單變量平穩(wěn)時間序列模型

單變量平穩(wěn)時間序列模型第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三內(nèi)容結(jié)構(gòu)

ARMA模型的理論介紹

ARMA模型的實證分析問題與小結(jié)123第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三1、ARMA模型有何價值？2、什么是ARMA模型？3、如何確定ARMA(p,q)中的p和q？4、如何估計ARMA(p,q)中的參數(shù)？5、如何檢驗ARMA模型？6、如何利用ARMA模型進行預(yù)測？

ARMA模型的理論介紹一：ARMA模型的概述六大問題第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述1、ARMA模型有何價值？時間序列分析即尋找時間序列{

}的規(guī)律，對于給定的時間序列{}，有2種方法對其進行解釋或預(yù)測：

利用外部影響因素的時間序列與本時間序列的關(guān)系進行解釋或預(yù)測，典型的方法如回歸模型。例如，預(yù)測零配件的月銷售量，可以利用汽車月度產(chǎn)量等外部影響建立回歸方程，進行預(yù)測。缺點：上述因素的數(shù)據(jù)必須具有可獲得性，但是影響因素的數(shù)據(jù)并不是總是可獲得，如政策、消費者偏好等因素就難以獲得，這時就不適合采用外部影響因素法。

ARMA模型的理論介紹1、外部影響因素法第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述上述方法中存在外部影響因素數(shù)據(jù)不可獲得的特點，時間序列方法則規(guī)避了此類缺點。時間序列法，通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于過去行為的有關(guān)結(jié)論，進而對時間序列未來進行判斷。時間序列方法有很多，如傳統(tǒng)時間序列方法（時間序列分解、指數(shù)平滑等）、隨機時間序列（ARMA/AR/MA等）、其他方法（ARCH、動態(tài)時間序列法等）2、什么是ARMA模型？一些知識點的介紹即進行時間序列分析前，必須判斷其是否平穩(wěn)，否則，時間序列分析中的t、F等檢驗都是不可信的。1、時間序列的平穩(wěn)性（任何時間序列分析都必須滿足的前提）2、時間序列方法

ARMA模型的理論介紹第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述

滿足如下條件：則時間序列平穩(wěn)

例一(平穩(wěn))滿足如下條件稱為白噪聲

ARMA模型的理論介紹~第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述例二（非平穩(wěn)）滿足如下條件稱為隨機游走序列作差分后平穩(wěn)

ARMA模型的理論介紹第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述滯后算子公式：Lnxt=xt-n2、滯后算子3、自相關(guān)函數(shù)對于有自協(xié)方差函數(shù)定義k

=Cov(Xt,Xt-k)=E[(Xt-)(Xt-k-)]

其中，k=0時，0=Var（

）=

ARMA模型的理論介紹第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述自相關(guān)函數(shù)定義k=

=

=其中，k=0時，0=14、偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了

與

的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系，例如與間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與間的相關(guān)性帶來的，這時需要用PACF（k）進行判斷與間的偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelation，PACF）則是消除了中間變量，…，帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性

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ARMA模型的介紹1、移動平均MA（q）模型

一般地，滿足稱為q階移動平均過程MA(q)為白噪聲，為移動平均系數(shù)移動平均過程是無條件平穩(wěn)的（有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明）

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2、自回歸過程AR（p）模型

一般地，滿足稱為p階移動平均過程AR(p)如果=

，為白噪聲，為自回歸系數(shù)移動自回歸過程平穩(wěn)的條件

滯后算子：

滯后算子表達式：

特征方程：=0結(jié)論：特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的

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3、自回歸移動平均過程ARMA（p，q）模型

與AR（p）相似，滿足如果是一個白噪聲，滿足：

12由1式和2式得：

其中為白噪聲，此模型是上述2個模型的混合，因此稱為ARMA(p，q)模型

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當(dāng)p=0

時，ARMA(0,q)=MA(q)

當(dāng)q=0時，ARMA(p,0)=AR(p)ARMA（p，q）模型包括了一個AR(P)模型和一個MA(q)模型，因為MA(q)模型永久平穩(wěn)，因此檢驗ARMA（p，q）模型平穩(wěn)性時，只需檢驗AR(p)模型的平穩(wěn)性結(jié)論：

ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)(1,

2,…,p)，而與移動平均模型參數(shù)(1,2,…,q)無關(guān)常用的兩種平穩(wěn)性檢驗方法：1、相關(guān)圖法。隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多2、單位根檢驗。DF/ADF等

ARMA模型的理論介紹第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述3、如何確定ARMA(p,q)中的p和q？確定p和q的過程即為模型的識別，所使用的工具主要是時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction）ACF及偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction）PACF

，通常通過相關(guān)圖來觀察模型ACFPACF白噪聲

AR(p)衰減趨于零（幾何型或振蕩型）P階后截尾：，k>pMA(q)q階后截尾：

，k>q

衰減趨于零（幾何型或振蕩型）ARMA(p,q)q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）p階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）ARMA（p，q）模型的ACF和PACF理論模式

ARMA模型的理論介紹第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述1、什么是拖尾和截尾拖尾：自相關(guān)函數(shù)或偏相關(guān)函數(shù)隨著滯后階數(shù)k的增加，不斷衰減直到0，這種現(xiàn)象稱為拖尾截尾：如果自相關(guān)函數(shù)或偏相關(guān)函數(shù)在滯后項p或q之后為0，則稱自相關(guān)函數(shù)或偏自相關(guān)函數(shù)在p或q以后是截尾的拖尾相關(guān)圖截尾相關(guān)圖

ARMA模型的理論介紹第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述2、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的識別AR（p）：ACF隨著滯后階數(shù)k的增加，呈指數(shù)衰減或震蕩式衰減，具有拖尾性；PACF在p階后截尾（有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明）MA（q）：ACF在q步后截尾（有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明）；PACF一定呈現(xiàn)某種衰減形式，衰減形式復(fù)雜（區(qū)別于AR（p）），具有拖尾性ARMA（p，q）

：ACF和PACF都呈現(xiàn)拖尾性在實際操作中，要集合ACF和PACF來判斷用哪一模型，當(dāng)相關(guān)圖具備上述模型的特征時，選擇該模型此外，由于自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過要識別序列的樣本數(shù)據(jù)估計出來的，必然存在誤差，因此，實際操作中的圖形并不一定是理想的拖尾和截尾，需要反復(fù)試驗與檢驗，選擇最合適的模型

ARMA模型的理論介紹第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述3、AR（p）、MA（q）、ARMA（p，q）的相關(guān)圖AR(1)模型：

ARMA模型的理論介紹第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述MA(1)模型：ARMA(1,1)模型：

ARMA模型的理論介紹第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述4、如何估計ARMA(p,q)中的參數(shù)？AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：最小二乘估計、矩估計和利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計。

最小二乘法估計矩估計利用自相關(guān)函數(shù)估計利用估計的自相關(guān)系數(shù)，估計出AR(p)參數(shù)

ARMA模型的理論介紹第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述5、如何檢驗ARMA模型？檢驗內(nèi)容：ARMA(p，q)模型的識別與估計是在假設(shè)隨機擾動項是一白噪聲基礎(chǔ)上進行的，因此，模型檢驗中首先要檢驗是不是白噪聲檢驗指標(biāo)：Q檢驗判斷標(biāo)準(zhǔn)：如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計量不顯著，并且有大的P值。檢驗內(nèi)容：增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。因此，對可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，存在著模型的“簡潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。因此，需要權(quán)衡二者檢驗指標(biāo)：AICSC判斷標(biāo)準(zhǔn)：在選擇可能的模型時，AIC與SC越小越好。

ARMA模型的理論介紹第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述檢驗內(nèi)容：參數(shù)估計時，需要對所估的參數(shù)進行檢驗，看其是否符合合適檢驗指標(biāo)：t檢驗判斷標(biāo)準(zhǔn)：若t統(tǒng)計值大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計的參數(shù)，prob值0.2以下較好6、如何利用ARMA模型進行預(yù)測？設(shè)對時間序列樣本{xt},t=1,2,…,T，所擬合的模型是

xt=0.4

xt-1+0.77+0.68

εt-1則理論上T+1期xt的值應(yīng)按下式計算xT+1=0.4

xT

+0.77

+0.68

εT……以此類推

ARMA模型的理論介紹第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三一：ARMA模型的概述ARMA模型流程圖

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ARMA模型的理論介紹

ARMA模型的實證分析問題與小結(jié)123第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三二：ARMA模型實證分析1、建立工作文件并導(dǎo)入數(shù)據(jù)

ARMA模型的實證分析第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期三二：