均值不等式?？碱}型

式及其應(yīng)用一．均值不等式22xxxxxbabababa2注：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三相等”應(yīng)用一：求最值1 1 x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋x=－(－x－x)≤－2x·x∴值域?yàn)?－∞，－2]∪[2，+∞)技巧一：湊項(xiàng)4x-51當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，y=1。xmax評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)22(2)2當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=3=|(0,3)|時(shí)等號(hào)成立。4(2)解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x＋1)的項(xiàng)，再將其分離。44技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。,,t評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A(yù)值。即化為y=mg(x)++B(A>0,B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。Ag(x)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)=x+a的單調(diào)性。x例：求函數(shù)y=的值域。x2+4x2+4tttt22y2y3條件求最值44xy44xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。。xyxyxy19條件是=即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出xy等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。，：xyxyminxyxy22a2＋b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤2。122同時(shí)還應(yīng)化簡1＋y中y2前面的系數(shù)為2，x1＋y＝x222＝2x·222(3x)2＋(2y)22＋≤2＝＝2(3x)2＋(2y)22＋≤2＝＝251y2x2＋(2＋2)2x2＋2＋23x·2＋2≤2＝2＝4即x1＋y2＝2·x2＋2≤421技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式11y2abababR知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.2技巧九、取平方22解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏?！郬≤20＝25222評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又aaaaaaaabbcc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題xyxy