七上實(shí)數(shù)經(jīng)典例題及習(xí)題

耐思教育第六章實(shí)數(shù)PAGEPAGE2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)的概念及分類（3分）1、實(shí)數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。正整數(shù)又叫自然數(shù)。正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；（4）某些三角函數(shù)，如sin60o等考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值（3分）1、相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對(duì)值一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對(duì)值時(shí)它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)?？键c(diǎn)三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）1、平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“”。2、算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。6、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對(duì)于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級(jí)，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二能為運(yùn)算，乘方為三級(jí)運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級(jí)的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運(yùn)算中如有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行。7、有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？?jī)捎欣頂?shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，商都是零。8、什么叫有理數(shù)的乘方？?jī)纾康讛?shù)？指數(shù)？相同因數(shù)相乘積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫底數(shù)。記作:an9、有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。10、加括號(hào)和去括號(hào)時(shí)各項(xiàng)的符號(hào)的變化規(guī)律是什么？去（加）括號(hào)時(shí)如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)的式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同；括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號(hào)后式子各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反。經(jīng)典例題

類型一．有關(guān)概念的識(shí)別

1．下面幾個(gè)數(shù)：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A、1B、2C、3D、4

解析：本題主要考察對(duì)無理數(shù)概念的理解和應(yīng)用，其中，1.010010001…，3π，是無理數(shù)

故選C

舉一反三：

【變式1】下列說法中正確的是（）

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反數(shù)

【答案】本題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正確．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正確．

【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊做一個(gè)正方形，以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A、1B、1.4C、D、

【答案】本題考察了數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．∵正方形的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線為，由圓的定義知|AO|=，∴A表示數(shù)為，故選C．

【變式3】

【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

類型二．計(jì)算類型題

2．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.

C.D.

解析：（估算）因?yàn)椋赃xB

舉一反三：

【變式1】1）1.25的算術(shù)平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3.3），，

【變式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

類型三．?dāng)?shù)形結(jié)合

3.點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點(diǎn)的距離為______

解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點(diǎn)，

舉一反三：

【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】選C

[變式2]已知實(shí)數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示：

化簡(jiǎn)

【答案】：

類型四．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的應(yīng)用

4．化簡(jiǎn)下列各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

(5)|x2+6x+10|

分析：要正確去掉絕對(duì)值符號(hào)，就要弄清絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對(duì)值的定義正確去掉絕對(duì)值。

解：(1)∵=1.414…＜1.4

∴|-1.4|=1.4-

(2)∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3)∵＜,∴|-|=-

(4)∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3|=

說明：這里對(duì)|2x-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對(duì)這個(gè)絕對(duì)值的基本概念要有清楚的認(rèn)識(shí)，并能靈活運(yùn)用。

(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

舉一反三：

【變式1】化簡(jiǎn)：

【答案】=+-=

類型五．實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用

5．已知：=0，求實(shí)數(shù)a,b的值。

分析：已知等式左邊分母不能為0，只能有＞0，則要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非負(fù)數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組從而求出a,b的值。

解：由題意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合題意舍去。

∴只取a=7

把a(bǔ)=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21為所求。

舉一反三：

【變式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則必有每個(gè)加數(shù)都為0。

∴解這個(gè)方程組得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【變式2】已知那么a+b-c的值為___________

【答案】初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

類型六．實(shí)數(shù)應(yīng)用題

6．有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，問邊長(zhǎng)應(yīng)為多少cm。

解：設(shè)新正方形邊長(zhǎng)為xcm，

根據(jù)題意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵邊長(zhǎng)為正，∴x=-15不合題意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)取15cm。

舉一反三：

【變式1】拼一拼，畫一畫：請(qǐng)你用4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形拼成一個(gè)大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個(gè)小正方形。（4個(gè)長(zhǎng)方形拼圖時(shí)不重疊）

（1）計(jì)算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？

（2）當(dāng)拼成的這個(gè)大正方形邊長(zhǎng)比中間小正方形邊長(zhǎng)多3cm時(shí)，大正方形的面積就比小正方形的面積

多24cm2，求中間小正方形的邊長(zhǎng).

解析：（1）如圖，中間小正方形的邊長(zhǎng)是：

，所以面積為=

大正方形的面積=，

一個(gè)長(zhǎng)方形的面積=。

所以，

答：中間的小正方形的面積，

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（或）

(2)大正方形的邊長(zhǎng)：，小正方形的邊長(zhǎng)：

，即，

又大正方形的面積比小正方形的面積多24cm2

所以有，

化簡(jiǎn)得：

將代入，得：

cm

答：中間小正方形的邊長(zhǎng)2.5cm。

類型七．易錯(cuò)題

7．判斷下列說法是否正確

（1）的算術(shù)平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）當(dāng)x=0或2時(shí)，（4）是分?jǐn)?shù)

解析：（1）錯(cuò)在對(duì)算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).故

（2）表示225的算術(shù)平方根，即=15.實(shí)際上，本題是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，當(dāng)x=0時(shí)，=，顯然此式無意義，

發(fā)生錯(cuò)誤的原因是忽視了“負(fù)數(shù)沒有平方根”，故x≠0，所以當(dāng)x=2時(shí)，x=0.

（4）錯(cuò)在對(duì)實(shí)數(shù)的概念理解不清.形如分?jǐn)?shù)，但不是分?jǐn)?shù)，它是無理數(shù).

類型八．引申提高

8．（1）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2-b2的值.

（2）把下列無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：①②③

（1）分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分，首先判斷這個(gè)算術(shù)平方根在哪兩個(gè)整數(shù)之間，那么較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)部分，算術(shù)平方根減去整數(shù)部分的差即為小數(shù)部分．

解：由得

的整數(shù)部分a=5,的小數(shù)部分，

∴

（2）解：(1)設(shè)x=①

則②

②-①得

9x=6

∴.

(2)設(shè)①

則②

②-①，得

99x=23

∴.

(3)設(shè)①

則②

②-①，得

999x=107，

∴.學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)：

A組（基礎(chǔ)）

一、細(xì)心選一選

1．下列各式中正確的是（）

A．B.C.D.

2.的平方根是()

A．4B.C.2D.

3.下列說法中①無限小數(shù)都是無理數(shù)②無理數(shù)都是無限小數(shù)③-2是4的平方根④帶根號(hào)的數(shù)都是

無理數(shù)。其中正確的說法有（）

A．3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

4．和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的是（）

A．整數(shù)B.有理數(shù)C.無理數(shù)D.實(shí)數(shù)

5．對(duì)于來說（）

A．有平方根B．只有算術(shù)平方根C.沒有平方根D.不能確定

6．在（兩個(gè)“1”之間依次多1個(gè)“0”）中，無理數(shù)

的個(gè)數(shù)有（）

A．3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

7．面積為11的正方形邊長(zhǎng)為x，則x的范圍是（）

A．B.C.D.

8．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A．-2與B.∣-∣與C.與D.與

9．-8的立方根與4的平方根之和是（）

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則該自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是（）

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．的相反數(shù)是________，絕對(duì)值等于的數(shù)是________，∣∣=_______。

12．的算術(shù)平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算術(shù)平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算術(shù)平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入兩個(gè)和為6的無理數(shù)，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整數(shù)有______個(gè)。

17．若∣2a-5∣與互為相反數(shù)，則a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，則a-b=______。

19．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A，點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)則A、B兩點(diǎn)間的距離為______。

20．一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a+2和a-4，則a=_____，x=_____。

三、認(rèn)真解一解

21．計(jì)算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×

⑹4×[9+2×（）]（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）

22．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用“”號(hào)連接：

參考答案：

一:1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹37.9

22、

B組（提高）

一、選擇題：

1．的算術(shù)平方根是（）

A．0.14B．0.014C．D．

2．的平方根是（）

A．－6B．36C．±6D．±

3．下列計(jì)算或判斷：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

4．在下列各式中，正確的是（）

A．;B．;C．;D．

5．下列說法正確的是（）

A．有理數(shù)只是有限小數(shù)B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．無限小數(shù)是無理數(shù)D．是分?jǐn)?shù)

6．下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．B．C．2的平方根是D．

7．若，且，則的值為（）

A．B．C．D．

8．下列結(jié)論中正確的是（）

A．?dāng)?shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的有理數(shù);B．?dāng)?shù)軸上任一點(diǎn)都表示唯一的無理數(shù);

C.兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù);D.數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間還有無數(shù)個(gè)點(diǎn)

9．-27的立方根與的平方根之和是（）

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A．