理論力學課件PPT完整版（大二上期） 11.動量定理

第七章動量定理理論力學動力學1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運

動情況。動力學普遍定理概述對質(zhì)點動力學問題：建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系動力學問題：理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方程，聯(lián)立求解它們即可。實際上問題是動力學

動力學普遍定理以簡明的數(shù)學形式，表明兩種量

——一種是同運動特征相關的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關的量(沖量、力矩、功等)——之間的關系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷。

本章中研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式——質(zhì)心運動定理。

動力學首先討論動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)。

§7–1質(zhì)點系的動量

§7–2動量定理與質(zhì)心運動定理

§7–3動量守恒與質(zhì)心運動守恒

§7–4變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程第七章動量定理一、質(zhì)點系的質(zhì)心

質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。

動力學§7-1質(zhì)點系的動量

在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎渺o力學中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學意義。動力學質(zhì)心C點的位置：

（平行力系中心）例1曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若取OA=AB=l,OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2，且m1=m2=m，求此系統(tǒng)的質(zhì)心運動方程。解：設t=0時OA桿水平，則有φ=ωt。

動力學二、質(zhì)點系的動量

1.質(zhì)點的動量：質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點的動量。是瞬時矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量??；船：速度小，質(zhì)量大。

2.質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。例：質(zhì)點系動量的計算：即：質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。投影形式：如：

坦克的履帶質(zhì)量為m。設坦克前進速度為v，則履帶的動量是多少？

答案：方向：水平向右3.剛體的動量a.單個剛體：p=Mvc例：

b.剛體系統(tǒng)的動量：設第i個剛體 則整個系統(tǒng)：

動力學例2曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動，設OA=AB=l,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿,質(zhì)量各為m,滑塊B的質(zhì)量也為m。求當=45o時系統(tǒng)的動量。解法：（1）按求解（2）按求解

動力學

曲柄OA：滑塊B：連桿AB：

（P為速度瞬心）

解：（解法一）解：（解法二）系統(tǒng)任意時刻的質(zhì)心坐標為

按求解系統(tǒng)的動量沿x、y軸的投影質(zhì)心速度故由于系統(tǒng)的動量為

動量的方向沿質(zhì)心軌跡的切線方向。將m1=m2=m3=m，＝ωt=45o

代入2．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

元沖量：

沖量：1．力是常矢量：動力學三．沖量

力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應。動力學

3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動量單位同．課堂練習：行星輪系由均質(zhì)的系桿OA、中心齒輪1、行星齒輪2及固定的內(nèi)齒圈3組成。已知齒輪1、2的半徑分別為r1和r2；質(zhì)量分別為m1和m2，系桿的質(zhì)量為m，以角速度繞軸O轉(zhuǎn)動。求輪系的動量。解：輪系的動量p=p1+p2+pOA齒輪1

齒輪2

系桿OA

輪系的動量

§7-2

動量定理與質(zhì)心運動定理一．質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量對時間的導數(shù)等于作用于質(zhì)點的力動力學—質(zhì)點的動量定理二．質(zhì)點系的動量定理

對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點

i，對整個質(zhì)點系：外力：所考察的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。內(nèi)力：所考察的質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：質(zhì)點系的動量定理即：質(zhì)點系動量對時間的導數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。

在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和．-積分形式)(12eiSpp?=-動力學?eipieSdtF?微分形式

)()(dd==?

?投影形式：?=)(eixxFdtdp?=)(eiyyFdtdp?=)(eizzFdtdp??ò==-21)()(12tteixexxdtFSixpp??ò==-21)()(12tteiyeyydtFSiypp??ò==-21)()(12tteizezzdtFSizpp動力學定理說明：只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量。將代入到質(zhì)點系動量定理，得若質(zhì)點系質(zhì)量不變，則或動力學

上式稱為質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。1.投影形式：①②三．質(zhì)心運動定理

注意：質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系，無論它作什么形式的運動，質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點的運動，并設想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。動力學2.剛體系統(tǒng)：設第

i

個剛體mi，vCi，則有

或或者

3．質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學問題：

已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動,求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。

只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動,內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。動力學動力學

例5

電動機的外殼固定在水平基礎上，定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎作用在電動機底座上的約束力。解:

取整個電動機作為質(zhì)點系研究，分析受力：受力圖如圖示運動分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。動力學根據(jù)質(zhì)心運動定理，有可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。動力學

例6

流體流過彎管時，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力(附加動壓力)。設流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。動力學運動分析，設經(jīng)過ｔ時間后，流體AB運動到位置ab，動力學解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點系。受力分析如圖示。由質(zhì)點系動量定理；得靜反力，動反力

計算時，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的動壓力．動力學即

例如，一噴射水流以速度為4.5m/s沿水平方向射入一光滑固定葉板，如圖所示，設水流的流量為0.05m3／s，則流體所受的的動壓力為

例7

均質(zhì)曲柄AB長r，質(zhì)量為m1

，假設受力偶作用以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；?、連桿、活塞總質(zhì)量為m2，質(zhì)心在點C。在活塞上作用一恒力F。不計摩擦，求作用在曲柄軸A處的最大水平分力Fx。解：選取整個機構(gòu)為研究的質(zhì)點系，注意到力偶不影響質(zhì)心運動。列出質(zhì)心運動定理在x軸上的投影式計算質(zhì)心的坐標，應用質(zhì)心運動定理，解得顯然，最大水平分力對時間取二階導數(shù)，即：§7-3

動量守恒與質(zhì)心運動守恒一、質(zhì)點系的動量守恒若則常矢量。若則常量。

1.只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量；

2.內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以改變質(zhì)點系中質(zhì)點的動量，引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。

二.質(zhì)心運動守恒定律

若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線動；若開始時系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標保持不變。

只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動,內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。

例8

半徑為r、質(zhì)量為M的光滑圓柱放在光滑水平面上，一質(zhì)量為m的小球從圓柱頂點無初速地下滑，試求小球離開圓柱前的軌跡。解：取圓柱和小球為研究對象，系統(tǒng)所受外力有圓柱和小球的重力和地面的反力。由于系統(tǒng)在水平方向無外力，且系統(tǒng)的初速度為零，故系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向守恒。在初始位置時，系統(tǒng)的質(zhì)心在Oy軸上，由于質(zhì)心在水平方向守恒，故運動后，系統(tǒng)的質(zhì)心仍應在Oy軸上。故有

xC=0設瞬時t，小球由圓柱頂點下滑到圓柱上A點，此時圓柱質(zhì)心與小球的連線與Oy軸的夾角為φ

。則由系統(tǒng)質(zhì)心坐標公式有即由于，故所以小球離開圓柱前的軌跡

例9

物塊A可沿光滑水平面自由滑動，其質(zhì)量為mA；小球B的質(zhì)量為mB，以細桿與物塊鉸接，如圖所示。設桿長為l，質(zhì)量不計，初始時系統(tǒng)靜止，并有初始擺角φ0；釋放后，細桿近似以φ=φ0coskt規(guī)律擺動(k為已知常數(shù))，求物塊A的最大速度。解：取物塊和小球研究對象，其上的重力以及水平面的約束反力均為鉛垂方向。此系統(tǒng)水平方向不受外力作用，則沿水平方向動量守恒。當此速度vr向左時，物塊應有向右的絕對速度,設為v，而小球向左的絕對速度值為細桿角速度為，當sinkt

=1時，其絕對值最大，此時應有cos

kt=0，即φ=0。由此，當細桿鉛垂時小球相對于物塊有最大的水平速度，其值為根據(jù)動量守恒條件，有解出物塊的速度為當sinkt=-1時，也有φ=0。此時小球相對于物塊有向右的最大速度，可求得物塊有向左的最大速度.解出物塊的速度為

課堂練習：

質(zhì)量為M的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。動力學解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則設大三角塊速度，小三角塊相對大三角塊速度為，則小三角塊運動分析，

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點系為研究對象。動力學

課堂練習：

浮動起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10kN,長l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN。

設開始起吊時整個系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60o,水的阻力不計,求起重桿OA與鉛直位置成角2

=30o時船的位移。受力分析如圖示，，且初始時系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標XC保持不變。船的位移x１，桿的位移重物的位移動力學計算結(jié)果為負值，表明船的位移水平向左?！?-4

變質(zhì)量質(zhì)點的運動微分方程

動量定理所研究的對象是總質(zhì)量不隨時間變化的，或質(zhì)點的個數(shù)不變的質(zhì)點系。但有些問題，如在火箭飛行過程中，由于不斷的噴出燃料燃燒后產(chǎn)生的氣體，所以火箭的質(zhì)量是不斷的減小的；又如不斷地噴出燃氣的噴氣式飛機；正在下落過程的雨滴等，其質(zhì)量在運動過程都是不斷變化的。以原質(zhì)點及并入的微小質(zhì)量所構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象，設作用于質(zhì)系的外力為，應用動量定理

時，得

式中為微小質(zhì)量在并入前對于質(zhì)點m的相對速度。令展開,略去高階微量后，有由式可看出，除作用于系統(tǒng)的外力外，還有一力作用于系統(tǒng)上，即使外力，也能改變系統(tǒng)的運動狀態(tài)。則上式可寫為