三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函考試內(nèi)容：角的概念的推廣.弧度制.任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(sx+@)的圖像.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考試要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin("+@)的簡(jiǎn)圖，理解A.s、e的物理意義.(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana*cosa=1”.§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)SINCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、四象限一半所在區(qū)域.①與a(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角P的終邊重合):②終邊在％軸上的角的集合：1|P=kSINCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖1、2、3、4表示第一、四象限一半所在區(qū)域③終邊在y軸上的角的集合：1|B=kx180。+90。,keZ}④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：B邛=kx90。,keZ}⑤終邊在尸％軸上的角的集合：X|B=kx180。+45。,keZ}⑥終邊在y=—%軸上的角的集合：1|P=kx180o-45。,keZ}⑦若角a與角B的終邊關(guān)于％軸對(duì)稱，則角a與角B的關(guān)系：a=360。k-B⑧若角a與角B的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角a與角B的關(guān)系：a=360。k+180。-8⑨若角a與角B的終邊在一條直線上，則角a與角B的關(guān)系:⑩角a與角B的終邊互相垂直，則角a與角B的關(guān)系：a=360。k+B±90。.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2式180°=兀1°=0.017451=57.30。=57。18'注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零、弧度與角度互換公式：1rad=180°^57.30°=57°18'. 1°=工心0.01745(rad)冗 180

3、弧長(zhǎng)公式：l1扇形面積公式：s扇形21r21|r24、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r則sin上;r,x；cot一，

ysecr；;xcsc5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：r.y（一全二正弦，三切四余正弦、余割+o余弦、正割+x3、弧長(zhǎng)公式：l1扇形面積公式：s扇形21r21|r24、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r則sin上;r,x；cot一，

ysecr；;xcsc5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：r.y（一全二正弦，三切四余正弦、余割+o余弦、正割+x正切、余切tancos弦）6、三角函數(shù)線正弦線：MP；余弦線：正切線：AT.7.三角函數(shù)的定義域：16.幾個(gè)重要結(jié)論(3)若o<x<9，則sinx<x<tanx

2三角函數(shù)定義域f(x)siixxxRf(x)cosxxxRf(x)taixx|xR曰xk-,kZ2f(x)cotxxxR且xk,kZf(x)secxx|xR且xk—,kZ2f(x)cscxxxR且xk,kZsin cos tanc°^cotcos sin8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：tancot1cscsinsin2 cos2 1sec21sectan2cos11csc2 cot2 19、誘導(dǎo)公式：把^ 的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為:2“奇變偶不變，符號(hào)看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組二公式組三

公式組二公式組一密網(wǎng)#羔古身=si賒=9x）=sln亞&2x=1cos（2k冗+x）=cosxCOSJx）=cosxtaS2k版cx=1=tanx=?^x）=n+taa2及=sec2xsinxcot（2k冗+x）=cotxcot（-x）=-cotx公式組四 公式組五公式組六tanx,cotx=1 1+cot2x=csc2公式組四 公式組五公式組六sin（冗+x）=-sinxsin（2冗-x）=-sinxsin（冗-x）=sinxcos（冗+x）=-cosxcos（2冗-x）=cosxcos（兀-x）=-cosxtan（冗+x）=tanxtan（2冗-x）=-tanxtan（兀-x）=-tanxcot（冗+x）=cotxcot（2冗-x）=-cotxcot（兀-x）=-cotx（二）角與角之間的互換公式組一 公式組二cos（a+B）=cosacosB-sinasinBsin2a=2sinacosacos（a-B）=cosacosB+sinasinBcos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin（a+sin（a+B）=sinacosB+cosasinBtan2a=2tana1-tan2asin（asin（a-B）=sinacosB-cosasinBsina=±.,'2 1tan（a+Btan（a+B）=tana+tanB

1-tanatanBa

cos—=2±［1+cosatan（a-tan（a-B）=tana-tanB

1+tanatanBta±|1-cosa sina 1-cosa2 11+cosa1+cosasina公式組三a2tan. 2sina= a+tan2-2公式組四公式組三a2tan. 2sina= a+tan2-2公式組四I/ 、/sinacosB=鼻kin'a+B）+sin匕-cosasinB=2kinG+B）-sinG-B）］B）］公式組五cosacosB=losQ+B）+cosG-B）］a1—tan2—2cosa= a1+tan2一2ca2tan—, 2tana= a1—tan2一2sinasinB=—-fcosCx+B）-cosG-B）1a+Ba-Bsina+sinB=2sin cos 2

a+B

sina-sinp=2cos sin-2

a+B

cosa+cosB=2cos cos222

a-B2

a-Bcosa-cosB=-2sina+B.a-B

sin Z1cos（2-兀-a）=sinasin（-2-兀-a）=cosa,zl… …tan（-2-兀-a）=cotacos（-2兀+a）=-sina,zl… …tan（-2兀+a）=-cotasin（-2-兀+a）=cosaTOC\o"1-5"\h\z■- 廠：- L L力"6-?2F75。—rc<15。-'6+'2,tan15。=cot75。=2--3,tan75。=cot15。=2+、：3.sin15。=cos75。= sin750=cos15°= "4 410.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asin（tox+隼）（A、①>0）

定義域RR<%1%eR且%wk—+，—,keZ>{%1%eR且%wk—,keZ}R值域[-1,+1][-1,+1][ 2 JRRLAA]周期性2—2———2—①奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)中w0,非奇非偶當(dāng)中=0,奇函數(shù)單調(diào)性——…[-——+2k—,2—…—+2k—]上為增函數(shù) ；—[―+2k—,3— r-2-+2k—]上為減函數(shù)(keZ)[6k-1%,2k—] '上為增函數(shù)[2k—,(2k+11]上為減函數(shù)(keZ)-—+k—,—+k—I2 2J上為增函數(shù)(keZ)（k—,（k+1%）上為減函數(shù)（keZ）…— ]2k—---9^(A),312k—+7—-92 (-A)L 3 」上為增函數(shù)；— —2k—+19 2—(A),3c, 32k—+T—-9 2 (-A)_ 3 」上為減函數(shù)(keZ)注意：①y=-sin%與y=sin%的單調(diào)性正好相反；y=-cos%與y=cos%的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若y=f（%）在［a,b］上遞增（減），則y=-f（%）在［a,b］上遞減（增）.②y=sin%1與y=Icos%I的周期是冗.2幾③y=sm(3%+隼)或y=cos(①%+9)(①w0)的周期T= .3|%tan—2的周期為2冗（T5nT=2冗%tan—2④y=sin（3%+隼）的對(duì)稱軸方程是％=kn+—（keZ），對(duì)稱中心（kn,0）；y=cos（0%+中）的對(duì)稱軸方程是2k—一、%=k—(keZ)，對(duì)稱中心(心…14n)；y=tan(3%+6的對(duì)稱中心(一,0).TOC\o"1-5"\h\zk—+—,0 n2 2y=cos2%―原點(diǎn)對(duì)稱=-cos(-2%)=-cos2%— —⑤當(dāng)tana-tanp=1,a+0=k—+—(keZ)；tana-tanp=-1,a-0=k—+—(keZ).22⑥y=cos%與y=sin%+—+2k—1⑥y=cos%與y=sin%+—+y=?%+*=疝(3%+M+2九八±°0s(3%>⑦函數(shù)y=tan%在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，y=tan%為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

是定義域關(guān)于原點(diǎn)⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f（x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件:對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f（-x）=f（x），奇函數(shù)：f（-x）=-f（x））是定義域關(guān)于原點(diǎn)奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan（x+3冗）是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）y-lcos2x+1/21圖象奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0ex的定義域，則f（x）一定有f（0）=0.y-lcos2x+1/21圖象⑨y=sinlxl不是周期函數(shù)；y=|sinx|為周期函數(shù)（7=兀）； Ty=coslxl是周期函數(shù)（如圖）；y=Icosx|為周期函數(shù)（7=兀）；v-cos\x\圖象v_ros2r+1的周期為冗（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:v-cos2x+2y=f(x)=5=f(x+k),keR.⑩y=acosa+bsinB=aa2+b2sin(a+隼)+cos隼=—有aa2+b2>|y|a11、三角函數(shù)圖象的作法:1）、幾何法：2）、描點(diǎn)法及其特例——五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）.3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數(shù)y=Asin（sx+q）的振幅|A|,周期T=型，頻率f=1=?，相位3x+p；初相干（即當(dāng)x=013| T2冗時(shí)的相位）.（當(dāng)A>0,3>0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A|>1）或縮短（當(dāng)0<|A|<1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用y/A替換y）由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0<|3|<1）或縮短（|3|>1）到原來叫"3倍，得到y(tǒng)=sin?x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.（用sx替換x）由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)q>0）或向右（當(dāng)q<0）平行移動(dòng)IqI個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x+q）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用x+q替換X）由y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平行移動(dòng)IbI個(gè)單位，得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用y+（-b）替換y）由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin（sx+q）（A>0,s>0）（x￡R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延X軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù)：函數(shù)y=函數(shù)y=sinx,兀兀一2，2八的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，它的定義域是[—1,1],值域是「函數(shù)y=cosx,（x￡[0,n]）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx,它的定義域是[—1,1],值域是[0,n].

函數(shù)y=函數(shù)y=tanx，[1))的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx,它的定義域是（一8,十8）,值域是函數(shù)y=ctgx,［x￡（0,n）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y=arcctgx，它的定義域是（一8,十8）值域是（0,n）.II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)反三角函數(shù).1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故arcsin（-x）=-arcsinx,X8）值域是（0,n）.II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)反三角函數(shù).1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)y=arcsinx是奇函數(shù)，故arcsin（-x）=-arcsinx,Xel-1,1］（一定要注明定義域，若xe（—8,+8），沒有x與y一—對(duì)應(yīng)，故y=sinx無反函數(shù)）注：sin(arcsinx)=x,xeL1,1],arcsinxe⑵反余弦函數(shù)y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=兀+2k兀,xeL1,1].注：①cos(arccosx)=x,xeL1,1]，arccosxeb,九].②y=cosx是偶函數(shù)，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx為奇函數(shù).兀兀,⑶反正切函數(shù)：y=arctanx，定義域(-8,+8)，值域(—-,—)，y=arctanx是奇函數(shù)，) 22arctan(-x)=-arctanx，xe(-8,+8).

注：tan(arctanx)=x,xe(-8,+8).兀兀⑷反余切函數(shù)：y=arccotx，定乂域（一8,+8），值域（ ,—）,y=arccotx是非奇非偶.2<21arccot(-x)+arccot(x)=兀+2k兀，xe(-8,+8).注：①cot(arccotx)=x,xe(-8,+8).②y=arcsinx與y=arcsin(1-x)互為奇函數(shù)，y=arctanx同理為奇而y=arccosx與y=arccotx非奇非偶但滿足arccos(-x)+arccosx=8+2k8,xe[-1,1]arccotx+arccot(-x)=8+2k8,xe[-1,1]?⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：a的取值范圍 解集a的取值范圍解集①sinx=a的解集②cosx=a的解集a>10U>1=1尸11x=2k兀+arcsina,kez}[I1 {dx=2k兀+arccosa,ke