遼寧省丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題及參考答案

丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試（一）數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．本試卷共22題，共150分，共5頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若且，則A．－3 B．－2 C．0 D．12．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是A． B． C． D．3．向量，，則在方向上投影的數(shù)量為A． B． C． D．4．圖1是世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國(guó)天眼”——500m口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOv內(nèi)，已知該拋物線上點(diǎn)P到底部水平線（x軸）距離為125m，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為A．225m B．275m C．300m D．350m5．A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的，都存在，使得，則“存在零點(diǎn)”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件7．設(shè)與C分別為圓柱上下底面圓周上的點(diǎn)，且位于該圓柱軸截面同側(cè)，下底面圓心O在AB上，若，，，則直線與AB所成角的余弦值為A． B． C． D．8．已知a，b滿足，，則，A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．若，則A．是圖象的對(duì)稱中心B．若和分別為圖象的對(duì)稱軸，則C．在內(nèi)使的所有實(shí)數(shù)x值之和為D．在內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)x值，使得10．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B都在單位圓O上，則A．△OAB為直角三角形 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓O上C．直線AB與虛軸垂直 D．11．如圖，楊輝三角形中的對(duì)角線之和1，1，2，3，5，8，13，21，…構(gòu)成的斐波那契數(shù)列經(jīng)常在自然中神奇地出現(xiàn)，例如向日葵花序中央的管狀花和種子從圓心向外，每一圈的數(shù)字就組成這個(gè)數(shù)列，等等．在量子力學(xué)中，粒子糾纏態(tài)、量子臨界點(diǎn)研究也離不開(kāi)這個(gè)數(shù)列．斐波那契數(shù)列的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是1，第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和，則A．B．C．D．12．在封閉的四棱錐P－ABCD內(nèi)有一個(gè)半徑為r的球，ABCD為正方形，△PAD的面積為1，，則A．PA的最小值為 B．該球球面不能與該四棱錐的每個(gè)面都相切C．若，則r的最大值為 D．若，則r的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，那么．14．除以7所得余數(shù)為．15．計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過(guò)寫入“泰勒展開(kāi)式”程序的芯片完成的．“泰勒展開(kāi)式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開(kāi)式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，精確到0.01的近似值為．（本題第一空2分，第二空3分．）16．經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A垂直于AB的直線與C交于點(diǎn)D，直線DB與y軸相交于點(diǎn)E，若，則C的離心率為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）證明；△ABC是鈍角三角形；（2）在四個(gè)條件① ② ③ ④中，哪三個(gè)條件同時(shí)成立能使△ABC存在？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（12分）網(wǎng)民對(duì)一電商平臺(tái)的某種特色農(nóng)產(chǎn)品銷售服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，每位參加購(gòu)物網(wǎng)民在“好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)”中選擇一個(gè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，在參與評(píng)價(jià)的網(wǎng)民中抽取2萬(wàn)人，從年齡分為“50歲以下”和“50歲以上（含50歲）”兩類人群進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到給予“好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)”評(píng)價(jià)人數(shù)如下表所示．網(wǎng)民年齡好評(píng)人數(shù)中評(píng)人數(shù)差評(píng)人數(shù)50歲以下90003000200050歲以上（含50歲）100020003000（1）根據(jù)這2萬(wàn)人的樣本估計(jì)總體，從參與評(píng)價(jià)網(wǎng)民中每次隨機(jī)抽取1人，如果抽取到“好評(píng)”，則終止抽取，否則繼續(xù)抽取，直到抽取到“好評(píng)”，但抽取次數(shù)最多不超過(guò)5次，求抽取了5次的概率；（2）從給予“中評(píng)”評(píng)價(jià)的網(wǎng)民中，用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，抽取的3人中年齡在50歲以下的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖，PA，PB是圓錐的母線，延長(zhǎng)底面圓O直徑AB到點(diǎn)C，使得，直線CE與圓O切于點(diǎn)D，已知，二面角P－EC－A的大小為60°．（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）若平面PAE⊥平面PAC，求三棱錐P－AEC的體積．20．（12分）為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．（1）證明：；（2）保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入數(shù)列的前k項(xiàng)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求這個(gè)新數(shù)列的前50項(xiàng)和．21．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為雙曲線C：的左右焦點(diǎn)，P為C的右支上一點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求C的方程；（2）若P異于C的右頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q在直線上，，M為AP的中點(diǎn)，直線OM與直線的交點(diǎn)為N，求的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求a的取值范圍，并證明：．按秘密級(jí)事項(xiàng)管理丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題評(píng)分參考一、選擇題1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．D二、選擇題9．AC 10．BC 11．BCD 12．AD三、填空題13．0.38 14．星期五 15．，0.84 16．四、解答題17．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜芍捎嘞叶ɡ砜傻?，所以．于是△ABC是鈍角三角形．（2）由（1）知，若①成立，則；若②成立，則．因?yàn)?，所以①與②不能同時(shí)成立．③④將同時(shí)成立，由正弦定理可得．若①③④同時(shí)成立，則，由（1）可知．從而，△ABC存在．若②③④同時(shí)成立，則，△ABC不存在．綜上，條件①③④同時(shí)成立能使△ABC存在．18．解：（1）從參與評(píng)價(jià)的網(wǎng)民中每次抽取1人，抽取到“好評(píng)”的概率為．記A表示事件：“抽取了5次”，則．（2）在給予“中評(píng)”評(píng)價(jià)的人中，年齡在50歲以下及50歲以上人數(shù)之比為3：2．因此抽取的10人中，50歲以下與50歲以上的人數(shù)分別為6人，4人．依題意X服從參數(shù)為10，3，6的超幾何分布，所以，，1，2，3．于是X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望．19．解法1：（1）連結(jié)PO，PD，OD，因?yàn)镃E與圓O的切于點(diǎn)D，所以．因?yàn)镻O⊥平面AEC，由三垂線定理可知，所以∠PDO是P－EC－A的平面角．因此．因?yàn)椋?，故．于是該圓錐的側(cè)面積．（2）過(guò)O在平面PAC內(nèi)作垂足為F．因?yàn)槠矫鍼AE⊥平面PAC，交線為PA，所以O(shè)F⊥平面PAE．可得．又，所以AE⊥平面PAC．從而．由題設(shè)及（1）得，，可知，△AEC面積為．因此三棱錐P－AEC的體積．解法2：連結(jié)PO，則PO⊥平面AEC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，y軸在平面AEC內(nèi)．因?yàn)镃E與圓O切于點(diǎn)D，所以，因?yàn)檫B結(jié)OD，因?yàn)?，，所以．因此，，．設(shè)，則．設(shè)平面PEC的法向量，則，即，可?。矫鍭EC的一個(gè)法向量，由可得．（1）可知，因?yàn)?，所以．于是該圓錐的側(cè)面積．（2）因?yàn)?，，所以．設(shè)，則，．因?yàn)椋∑矫鍼AC的一個(gè)法向量，則，又，可得．所以，故，所以．由，得△AEC面積為．于是三棱錐P－AEC的體積．20．解：（1）由得．由，可知．相減得，所以．又，故，因此．（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．兩邊同乘以2得．以上兩式相減得．設(shè)是新數(shù)列的第N項(xiàng)，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故這個(gè)新數(shù)列的前50項(xiàng)中包含的前9項(xiàng)，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）項(xiàng)和前5項(xiàng)，由（1）知，所以這個(gè)新數(shù)列的前50項(xiàng)和為．21．解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)楫?dāng)軸時(shí)，，可知．點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離分別為3和5．由雙曲線定義得，所以．因此C的方程為．（2）由題設(shè)直線PA的斜率k存在，且．由，及Q在直線上，可得．設(shè)PA：，．由，得．這個(gè)關(guān)于x的方程兩根為，1．因此，．因?yàn)椋裕O(shè)，則，所以．由，得．由，得，因?yàn)椋裕虼耍吹娜≈捣秶鸀椋?2．解：（1）定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）因?yàn)?，則是的一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)．定義域?yàn)?，，．若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．若，則，有兩個(gè)正數(shù)根．