浙江省高考數(shù)學(xué)模擬題分項(xiàng)匯編 6 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法( 解析版)(36道題)

21nn21nn第章數(shù)與學(xué)納數(shù)列是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均其中，小題重點(diǎn)查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，和其它知識(shí)綜合考查的趨勢(shì)明顯，小題難度加大趨勢(shì)明顯；解題的難度中等或稍難，隨著文理同卷的實(shí)施，數(shù)列與不等式綜合熱門難壓軸題，有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等變難程度往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考查“裂項(xiàng)相消法法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要．關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的考查，主要與數(shù)列、不等式相結(jié).一選題1．(浙江省杭州市第二中學(xué)2020屆高三上學(xué)期開學(xué))已知等比數(shù)列

{}

的各項(xiàng)均為正數(shù)，且

1，3，24a2

成等差數(shù)列，則

a20a18

()A．

9

B．

6

C．

3

D．1【答案】【解析】設(shè)公比為.由

a1，，24

a

2

成等差數(shù)列，可得

3a12

，所以

3aaq1122

2

，則

2

，解

q

(舍去或

q

.所以

a219a

.故A.2.(2020屆江省浙南名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)已知數(shù)列

11anaan

*

，則()A．當(dāng)

0n

*

時(shí)，則

an

B．當(dāng)

an

*

時(shí)，則

an

annnnnn21211aannnnnn21211aC．當(dāng)

a

12

時(shí)，則

1a2nnn

D．當(dāng)

1

時(shí)，則

a

n

1an

20【答案】【解析】a

n

11111a即()(1)aaannnnn

n當(dāng)

an

時(shí)，

1

a

1n

a

n

，故

ann

，A錯(cuò)誤當(dāng)

n

時(shí)，

11aann

，故

a

，B錯(cuò)誤對(duì)于D選項(xiàng)當(dāng)，

21

，

19a23aa21

，D錯(cuò)用數(shù)學(xué)歸納法證明選項(xiàng)C易知

n

恒成立當(dāng)

時(shí)，

a6a21

，成立假設(shè)當(dāng)

時(shí)成立，

a

12，aa

2

a

12

k當(dāng)

n

時(shí)：

a

a

1

22

2

1aa2a2k

2

k即

a

a

1

2k

成立故

a

n

1an

恒成立，得證故答案選C3.(2020屆江省五校高三上學(xué)期聯(lián))已知數(shù)列

d

的等差數(shù)列前n項(xiàng)和為S(nA．d時(shí)S一存在最大值B．d時(shí)一存在最大值n

nnC．

存在最大值時(shí)，

D．

存在最大值時(shí)，

【答案】【解析】對(duì)A：因?yàn)閷?duì)B：因?yàn)?/p>

，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故S一存在最大值，正；，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故S不在最大值錯(cuò)；對(duì)C：因?yàn)楫?dāng)，

a0，存最大值，錯(cuò)1對(duì)D：由C的解析知，錯(cuò)故選A4.(2020屆江省寧波市慈溪市高三上期已知數(shù)列

aaan2nn

*

,2

，若aa1

37

，則a

()A．

3B．80756054

C．

56058

D．

54036【答案】【解析】由題意數(shù)列

{}

滿足：

aa

*2)

，可得

12a

1，所以數(shù)列差列，

174a33

，所以

4n3

，

3342019

．故選：A．5.(2020屆江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三上期已知是等差數(shù)列

項(xiàng)，

，則S等于(A．50【答案】【解析】

B．42C．38D

由

S42

成等差數(shù)列，所以

所以

，故選：6.(2019·9月江省麗水四校高三聯(lián)數(shù)列

a1

43

，

a*nn

，則11aa122013

的整數(shù)部分是()A．1C．3

BD【答案】【解析】因?yàn)?則則,故a1

,因,,又

,進(jìn)而可得

a2

，故

a

,則,應(yīng)選B.7.(2020屆江省金麗衢十二校高三上學(xué)期第一次聯(lián)設(shè)等差數(shù)列

a，，，n

(

，N

*

)的公差為d

，滿足

an12n

，則下列說法正確的()A．C．存在iN

*

，滿足

i

B．的可能為奇數(shù)D．m的能取值為1【答案】【解析】因?yàn)樗?/p>

2nn2

1iin1iina+dad111令則

f(xxxxxnnfa)f(af((1①當(dāng)d0時(shí)

f(x)x

，不滿足舍去.②當(dāng)

時(shí)，由

)得

()

為平底型，故n為數(shù)

(≥4)

.f(x

的大致圖像為：則

所以

n+

=d

，故A正確由

nd2nad2

nd2當(dāng)

iL

n時(shí)iddii)d2當(dāng)

i

n+2,,時(shí)aididid2故不存在i

*

，滿足

i

，C錯(cuò)f(aaa2n2

an2

)=()2

*n2*n2由于

n

n所以md4

，故D錯(cuò)③當(dāng)時(shí)令d由于

(

的圖像與

f

的圖像關(guān)于軸稱，故只需研究

f()故令

)f(nx

d

因?yàn)樗?/p>

f(a)f(f(a1g(gg(11由②知

)

為平底型，故為數(shù)

(≥4)

，故錯(cuò)令ii所以g((aiii

，故A正由②知，不存在i*，滿足，Ciii由②知，(i

n4

d

，故D錯(cuò)綜上所述，正確,錯(cuò)故選A.8.(2020屆江省高三上學(xué)期百校聯(lián))設(shè)無窮數(shù)列

a

(p0)

，

aq(q0)

，

，若

，則pq

的值為)A．

BCD．4【答案】【解析】

1aa2

，aan

1(n

22pqn22pqn1aa)n12

n因?yàn)閿?shù)列是周期數(shù)列，所以存在1naaa2)()apq12212故的為2.故選C.9.(2020屆江省臺(tái)州五校高三上學(xué)期聯(lián)若集合，則集合中元素個(gè)數(shù)是)A．2016B．2017C．2018．2019【答案】【解析】由題意知，必為一奇一偶，即選A.

共2016種況，又

，所以，.故10.(2020屆浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中)知數(shù)列

a1

12

，

an

2

an

，若bnA．

1an

，設(shè)數(shù)列

S，使得nC．B．

2019

最小的整數(shù)的為)D．【答案】【解析】因?yàn)?/p>

a2an

，所以

an

2an

0

，所以a為遞增數(shù)列，n而

an

n

2

an

所以

1a

1

11aa所以

11bann

，因?yàn)閿?shù)列

n

為，an1

12

2121所以

2019

1111aaaaa1232020

a

12020

而

a211

34

，a3

22

7716

，所以

a2020

a3

7716從而得到

2

a

1所以

要取最小，的數(shù)為2，故選：11.(2020屆浙省名校新高考研究聯(lián)(Z20盟高三上學(xué)期第一次聯(lián))已知數(shù)列．則下列說法正確的()nnn

{}

滿足

12

，A．

0

12

B．

12

C．

1

32

D．

32

【答案】【解析】考察函數(shù)

)ln(2

，由

f'(x)

122

可得

(x)

在由

f'(0

可得

()

在

單調(diào)遞減且

f(x)，列{}nn

為單調(diào)遞增數(shù)列，如圖所示：且

fln24

11，f)f(0)22

，

1212圖象可得

10aaa23n

，所以

12

，故選B.二填題12.(2020屆浙江省臺(tái)州五校高三上學(xué)期聯(lián)設(shè)等比數(shù)列

的前項(xiàng)為滿對(duì)任意的正整數(shù)均有，則_______，公比_______.【答案】2【解析相減得，由等比數(shù)列前項(xiàng)公式得，從而解得.

，即

，，13.(2019年9月江省嘉興市三測(cè))知

{}

是公差為等差數(shù)列，

為其前項(xiàng)，若

a

，a

，

a

成等比數(shù)列，則

a

_____，當(dāng)n時(shí)

取得最大值．【答案】19.10.【解析】因?yàn)?/p>

a，a，

成等比數(shù)列，所以

a27

，又

{}

是公差為的差數(shù)列，所以

11

，即

a1

，解得

a

，

22所以

S(nn100n

，因此，當(dāng)

時(shí)，

取得最大值．故答案為1).19.(2).10.14.(2020屆浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中)比數(shù)列

3

282019

__________，aa234

__________．【答案】【解析】

89

因?yàn)榈缺葦?shù)列

n

，2

，a3所以，a21所以

a122013a6q682

6

aa42

2

982

.89故答案為：；9215.(2019·9月江省麗水四校高三聯(lián))已知數(shù)列

n

a1

12

,a2nn

用x表示不超過x的最大整數(shù)，則

1aa

的值等于_____【答案】【解析】由題意知，

0

，

1(ann

移項(xiàng)得

1aan

2nn231112nn23111又

11111=++==2aaaaaa220131a，a,2又因

an

2n

，所以數(shù)列

n故

a所以

2

，故

11=1a2故填116．(2020屆江省寧波市慈溪高三上期)設(shè)等差數(shù)列

n

為

S

n

a，a，S________.5【答案】【解析】依題意，a

a22

；

a2

a

．故答案為：，．17.(2019年浙江省超級(jí)全能生高三第一次聯(lián))已知數(shù)列

n

an

nn

2

.若1a，k2

則小是___________，

21

，且存在常數(shù)

，使得任意Mn

，則

的取值范圍______________【答案】【解析】

(1)令

xayan

n

，

，表示點(diǎn)

an

1與原點(diǎn)連線的斜率，因?yàn)椋?

a，a124a，a1241a(0,]由于為yx,x]

a最高點(diǎn)，所以最，等于.a1(2)當(dāng)

時(shí)存

時(shí)

a2

M

y()

圖象可知任

MkM,成立，則需k(M),

kM即M

,

又

4M

11(M,以MM

,故

的取值范圍是

18.(浙江省杭州市第二中學(xué)2020高三上學(xué)期開學(xué))已知正項(xiàng)數(shù)列

n

2

，a

，則數(shù)列

a

項(xiàng)和為．【答案】【解析】

2n

由已知得

n(2a

2nnn

an

n

所以所以所以

(a)(2na)nn2na0.nanann

又因?yàn)?/p>

a所以4a22;a1322

；a44;a33Lann;ann

231nnnn1nnnnn231nnnn1nnnnnnn累乘得

所以

an2nnnnn所以

a

=

2n所以

a2321;13a

243;4aL

252;5a2n;nnn累加求和得

2n

2;2故答案為n19.(2020屆浙江省五校高三上學(xué)期聯(lián))數(shù)列

項(xiàng)和為

，滿足S1【答案】16

，S7

______.【解析】當(dāng)時(shí)，S1

12

；當(dāng)

a時(shí)nn

n

n

n

n

annn

n

237，7882244354p237，7882244354pn當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，n111a即為奇數(shù)時(shí)，所以a；2nn11a72220.(2020屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三上期已知

.{}

是等比數(shù)列，且

a

，aaa25，a4545

__________，a的大值為_________．【答案】【解析】

aa243

235

(a)3

2

Qan5a55a5)a，即a的最大值為221.(浙江省寧波市寧波十校2020高三11聯(lián))知常數(shù)p＞0，數(shù)列{a滿足＝|﹣aa|+2(n∈N)，首項(xiàng)為a，n項(xiàng)為．若≥對(duì)意nN成立，則1的取值范圍為．n【答案】﹣6，﹣4]【解析】由題意，

ppnn

，及

a

，所以數(shù)列

，要使得

對(duì)任意

恒成立，則必有

a0,a

，所以

ppap11

，appp)p111

，apap31111

，所以

aa1即1的值范圍p

[

．故答案為：

[

．

n1nn1nn1nn1n三解題屆江省名校新高考研究聯(lián)(聯(lián))高三上學(xué)期第一次聯(lián))已知數(shù)列

n

列

n

是數(shù)列

n

和，且

，Sa，數(shù)列53

4,bb212nnn

．(1)求數(shù)列

n

n

式(2)令

nnn

*

，證明：

2n

．【答案】(1)

a

.

2n

n

.(2)證見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列

n

，d，解得，3a1∴數(shù)列

n

式

a

.bbnbn

，當(dāng)

時(shí)，

bb(bnb(2nbn

bnbn

，即

n

列且

b

，

2

，2n

n

.(2)

anb2nn

，記

12nS2n

，則

232S12n

，SS

11n222nn

．23.(2020屆浙江省高三上學(xué)期百校聯(lián))知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列

n

n項(xiàng)為S，8

，且

a

.(1)求數(shù)列

n

式

(2)若

ba2nn

，求數(shù)列

n

項(xiàng)

T

.【答案】(1)

n

.(2)

n

2

【解析】(1)由

平方，得

8nn

，所以

8S

n

n

n

n

，將以上兩式相減，可得

n

n

n

，則

n

n

，所以

a

，所以

aa，nn

是首項(xiàng)為1，差為的差數(shù)列，從而可得數(shù)列

n

式

an

.(2)由題意可得

bn

n22n

，則

n

2n

，3Tn

2

2

3

n2

n

2

n

，將以上兩式相減，可得

n

2n2n

.設(shè)

Q2nn

，則

3Q3nnnnn

，將以上兩式相減，可得

n

n由此可得

n

，則Tn

.24.(2020屆浙江省臺(tái)州五校高三上學(xué)期聯(lián)已知函數(shù)

.(Ⅰ)求方程

的實(shí)數(shù)解；(Ⅱ)如果數(shù)列

滿足

，(

)存實(shí)數(shù)

對(duì)所有的都成立？證明你的結(jié)論．(Ⅲ)在的件下，設(shè)數(shù)列

的前項(xiàng)和為，明：

．【答案】Ⅰ)

;(Ⅱ)存在

使得

;(Ⅲ)見解析

【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)存在證法1：因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

使得得

，當(dāng)

；．時(shí)，單調(diào)遞減，所以．為，所以由且．面用數(shù)學(xué)歸納法證明．，所以當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．假設(shè)當(dāng)

時(shí)結(jié)論成立，即

．由于

為

上的減函數(shù)，所以，從而

，因此即

，．綜上所述，對(duì)一切

，

都成立，即存在

使得

．證法2：，且是以為項(xiàng)，

為公比的等比數(shù).所以易知即存在

.，所以當(dāng)為數(shù)時(shí)，，使得.

；當(dāng)為數(shù)時(shí)，(Ⅲ)證明：由(2)，們有設(shè)，由由于，

，從而.得.

nn因此n，2，3時(shí)，

成立，左邊不等式均成立．當(dāng)n>3時(shí)，

，因此

．從而解法2:由Ⅱ)知所以

．即，所以，所以

．所以當(dāng)為數(shù)時(shí)，即.(其他解法酌情給)

；所以當(dāng)為數(shù)時(shí)，25.(2019年9月江省嘉興市三測(cè))知數(shù)列{}(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

{}

的前項(xiàng)和為S，滿足

2S(．(Ⅱ)設(shè)

b

a

，為列

前項(xiàng)和，求證：

n

154

．【答案】a；(證明見解析【解析】(Ⅰ)當(dāng)

時(shí)

a

．當(dāng)

n

時(shí)，

SnSn

，兩式相減得：

ann

．故

為比的等比數(shù)列，且

a

，所以

n

n

．(Ⅱ)由得

bn

nn

，由錯(cuò)位相減法n1

23n3313n

(1)123nn31333n

(2)

則11253n1則11253n1兩式相減得：

23

Tn

13

13n

n52n3

，15n求得：．n4415所以．n4．年浙江省超級(jí)全能生高三第一次聯(lián))知等比數(shù)列

n

q且a

為，的2等比中項(xiàng)，

a為a，a的差中項(xiàng)2(Ⅰ)求值；(Ⅱ)設(shè)

an

5數(shù)列項(xiàng)和為，求證：S.n【答案】Ⅰ【解析】

q=

(Ⅱ)詳見解析(Ⅰ)由題意得

a，，234a，3324

解得q=2.(Ⅱ)由題知

a2n

n

，則

11b2nn

.當(dāng)n

時(shí)，

15b31

；當(dāng)n2

時(shí)，

1bn

13

13

，故n

112

，5綜上所述，.327.(2020屆浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中)知正項(xiàng)等差數(shù)列

n

S

2a333nn

，其中是數(shù)列

n

項(xiàng)和(1)求數(shù)列

n

式

n即1nn即1n.3n3(2)令

bn

n

4nn

，證明：

b1

2n2n

.【答案】(1)【解析】

a

；(2)明見解析；(1)因?yàn)?/p>

Sn1n

時(shí)，

S21

a31

；n

時(shí)，

S

22

1

32

，聯(lián)立得：

S1S22

231

解得，以公差2

da1所以

a

；(2)

bn

4n

112nn所以

1n

11111132n2n

122n

.28.(2020屆浙江湖州衢麗三地市高三上期)已知數(shù)列

n

a1

a

n

n

1n

(n

*

)

.(1)求

a,a3

，并猜想

n

式不證明)；(2)求證

a1

an

*

【答案】(1)

a2

11,;猜想a2n

;(2)證見解析【解析】(1)

a2

1,a2猜想

an

1n

2352n2a2352n2a(2)

a

12nn2

2

2n

所以

a

2

2(2)方法二用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)時(shí)左

，邊2

2

6

，左邊邊不等式成立；(2)假設(shè)(N*)時(shí)不等式成立，即a那么當(dāng)n時(shí)只要證明aa2k只要證明2k

2

2k即證

1k

22只要證明

1k2kk

即證

12kkk

，即證

只要證明k2k2k，然成立，所以

n

時(shí)不等式也成立.綜合(1)(2)可得對(duì)一切的*不式均成.*.29.(2020屆浙江省金麗衢十二校高三上學(xué)期第一次聯(lián)在數(shù)列nN{}(Ⅰ)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

n

a2，a4

，(Ⅱ)記

bn

，求數(shù)列

n

項(xiàng).

nn【答案】Ⅰ)證明見解析；Ⅱ)Sn

9

n

【解析】(Ⅰ)證明：由a又，

an，得nn

n

.所以數(shù)列

1，比4的比數(shù)列；(Ⅱ)由知

n

n

，即

4

，所以

bn

n

，Sn

0

n

，①4n

2

n

，②①②，

n

2n

n

43

n

，所以n

n

30.(2020屆浙江省五校高三上學(xué)期聯(lián))數(shù)列

n

列數(shù)列

n

列若

a

，a5

.(1)若

nnan

，數(shù)列

n

項(xiàng)第

項(xiàng)，求

的值(2)設(shè)

nnn

，求數(shù)列

項(xiàng)和

T

【答案】(1)

k(2)

【解析】(1)設(shè)公差為

，公比為

，，則

q11q2d

，所以a

，

bn

；cn

2nn3nn

，cn

2n

2

ncn

n

2

2

n2n2n3nn當(dāng)n

時(shí)，n，于是

；當(dāng)

時(shí)，n于是

n

；綜上所述：

23

，于是

，

(2)錯(cuò)位相減求和法

12

，

nn3

31.(浙江省寧波市寧波十校2020高三11聯(lián))知等差數(shù)列的前和為S，且a+2＝n＝36．(1)求，；(2)若數(shù)列}滿足b，

bSnn

n

，求證：

111nbb12

()【答案】(1)a﹣1＝nn

(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列a}的公差設(shè)為d，前項(xiàng)為S，且+2a＝，＝36，n可得a+da+3)＝+8，即a，

bbbb又6+15＝36即2a+5，解得a＝1d＝2，則＝1+2(﹣1)＝2﹣1，＝+n(＝；(2)證明：數(shù)列b}滿足＝1

bn

S

n，當(dāng)n＝1時(shí)，，可得＝1n≥2時(shí)bb﹣1，1相減可得b(b﹣＝1即﹣b，當(dāng)n≥2時(shí)，

1111bbbb1

b+﹣+b﹣+…+﹣1b1

b﹣b+≥﹣1+2n

b

2；1當(dāng)n＝1時(shí)，1＝21不等式成立，1綜上可得，

11nbb12

(∈N)．32.(2020屆浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高三上期已知數(shù)列

n

項(xiàng)為

，且滿足：a，an

(1)求數(shù)列

n

式(2)數(shù)列

n

b

，

，求數(shù)列

n

．【答案】(1)

；(2)

bn

n

n

.【解析】(1)數(shù)列a}的n項(xiàng)和為S，且滿足：n

a，a

*

．當(dāng)n≥2時(shí)，＝﹣3，兩式相減得a＝﹣2，所以數(shù)列{a}是以2為首﹣為公比的等比數(shù)列．所以

an

n

．

n2020202020202020n2020202020202020(2)由于

，所以b

，由于

(n

，所以b

，n．所以bnn33.(2020屆浙江省寧波市慈溪市高三上期記數(shù)列

n

項(xiàng)和為Sn123

ai

，i已知數(shù)列

n

aNn

*

,

A0,aii

.i

i(1)若數(shù)列

n

列求

2020

ia

i

的值；i(2)證明：

i

iai

.【答案】(1)【解析】

(2)證明見解析(1)設(shè)等比數(shù)列

n

q易知

0,q所以由aii

得

q2020

，所以

，又由

2020i

ai

得

a

12020設(shè)

2020

ia2019i12

2019

2020

2020iqS

2020

iaai3

2020

2021i

2122020i2222n2122020i2222n(1S

2020

1

2020

a2011

2000iia

2011

q2020a11

a故

2020i

iai

2020

(2)證明：設(shè)

k{1,2,,2019}

，因?yàn)?/p>

2020

aik

2020

i所以

kk

ak

所以

ak

2020

1a12kk

2020

1aa2i

12故

2020

iai

aaa13ia2020

2020

a

a

a

a111444即個(gè)

2020i

iai

得證34.(2019·9月江省麗水四校高三聯(lián))已知數(shù)列

0an1

n

Nn

Sn12

n

．

11T1)(1)(1)L112n求證：當(dāng)nⅠ)

0a

；(Ⅱ)(Ⅲ)

n

；【答案】Ⅰ)證明見解析；Ⅱ)明見解析(Ⅲ)明見解析

【解析】(Ⅰ)證明：因?yàn)?/p>

2a2(1)n2a2nnnn(1)-(2)

2所以(1)-(2)可得

a與a

同號(hào)，即與

a1

一致.因?yàn)?/p>

2

，且

a01

，a

n

nQa

2n

n

a

n

2n

2n

n

0

即

n根據(jù)①和②，可知

ann

對(duì)任何*都成立．(Ⅱ)證明：由

k

，

2)，得

)31

．因?yàn)?/p>

，以S1

．Q

n

，所以

Sn

．(Ⅲ)證明：由

2≥2k

，得

≤(k，≥3)所以

n(3)(1)L(1)2na2

，于是

a≤n(1)(1)L(1)2n(a2

1n(≥)2n2

，故當(dāng)時(shí)Tn

122n

，又因?yàn)?/p>

T2

，

nn