2021-2022學(xué)年福建省泉州高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年福建省泉州高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在二項式的展開式中，含的項的二項式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于1，求得的值，即可求得展開式中含的項的二項式系數(shù).【詳解】∵二項式的展開式中，通項公式為，令，求得，可得含的項的二項式系數(shù)為，故選：A.2．已知隨機變量的分布列如表，若，則（

）3A． B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】結(jié)合分布列的性質(zhì)，以及期望公式，即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，解得，∵，解得.故選：C.3．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)排成一排，甲乙相鄰，且甲不站中間的方法種數(shù)有（

）A．24 B．36 C．42 D．48【答案】B【分析】首先將甲乙之外的3人全排列，再分甲在排頭或甲在排尾和乙在中間兩種情況，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，分兩步分析，①將甲乙之外的3人全排列，共有種排法，排好后有4個空位，②甲乙相鄰，將甲乙看成一個整體，甲不站中間，則甲乙在排頭或甲乙在排尾，共種排法，乙在中間，共2種排法，所以甲不站中間的方法種數(shù)共有種.故選：B4．函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別討論與兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系研究的圖像，從而得解.【詳解】因為，當(dāng)時，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而排除B；當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞增，從而排除D；又，從而排除C；由于排除了選項BCD，而選項A又滿足上述的性質(zhì)，故A正確.故選：A.5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍即可.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，故，而，則實數(shù)，故選：C.6．甲、乙兩人進行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.2．若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為A．0.36 B．0.49 C．0.51 D．0.75【答案】C【分析】乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率．【詳解】乙至少贏甲—局的概率為.故選C【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．已知事件，滿足，，下列說法錯誤的是（

）A．若，則，是互斥事件B．若，則，是互斥事件C．若，則，是相互獨立事件D．若，則，是相互獨立事件【答案】C【分析】利用互斥事件的定義判斷AB；利用相互獨立事件的定義判斷CD.【詳解】事件，滿足，，對于A，∵，∴，∴，是互斥事件，故A正確；對于B，∵，∴，是互斥事件，故B正確；對于C，∵，∴，∴，∴，不是相互獨立事件，故C錯誤；對于D，∵，∴，是相互獨立事件，故D正確.故選：C.8．已知不等式成立，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題化為恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值求解.【詳解】解：，原式可化為，即，即，令，因為當(dāng)時，，，故此時；當(dāng)時，比快得多，故此時；令，且恒成立，故在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故存在，有，即，所以，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，時，，此時單調(diào)遞減，故，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，解得，即即為所求.故選：B.二、多選題9．已知1是函數(shù)的一個極值點，則（

）A． B．在單調(diào)遞增C．1是函數(shù)的極大值點 D．的對稱中心為【答案】AD【分析】根據(jù)，可求得的值，再逐項分析判斷即可.【詳解】解：，則，解得，∴，，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在處取得極小值，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，其對稱中心為，綜上，選項AD正確，選項BC錯誤.故選：AD.10．某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的，，，且各車間的次品率分別為，，.從該工廠的一批產(chǎn)品中隨機抽查1件產(chǎn)品（

）A．該產(chǎn)品是次品的概率為B．該產(chǎn)品是正品的概率為C．若該產(chǎn)品是次品，則該次品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大D．若該產(chǎn)品是正品，則該正品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大【答案】ACD【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式和條件概率公式計算即可.【詳解】解：對于A，該產(chǎn)品是次品的概率為，故A正確；對于B，該產(chǎn)品是正品的概率為，故B錯誤；對于C，若該產(chǎn)品是次品，則該次品由甲車間生產(chǎn)的可能性為；若該產(chǎn)品是次品，則該次品由乙車間生產(chǎn)的可能性為；若該產(chǎn)品是次品，則該次品由丙車間生產(chǎn)的可能性為；可知該次品甲車間生產(chǎn)的可能性最大，故C正確；對于D，若該產(chǎn)品是正品，則該正品由甲車間生產(chǎn)的可能性為；若該產(chǎn)品是正品，則該正品由乙車間生產(chǎn)的可能性為；若該產(chǎn)品是正品，則該正品由丙車間生產(chǎn)的可能性為；可知該正品甲車間生產(chǎn)的可能性最大，故D正確.故選：ACD.11．是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】令，∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；又為定義在上的奇函數(shù)，為定義在上的偶函數(shù)，∴為上的奇函數(shù)；∴在上單調(diào)遞增.由，可得，故A正確；由，可得，故B錯誤；由，可得，故C正確；由，可得，故D錯誤.故選：AC.12．某同學(xué)研究得：一個盒子內(nèi)有5個白球，1個紅球，從中任取2球的方法數(shù)可以是，也可以是，故.類比可得（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由組合數(shù)及類比推理的知識逐項進行分析即可.【詳解】對于A，，，故A錯誤，對于B，由類比推理，，故B正確，對于C，，故C正確，對于D，由于不一定相等，所以無法由類比推理推出，故D錯誤.故選：BC.三、填空題13．一漁船出海打漁，出海后，若不下雨，可獲得3000元收益；若下雨，將損失1000元.根據(jù)預(yù)測知某天下雨的概率為0.6，則這天該漁船出海獲得收益的期望是______.【答案】600【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合期望公式，即可求解.【詳解】解：預(yù)測知某天下雨的概率為0.6，則某天不下雨的概率為，故這天該漁船出海獲得收益的期望是.故答案為：600.14．某班宣傳小組有3名男生和2名女生.現(xiàn)從這5名同學(xué)中挑選2人參加小劇場演出，在已知抽取1名男生的條件下，2名都是男生概率是______.【答案】##0.5【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“抽取1名男生”，事件表示“另1名也是男生”，則，，故.故答案為：.15．已知是坐標(biāo)原點，，在函數(shù)的圖象上，為線段的中點，則斜率的最大值是______.【答案】【分析】先求出直線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】設(shè)，∵，為線段的中點，∴，，設(shè)，則，當(dāng)時，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，則，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值為，∴斜率的最大值是，故答案為：.16．楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把組合數(shù)的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地體現(xiàn)在數(shù)陣中.在楊輝三角的100行數(shù)字中，存在兩個相鄰的數(shù)字之比為的共有______行.【答案】33【分析】由題意設(shè)設(shè)第行相鄰的兩個數(shù)為，根據(jù)組合數(shù)公式化簡，再由整除取值即可.【詳解】由題意，第行各數(shù)從左到右均滿足，設(shè)第行相鄰的兩個數(shù)為，則，則，化簡得，即，，1，2，…，100，故，6，…，99，共有33項.故答案為：33.四、解答題17．已知的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為512.(1)若，求；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由題意，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，再利用賦值法求得要求式子的值.（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，求得的值，可得展開式中系數(shù)最大的項.【詳解】（1）∵的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為，∴.∵，∴令，可得，∴再令，可得，即，∴.（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，求得，∴，故展開式中系數(shù)最大的項為.18．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了抽樣調(diào)查，得到該市100位居民的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從這100位居民中月均用水量在的人中，隨機抽取4人進行電話回訪，求至少有2人月均用水量在的概率；(2)把這100位居民的月均用水量的頻率視為該市居民的月均用水量的概率，現(xiàn)從該市隨機抽取1位，用表示月均用水量不低于噸的人數(shù)，求的期望和方差.【答案】(1)(2)數(shù)學(xué)期望為，方差為.【分析】（1）由題意首先求得100位居民中月均用水量在的人數(shù)，然后計算所求的概率即可；（2）首先求得的值，然后利用二項分布的期望方差公式計算即可.【詳解】（1）由題意，100位居民中月均用水量在的人數(shù)：人；其中中6人，[3.5,4)中4人，.（2）由題意，，解得：，則用水量不低于噸的人數(shù)所占的概率為，據(jù)此可得服從二項分布：，其數(shù)學(xué)期望為：，方差為.19．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)求證：，其中，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍即可；（2）根據(jù)，對賦值累加即可.【詳解】（1）由題可知：的定義域是若，則恒成立，令，，則只需，而，令，解得，令，解得，故在遞增，在遞減，故，故只需，即若，則實數(shù)的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，時，在恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時“＝”成立，令，，則，則，故，故，而，則，∴，即∴，故.20．在京西購物平臺購買手機時，可以選擇是否加購“碎屏無憂”的保障服務(wù)，“碎屏無憂”服務(wù)有兩種（兩種服務(wù)只能購買一種）：一為“1年碎屏換屏”，價格100元，在購機后一年內(nèi)原屏發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕；一為“2年碎屏換屏”，價格150元，在購機后兩年內(nèi)原屏發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕，若未購買“碎屏無憂”服務(wù)，則碎屏后需更換屏幕，更換一次屏幕需要300元.已知在購機后的第一年，第二年，第三年原屏發(fā)生碎屏的概率分別是0.4，0.2，0.1.每部手機是否發(fā)生碎屏相互獨立且每年至多碎屏一次.(1)在京西購物平臺購買了一部手機，求這部手機在第二年原屏才發(fā)生碎屏的概率；(2)擬在京西購物平臺購買一部手機，并決定3年后再換部新手機.請問是否應(yīng)該購買加購“碎屏無憂”的保障服務(wù)？說明理由.【答案】(1)0.12；(2)在京西購物平臺購買一部手機，應(yīng)加購“碎屏無憂”的保障服務(wù)，理由見解析.【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式可求概率；（2）設(shè)購買“1年碎屏換屏”需花費元，購買“2年碎屏換屏”需花費元，不買保險需花費元，則可求各隨機事件的概率分布及數(shù)學(xué)期望，從而可判斷是否購買保險.【詳解】（1）設(shè)該手機第二年原屏才碎裂為事件，，從而該手機第二年原屏才碎裂的概率為；（2）設(shè)購買“1年碎屏換屏”需花費元，則可取值，則，，故，故.設(shè)購買“2年碎屏換屏”需花費元，則可取值，則，，，故，設(shè)不買保險需花費元，則可取值，故，，故，故，因為，故在京西購物平臺購買一部手機，應(yīng)加購“碎屏無憂”的保障服務(wù).21．本次數(shù)學(xué)考試的第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.若每道多選題的正確答案是兩個選項或者三個選項的概率均為.現(xiàn)甲乙兩位同學(xué)獨立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策.【答案】(1)(2)甲應(yīng)選擇1個選項才有希望得到更理想的成績；乙應(yīng)選擇3個選項才有希望得到更理想的成績.【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.（2）分別求出選擇1,2,3個選項三個情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：A：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯，即甲得20分，乙得7分.：甲三道全對，一道部分選對；乙兩道部分選對，兩道選錯，即甲得17分，乙得4分.：甲三道全對，一道選錯；乙一道部分選對，三道選錯，即甲得15分，乙得2分.....（2）若為甲出方案.則甲可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，則期望為.記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，，，此時期望為.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，，此時期望為.∵.∴甲應(yīng)選擇1個選項才有希望得到更理想的成績.若為乙出方案.則乙可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，類比甲的情況，則.記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，此時.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，此時.∵.∴乙應(yīng)選擇3個選項才有希望得到更理想的成績.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，，且，求的取值范圍.【答案】(1)答案見詳解(2)【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對進行分類討論即可求解；（2）結(jié)合函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)零點關(guān)系進行轉(zhuǎn)化后，結(jié)合題目特點進行合理的構(gòu)造，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)，則，，令，則，①當(dāng)或，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，即時，令，得或，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)