選修4-5 第一節(jié)不等式和絕對值不等式

選修4-5不等式選講

第一節(jié)不等式和絕對值不等式1.不等式的基本性質(zhì)對稱性

a>b

b__a

傳遞性

a>b,b>c

a__c

可加性

a>b

a+c__b+c

可乘性

①a>b,c>0ac__bc②a>b,c<0

ac__bc

可乘方性

a>b>0an__bn(n∈N,n≥2)

可開方性

a>b>0__(n∈N,n≥2)<>>><>>2.基本不等式(1)定理1如果a,b∈R，那么a2+b2___2ab，當(dāng)且僅當(dāng)____時，等號成立.(2)算術(shù)平均與幾何平均如果a,b都是正數(shù)，我們就稱______為a，b的算術(shù)平均，_____為a,b的幾何平均.≥a=b(3)定理2(基本不等式)如果a,b>0，那么___當(dāng)且僅當(dāng)____時，等號成立.也可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均_____________________它們的幾何平均.(4)利用基本不等式求最值對兩個正實數(shù)x，y,①如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)____時，它們的積P取得最___值；②如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)____時，它們的和S取得最___值.

≥a=b不小于(即大于或等于)x=y大x=y小3.三個正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式(1)定理3如果a,b,c為正實數(shù),那么___當(dāng)且僅當(dāng)______時，等號成立.即：三個正數(shù)的算術(shù)平均_______它們的幾何平均.(2)基本不等式的推廣對于n個正數(shù)a1,a2,…,an，它們的算術(shù)平均_______它們的幾何平均，即___

當(dāng)且僅當(dāng)___________時，等號成立.≥a=b=c不小于不小于≥a1=a2=…=an4.絕對值三角不等式定理

形式

等號成立的條件

1

|a+b|≤|a|+|b|

ab≥0

2

|a-c|≤|a-b|+|b-c|

(a-b)(b-c)≥0

5.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax+b|≤c____________;②|ax+b|≥c__________________.不等式

a>0a=0a<0|x|<a_____________________|x|>a_____________________________{x|-a＜x＜a}{x|x＞a或x＜-a}{x∈R|x≠0}R-c≤ax+b≤cax+b≥c或ax+b≤-c判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)若a<b,則一定有()(2)若n=則n≥1.()(3)|x-1|-|x-5|<2的幾何意義為數(shù)軸上的點x到點1，-5的距離之差小于2.()(4)不等式≥1成立的充要條件是|a|>|b|.()【解析】(1)錯誤.當(dāng)ab>0時，有；當(dāng)ab<0時，有(2)正確.n==1.(3)錯誤.其幾何意義為數(shù)軸上的點x到點1,5的距離之差小于2.(4)正確.|a|>|b|.答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

考向1

利用基本不等式求最值

【典例1】(1)若x>0,則函數(shù)f(x)=的最大值為_____.(2)若0<x<3,則函數(shù)f(x)=2x(3-x)的最大值為______.(3)若x>0,y>0,且9x+y-xy=0，則x+y的最小值為_______.【思路點撥】對于(1)(2)可根據(jù)題目條件，變形構(gòu)造出“和”或“積”為定值的形式，利用基本不等式求解；對于(3)應(yīng)將已知條件變形并建立與x+y的關(guān)系，然后再利用基本不等式求解.【規(guī)范解答】(1)∵x>0,∴f(x)=1-2x-=1-(2x+)≤1-當(dāng)且僅當(dāng)2x=即x=時等號成立.∴f(x)的最大值為1-此時x=(2)∵0<x<3,∴3-x>0,∴f(x)=2x(3-x)=2［x(3-x)］≤當(dāng)且僅當(dāng)x=3-x,即x=時等號成立.∴函數(shù)f(x)=2x(3-x)的最大值為(3)方法一：∵x＞0,y＞0,9x+y-xy=0，∴9x+y=xy,即=1,∴x+y=(x+y)·()=+10≥+10=6+10=16，當(dāng)且僅當(dāng)時，“＝”成立.又=1,即x=4,y=12時，上式取等號.故當(dāng)x=4,y=12時，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9(定值)可知x＞1,y＞9.∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥+10=6+10=16，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3,即x=4,y=12時，“＝”成立.故當(dāng)x=4,y=12時，x+y取最小值16.答案：(1)(2)(3)16【拓展提升】基本不等式的一般形式及條件基本不等式的一般形式為a1+a2+…+an≥或(其中a1,a2,…,an為正實數(shù))當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取等號.利用①式求最小值要求積為定值，利用②式求最大值要求和為定值.【變式訓(xùn)練】已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1，則的最小值為________.【解析】∵a,b,c∈(0,+∞),∴[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·()≥=9,即2(a+b+c)·()≥9.又∵a+b+c=1，∴≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時，“＝”成立，∴的最小值為答案：考向2絕對值不等式的解法【典例2】(2012·湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為______.【思路點撥】先移項，然后兩邊平方，再解不等式.【規(guī)范解答】由|2x+1|-2|x-1|>0，得|2x+1|>2|x-1|，平方得：12x>3,即x>∴原不等式的解集為{x|x>}.答案：{x|x>}【互動探究】若將本例不等式改為|2x+1|-|x-1|>0，則解集為_________.【解析】由|2x+1|-|x-1|>0得|2x+1|>|x-1|，兩邊平方得(2x+1)2>(x-1)2，整理得：3x2+6x>0.解得x>0或x<-2，∴不等式的解集為{x|x>0或x<-2}.答案：{x|x>0或x<-2}【拓展提升】解絕對值不等式的方法|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖象法和幾何法.分區(qū)間討論法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法較直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況.(1)分區(qū)間討論法的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解，即也即x∈R，x為非負數(shù)時，|x|為x;x為負數(shù)時，|x|為-x，即x的相反數(shù).(2)|x-a|+|x-b|≥c，|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的圖象解法和畫出函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-b|-c的圖象是密切相關(guān)的，其圖象是折線，正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出f(x)的分段函數(shù)表達式.不妨設(shè)a<b,于是這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，正確畫出函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的零點，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想.(3)幾何法的關(guān)鍵是理解絕對值的幾何意義.【變式備選】不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為________.【解析】①當(dāng)x<-3時，原不等式可化為-(x+3)-(1-2x)<+1，解得x<10,∴x<-3;②當(dāng)-3≤x<時，原不等式可化為(x+3)-(1-2x)<+1，解得x<∴-3≤x<③當(dāng)x≥時，原不等式化為(x+3)-(2x-1)<+1,解得x>2,∴x>2.綜上,原不等式的解集為{x|x<或x>2}.答案：{x|x<或x>2}

考向3含參數(shù)的絕對值不等式的解法【典例3】(2013·濟寧模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x，其中a>0,若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1}，則a的值為______.【思路點撥】將解絕對值不等式轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題，利用待定系數(shù)法求a的值.【規(guī)范解答】由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0，將此不等式轉(zhuǎn)化為不等式組或即或因為a>0，故其解集為{x|x≤}，由題設(shè)可得=-1，故a=2.答案：2【拓展提升】絕對值不等式的幾種等價形式解絕對值不等式的思路是轉(zhuǎn)化為等價的不含絕對值符號的不等式(組)，根據(jù)式子的特點可用下列式子進行轉(zhuǎn)化.(1)|f(x)|＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜-a.(2)|f(x)|＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a.(3)|f(x)|＞g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)，g(x)>0.(4)|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)，g(x)>0.(5)|f(x)|＞|g(x)|[f(x)]2＞[g(x)]2.【變式訓(xùn)練】(2013·太原模擬)若不等式|x-a|≤m的解集為{x|-1≤x≤5},則a=______,m=______.【解析】由|x-a|≤m得-m≤x-a≤m,即a-m≤x≤a+m，由題意知∴a=2,m=3.答案：23考向4含絕對值不等式的恒成立問題【典例4】不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對任意x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.【思路點撥】求出|x+3|-|x-1|的取值范圍，只要使其最大值小于或等于a2-3a即可.【規(guī)范解答】方法一：因為|x+3|-|x-1|表示數(shù)軸上的點P(x)與兩定點B(-3)，A(+1)距離的差，即|x+3|-|x-1|=|PB|-|PA|，由絕對值的幾何意義知|PB|-|PA|的最大值為|AB|=4,最小值為-|AB|=-4.∵對任意x不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a恒成立，∴a2-3a≥4，即a2-3a-4≥0,解得a≥4或a≤-1,∴a的取值范圍為(-∞,-1］∪［4,+∞).答案：(-∞,-1］∪［4,+∞)方法二：由|x+3|-|x-1|≤|x+3-(x-1)|=4知|x+3|-|x-1|的最大值為4，由題意知4≤a2-3a，解得a≥4或a≤-1.∴a的取值范圍為(-∞,-1］∪［4,+∞).答案：(-∞,-1］∪［4,+∞)【拓展提升】

對于不等式恒成立問題常見類型及其解法(1)分離參數(shù)法運