高一數(shù)學必修二課件第八章 第五節(jié)曲線與方程

第五節(jié)曲線與方程1.曲線與方程一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系:(1)曲線上點的坐標都是_____________.(2)以這個方程的解為坐標的點都是___________.那么，這個方程叫做___________，這條曲線叫做___________.這個方程的解曲線上的點曲線的方程方程的曲線2.求動點的軌跡方程的基本步驟判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.()(2)方程x2+xy=x的曲線是一個點和一條直線.()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2=y2.()(4)方程y=與x=y2表示同一曲線.()【解析】(1)正確.由f(x0,y0)=0可知點P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時，有f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.(2)錯誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.(3)錯誤.當以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時，是x2=y2,否則不正確.(4)錯誤.因為方程y=表示的曲線，只是方程x=y2表示曲線的一部分，故其不正確.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

1.方程y=表示的曲線是()(A)拋物線的一部分(B)雙曲線的一部分(C)圓(D)半圓【解析】選D.因為y=,∴y≥0,∴x2+y2=9(y≥0)表示一個半圓.2.已知定點P(x0,y0)不在直線l:f(x,y)=0上，則方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一條()(A)過點P且垂直于l的直線(B)過點P且平行于l的直線(C)不過點P但垂直于l的直線(D)不過點P但平行于l的直線【解析】選B.顯然定點P(x0,y0)滿足方程f(x,y)-f(x0,y0)=0，即直線f(x,y)-f(x0,y0)=0過點P，設直線l:f(x,y)=0的方程為Ax+By+C=0，即f(x,y)=Ax+By+C,∴f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程為:Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0,∴Ax+By-Ax0-By0=0與l平行.綜上可知：B正確.3.已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點，定點M(-1，2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|=|MQ|，則Q點的軌跡方程是()(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0【解析】選D.由題意知，M為PQ中點，設Q(x,y),則P點坐標為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.4.已知△ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|=3,則頂點A的軌跡方程為_______.【解析】設點A(x,y)，因為B(0,0)，所以AB的中點D(),又C(5,0),|CD|=3，所以化簡得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三點A，B，C不能共線，所以去掉點(4,0)和(16,0).答案：(x-10)2+y2=36(除去點(4,0)和(16,0))考向1利用直接法求軌跡方程【典例1】(1)(2012·江西高考改編)已知三點O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，若曲線C上任意一點M(x,y)滿足則曲線C的方程為_____.(2)已知直角坐標平面上的點Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ＞0)，求動點M的軌跡方程.【思路點撥】(1)直接依據(jù)

利用向量有關運算化簡得x,y的方程.(2)可設出動點M的坐標，依據(jù)動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ＞0)即可得出方程.【規(guī)范解答】(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x，y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化簡得曲線C的方程為x2=4y.答案：x2=4y(2)設直線MN切圓C于N點，則動點M的集合為：P={M||MN|=λ|MQ|}，因為圓C的半徑|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，設點M的坐標為M(x,y)，則化簡整理得：(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).【互動探究】本例題(2)中的條件不變，求動點M的軌跡.【解析】由例題解析可知：曲線的方程為(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ>0)，因為λ＞0,所以當λ=1時，方程化為4x-5=0,它表示一條直線;當λ≠1時，方程化為：它表示圓心為(,0),半徑為的圓.【拓展提升】1.直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立恰當?shù)淖鴺讼担O動點坐標(x,y).(2)列出幾何等量關系式.(3)用坐標條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)=0.(4)變方程為最簡方程.(5)檢驗，就是要檢驗點軌跡的純粹性與完備性.2.直接法適合求解的軌跡類型(1)若待求軌跡上的動點滿足的幾何條件可轉(zhuǎn)化為動點與一些幾何量滿足的等量關系，而該等量關系又易于表達成含x,y的等式時，一般用直接法求軌跡方程.(2)題目給出了等量關系，直接代入即可得方程.【變式備選】已知點M，N為兩個定點，|MN|=6,且動點P滿足

=6，求點P的軌跡方程.【解析】以點M，N所在的直線為x軸，MN的中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則M(-3,0)，N(3,0),設P(x,y)，則

=(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)·(3-x,-y)，又因為

=6,所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，化簡整理得：x2+y2=15.考向2利用定義法求軌跡方程【典例2】(1)(2013·北京模擬)△ABC的頂點A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點C的軌跡方程是_______.(2)(2013·吉首模擬)已知A(-，0)，B是圓F：(x-)2+y2=4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動點P的軌跡方程.【思路點撥】(1)根據(jù)題設條件，尋找動點C與兩定點A，B距離的差滿足的等量關系|CA|-|CB|=6,由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分，再求其方程.(2)根據(jù)題設條件，尋找動點P與兩點A，F(xiàn)距離的和滿足的等量關系|PA|+|PF|=2，用定義法求方程.【規(guī)范解答】(1)如圖，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為=1(x>3).答案：

=1(x>3)(2)如圖，連接PA，依題意可知|PA|=|PB|.∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2>1.∴P點軌跡為以A(-，0)，F(xiàn)(，0)為焦點，長半軸長為1的橢圓.其方程可設為又∵c=,a=1,∴b2=a2-c2=故P點的軌跡方程為x2+y2=1.【拓展提升】定義法適合所求軌跡的特點及求解關鍵(1)特點：求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程.(2)關鍵：理解解析幾何中有關曲線的定義是解題關鍵.【提醒】利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制.【變式訓練】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線.【解析】如圖所示，設動圓圓心M的坐標為(x,y)，半徑為R，設已知圓的圓心分別為O1,O2,將圓的方程分別配方得：(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100，當動圓與圓O1相外切時，有|O1M|=R+2.①當動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|=10-R.②將①②兩式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,∴動圓圓心M(x,y)到點O1(-3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12,所以點M的軌跡是焦點為O1(-3,0),O2(3,0),長軸長等于12的橢圓.∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,∴圓心M的軌跡方程為=1,軌跡為橢圓.考向3利用相關點(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程【典例3】(1)(2012·遼寧高考改編)如圖，橢圓C0:=1(a>b>0,a,b為常數(shù))，動圓C1:x2+y2=t,b<t1<a.點A1,A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A，B，C，D四點，則直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程為_______.(2)(2012·湖北高考改編)設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標.【思路點撥】(1)由A，B點的對稱性，可設出它們的坐標，根據(jù)直線方程的點斜式寫出直線AA1，A2B的方程，由條件得到交點坐標滿足的關系，消去所設參數(shù)得軌跡方程.(2)解答本題的關鍵是把點M的坐標設出，利用代入法求軌跡.【規(guī)范解答】(1)設A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則直線A1A的方程為y=(x+a),①直線A2B的方程為y=(x-a).②由①×②得y2=(x2-a2).③由點A(x1,y1)在橢圓C0上，故從而代入③得=1(x<-a,y<0).答案：

=1(x<-a,y<0)(2)設M(x,y)，A(x0,y0),則由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=①因為A點在單位圓上運動，所以x+y=1.②將①式代入②式即得所求曲線C的方程為x2+=1(m>0,且m≠1).因為m∈(0,1)∪(1,+∞),所以當0<m<1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(-,0),(,0).當m>1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(0，-)，(0，

).【拓展提升】1.相關點法(代入法)適用的軌跡類型及使用過程動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x′,y′)的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x′，y′表示成x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點P的軌跡方程.【提醒】用代入法求軌跡方程是將x′，y′表示成x，y的式子，同時注意x′，y′的限制條件.2.參數(shù)法適用的軌跡類型及使用過程有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動常常受到另一個或兩個變量(斜率、比值、截距或坐標等)的制約，即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另外變量的變化而變化，我們可稱這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，如果需要得到軌跡的方程，只要根據(jù)參數(shù)滿足的約束條件消去參數(shù)即可.【變式訓練】已知拋物線y2=4px(p>0),O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程.【解析】設M(x,y)，①當直線AB斜率存在時，設直線AB方程為y=kx+b,由OM⊥AB得k=由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以x1x2=消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2=由OA⊥OB，得y1y2=-x1x2,所以b=-4kp,故y=kx+b=k(x-4p),把k=-代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)(*).②當直線AB斜率不存在時，M點坐標為(4p,0)，適合(*)式.所以M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x≠0).【滿分指導】解答求軌跡方程的綜合題【典例】(12分)(2012·湖南高考)在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：(x-5)2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.(1)求曲線C1的方程.(2)設P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=-4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.【思路點撥】已知條件條件分析點M與圓C2上點的距離的最小值得最小值為|MC2|-3M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值設M的坐標為(x,y),得到|x+2|=-3或點M到C2的距離等于它到直線x=-5的距離點P在直線x=-4上運動可設P的坐標為(-4，y0)過P作圓C2的兩條切線分別與曲線C1相交于A，B和C，D設出切線方程，與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到A，B，C，D四點縱坐標之積為定值

【規(guī)范解答】(1)方法一：設M的坐標為(x,y)，由已知得|x+2|=…………………2分易知圓C2上的點位于直線x=-2的右側(cè)，于是x+2>0，所以

①.……3分化簡得曲線C1的方程為y2=20x.…………4分方法二:由題設知,曲線C1上任意一點M到圓心C2(5,0)的距離②等于它到直線x=-5的距離

.………………2分因此,曲線C1是以(5,0)為焦點,直線x=-5為準線的拋物線.………………3分故其方程為y2=20x.………4分(2)當點P在直線x=-4上運動時,P的坐標為(-4,y0),又y0≠±3,則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交點,設切線方程為y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0.…………………6分于是整理得72k2+18y0k+y-9=0③.(a)…………7分設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1,k2，則k1,k2是方程(a)的兩個實根，故k1+k2=(b)……………8分k1y2-20y+20(y0+4k1)=0④.(c)……………9分設四點A,B,C,D的縱坐標分別為y1,y2,y3,y4,則y1,y2是方程(c)的兩個實根,所以y1y2=(d)同理可得

(e)…………10分于是由(b),(d),(e)三式得y1y2y3y4=所以,當P在直線x=-4上運動時,四點A,B,C,D的縱坐標之積為定值6400.………………12分【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)1.(2013·長沙模擬)方程(x-y)(lg

x+lgy)=0表示的曲線是()(A)一條直線和一條雙曲線(B)兩條雙曲線(C)兩個點(D)以上答案都不對【解析】選D.(x-y)(lg

x+lgy)=0?x-y=0或lg(xy)=0(x>0,y>0),∴y=x或y=(x>0,y>0),故方程表示直線y=x和雙曲線y=中x>0的部分，所以選D.2.(2013·懷化模擬)已知點F(，0)，直線l:x=-,點B是l上的動點，若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()(A)雙曲線(B)橢圓(C)圓(D)拋物線【解析】選D.由已知：|MF|=|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，故選D.3.(2013·衡陽模擬)已知點A(1，0)和圓C：x2+y2=4上一點R，動點P滿足，則點P的軌跡方程為()(A)(x-)2+y2=1(B)(x+)2+y2=1(C)x2+(y-)2=1(D)x2+(y+)2=1【解析】選A.設P(x,y),R(x0,y0)，則有=(1-x0,-y0),=(x-1,y),又又R(x0,y0)在圓x2+y2=4上，∴(-2x+3)2+(-2y)2=4,即(x-)2+y2=1.4.(2012·四川高考改編)如圖，動點M與兩定點A(-1,0)，B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C，則軌跡C的方程為_______.【解析】設M的坐標為(x,y),顯然有x>0，且y≠0.當∠MBA=90°時，點M的坐標為(2，±3).當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，有化簡可得3x2-y2-3=0.而點(2，±3)在曲線3x2-y2-3=0上，綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1).答案：3x2-y2-3=0(x>1)1.已知P是橢圓=1上的任意一點，F(xiàn)1,F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_______.【解析】設P點關于原點的對稱點為M，由又設Q(x,y)，則