名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)10.1.1 復(fù)數(shù)的概念

本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容包括數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)相等等，其核心內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)相等，理解它關(guān)鍵是通過理解有些方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過實(shí)數(shù)系里的相關(guān)知識(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念就是在其基礎(chǔ)上的發(fā)展。復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)形式展開的。虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相等的充要條件，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理解，都應(yīng)促進(jìn)對(duì)復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)實(shí)際上是一有序?qū)崝?shù)對(duì)。教學(xué)重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。在問題的情景中讓學(xué)生了解把實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算法則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件?？键c(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、實(shí)部、虛部等基本概念數(shù)學(xué)抽象復(fù)數(shù)的分類了解復(fù)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)三類，并對(duì)應(yīng)對(duì)實(shí)部、虛部的要求.分類討論復(fù)數(shù)相等掌握復(fù)數(shù)相等的概念數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】理解數(shù)系的擴(kuò)充的必要性，明白復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念。掌握復(fù)數(shù)的幾種類型?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及相關(guān)概念的辨析引入：為什么要對(duì)實(shí)數(shù)系進(jìn)行擴(kuò)充？師生活動(dòng)：1、N、Z、Q、R分別代表什么？它們是如何發(fā)展得來的？自然數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實(shí)數(shù)。例如：方程x2-2=0在有理數(shù)集中沒有解，所以我們引入了無理數(shù)。則它在無理數(shù)集中就有解了。2.數(shù)學(xué)故事——關(guān)于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為,世間任何數(shù)都可以用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示,并將此作為他們的一條信條.有一天,這個(gè)學(xué)派中的一個(gè)成員希伯斯突然發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線是個(gè)奇怪的數(shù),于是努力研究,終于證明出它不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示.但這打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條,于是畢達(dá)哥拉斯命令他不許外傳.但希伯斯卻將這一秘密透露了出去.畢達(dá)哥拉斯大怒,要將他處死.希伯斯連忙外逃,然而還是被抓住了,被扔入了大海,為科學(xué)的發(fā)展獻(xiàn)出了寶貴的生命.希伯斯發(fā)現(xiàn)的這類數(shù),被稱為無理數(shù).無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī),為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn).3、判斷下列方程在實(shí)數(shù)集中的解的個(gè)數(shù)？（1）（2）（3）設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧根的個(gè)數(shù)與的關(guān)系.由（3）引入新課。問題1：怎樣才能使方程有解呢？一般地，為了使方程有解，人們規(guī)定的平方等于-1，即，并稱為虛數(shù)單位.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生仿照上邊的例如，想到我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決問題2：引入一個(gè)新數(shù)i后，你能得到方程的解嗎？方程至少就有一個(gè)解x=i.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生掌握什么是方程的解。師生活動(dòng)：1、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，那么新數(shù)i與實(shí)數(shù)能進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白復(fù)數(shù)也可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算。2、把實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加可以記作什么呢？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生會(huì)表示實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)b和i相乘的結(jié)果相加。問題3：什么叫做復(fù)數(shù)？一般地，當(dāng)都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)一般用小寫字母表示，即這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。其中i叫做虛數(shù)單位，a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部，分別記作：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念。例1.下列數(shù)是否是復(fù)數(shù)，試找出它們各自的實(shí)部和虛部。解：均為復(fù)數(shù)，其中：實(shí)部為2，虛部為3；實(shí)部為8，虛部為-4；實(shí)部為8，虛部為3；實(shí)部為-2，虛部為-9；實(shí)部為0，虛部為7.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念加以熟悉問題4：什么叫做復(fù)數(shù)集？我們把全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集。記作.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生清楚復(fù)數(shù)集。問題5：根據(jù)實(shí)數(shù)a和b的取值不同，我們可以將復(fù)數(shù)分成哪幾類？當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，Z=a+bi表示實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，Z=a+bi叫做虛數(shù)；特別的，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，Z=a+bi叫做純虛數(shù)。即：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的分類。例2.實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)分類的掌握問題6：什么叫做兩個(gè)復(fù)數(shù)相等？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等。即：（a,b,c,d∈R）特別的，a+bi=0a注意：兩個(gè)復(fù)數(shù)只有是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小，若不是就不能比較大小。設(shè)計(jì)意圖：掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件。例3.（1）已知；解：由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件得：（2）已知，解：根據(jù)復(fù)數(shù)等于0的條件得：鞏固提升：例4.若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2m2－3m－3＝0，,log2m－2≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－3＝1，,m－2＞0，,m－2≠1，))解得m＝4.例5.已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m解：設(shè)x＝a為方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．則有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i∵a，m∈R，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,12)，,a＝－\f(1,2).))故實(shí)數(shù)m的值為eq\f(1,12).例6．已知z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋ieq\r(3)sinθ，若z1＝z2，試求θ的值．解∵z1＝z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝sin2θ，,cosθ＝\r(3)sinθ.))∴eq\b\lc\{