當r=時求圓的半徑?（八）、圓周角定理1、圓周角定義:頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.特征：①角的頂點在圓上.②角的兩邊都與圓相交.2、圓心角與所對的弧的關系3、圓周角與所對的弧的關系4、同弧所對的圓心角與圓周角的關系2、圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1:圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。例、如圖；四邊形ABCD的四個頂點在⊙O上。求證；∠B+∠D=180°說明圓的內(nèi)接四邊形的對角互補測驗1.100o的弧所對的圓心角等于_______，所對的圓周角等于_______。2、一弦分圓周角成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，則這弦所對的圓周角度數(shù)為________________。3、如圖，在⊙O中，∠BAC=32o，則∠BOC=________。4、如圖，⊙O中，∠ACB=130o，則∠AOB=______。5、下列命題中是真命題的是（）（A）頂點在圓周上的角叫做圓周角。（B）60o的圓周角所對的弧的度數(shù)是30o（C）一弧所對的圓周角等于它所對的圓心角。（D）120o的弧所對的圓周角是60o（九）弧長及扇形的面積一、復習1．圓的周長如何汁算?2，圓的面積如何計算?3．圓的圓心角是多少度?若圓的半徑為r，則周長l＝2πr，面積S＝πr2，圓的圓心角是360°．二、弧長的計算公式360°的圓心角對應圓周長2πR，那么1°的圓心角對應的弧長為，n°的圓心角對應的弧長應為1°的圓心角對應的弧長的n倍，即n×.在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為：L=.例、制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即弧AB的長(結(jié)果精確到0．1mm)．(十）圓錐的側(cè)面積和全面積1、圓錐有哪些特征？答：圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的，圓錐的底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面，從圓錐的頂點到底面圓的距離是圓錐的高。2、扇形的半徑其實是圓錐的什么線段？［扇形的弧長是底面圓的周長，即，扇形的半徑。就是圓錐的母線］由于，圓錐底面半徑已知則展開圖扇形的弧長已知，圓錐母線已知則展開圖扇形的半徑已知，因此展開圖扇形的面積可求，而這個扇形的面積實質(zhì)就是圓錐的側(cè)面積，因此圓錐的側(cè)面積也就可求．當然展開圖扇形的圓心角也可求．練習1.如果圓柱底面半徑為4cm，它的側(cè)面積為，那么圓柱的母線長為_________.2.圓錐的底面半徑為2cm，高為cm，則這個圓錐表面積_____________3一個扇形，半徑為30cm，圓心角為120度，用它做成一個圓錐的側(cè)面，那么這個圓錐的底面半徑為_________________圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，這個圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角是__________如圖已知圓錐的軸截面三角形ABC上等邊三角形，它的表面積為75派CM2，求圓錐的底面半徑和母線的長第四章：相似三角形1.比例線段的有關概念：

1.如果兩個數(shù)的比值與另兩個數(shù)的比值相等，那么這四個數(shù)成比例。a、b、c、d四個實數(shù)成比例，可表示成a:b＝c:d或EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，其中b、c叫做內(nèi)項，a、d叫做外項。3.基本性質(zhì)：EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)<=>ad＝bc(a、b、c、d都不為零)重要方法：1.判斷四個數(shù)a、b、c、d是否成比例，方法1:計算a:b和c:d的值是否相等；方法2:計算ad和bc的值是否相等，(利用ad＝bc推出EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d))2.“EQ\F(a,c)=EQ\F(b,d)<=>EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)”的比例式之間的變換是抓住實質(zhì)ad＝bc。3.記住一些常用的結(jié)論：EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)=>EQ\F(a＋b,b)=EQ\F(c＋d,d)，EQ\F(a,b)=EQ\F(a＋c,b＋d)。4.兩條線段的長度的比叫做兩條線段的比。5.四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即EQ\F(a,b)=EQ\F(c,d)，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。6.黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB?BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。相似三角形的判定：

①兩角對應相等，兩個三角形相似

②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似

③三邊對應成比例，兩三角形相似

④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角形相似

⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似

⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

3.相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對應角相等

②相似三角形的對應邊成比例

③相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比

④相似三角形周長的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

5、相似多邊形1、對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比..2、相似多邊形的周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方.6．位似圖形的概念如果兩個圖形不僅形狀相同，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心.各對應點所在的直線都經(jīng)過同一點的相似圖形是位似圖形。其相似比又叫做它們的位似比.顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形。位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.同步訓練：

1.（1）在比例尺是1：8000000的《中國行政區(qū)》地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實際距離是__________千米。

（2）小芳的身高是1.6m，在某一時刻，她的影子長2m，此刻測得某建筑物的影長是18米，則此建筑物的高是_________米。2.已知三角形三條邊之比為a：b：c=2：3：4，三角形的周長為18cm，求各邊的長。3、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似?！鶎W習小結(jié)學習評價※自我評價你完成本節(jié)學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：課后作業(yè)一．選擇題1.若，則的值等于（）A、B、C、D、52.已知點P（-2，3）在反比例函數(shù)y=上，則k的值等于（）A、6B、-6C、5D、13.拋物線y=2(x﹣1)2﹣3的對稱軸是直線（）A、x=2 B、x=1C、x=﹣1D、x=﹣34．下面給出了相似的一些命題：（）（1）菱形都相似（2）等腰直角三角形都相似（3）正方形都相似（4）矩形都相似（5）正六邊形都相似其中正確的有A.2個B.3個C.4個D.5個5、在行程問題中，路程s（千米）一定時，速度v（千米/時）關于時間t（小時）的函數(shù)關系的大致圖像是（）6．下列四條線段不成比例的是（）A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=,b=8,c=5,d=15C.a=,b=2,c=3,d=D.a=1,b=,c=,d=7、按如下方法，將△ABC的三邊縮