2022-2023學(xué)年上海市閔行區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市閔行區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.【答案】##【分析】根據(jù)兩直線平行，傾斜角相等即可.【詳解】直線的斜率為所以直線的傾斜角為，直線與直線平行所以直線的傾斜角為.故答案為：2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式即可.【詳解】.故答案為：6.3．等比數(shù)列中，，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，，解得，所以，，所以，.故答案為：4．長(zhǎng)方體的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2，則集合中元素的個(gè)數(shù)為____________個(gè).【答案】1【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積可得，即可得答案.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，，，因?yàn)?，則對(duì)任意，，均有，所以集合，只有一個(gè)元素.故答案為：15．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則___________.【答案】8【分析】利用和的關(guān)系即可.【詳解】，，.故答案為：8.6．已知拋物線上一點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)為___________.【答案】##0.25【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以，解得，故答案為：7．已知數(shù)列中，，（是正整數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【分析】等式兩邊同時(shí)除以，可得，后由累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】等式兩邊同時(shí)除以，可得，則.得，則，.故答案為：，.8．過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有______條．【答案】3【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得，進(jìn)而解方程即可得或且均滿足條件，進(jìn)而得答案.【詳解】解：由題知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得所以，，，設(shè)，則，所以，由弦長(zhǎng)公式得，所以，，即或，解得或，此時(shí)直線的方程為或.綜上，滿足條件的直線的方程為或，共3條.故答案為：39．已知是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過右焦點(diǎn)，若且，則該橢圓的離心率是_________.【答案】【分析】利用對(duì)稱性和幾何關(guān)系，建立兩個(gè)和的方程，然后解方程即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，連接.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,設(shè)由對(duì)稱性可知:且①在中，聯(lián)立①式，解得橢圓的離心率.故答案為：10．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__．【答案】【分析】法一：用列舉法得，，，，，，找規(guī)律得，再利用累加法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求其通項(xiàng)；法二：由已知有，，從而有，再結(jié)合數(shù)列的奇、偶項(xiàng)的單調(diào)性得，再利用累加法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求其通項(xiàng)．【詳解】法一：先采用列舉法得，，，，，，，然后從數(shù)字的變化上找規(guī)律，得，所以．法二：因?yàn)?，，所以，而遞減，所以，故；同理，由遞增，得；又，所以，所以．11．設(shè)點(diǎn)是：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，記，則的最小值是______．【答案】【分析】設(shè)，將轉(zhuǎn)化成探求線段長(zhǎng)最值問題求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，顯然圓C與直線l相離，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，當(dāng)時(shí)，，，，，其中銳角由確定，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，當(dāng)時(shí)，，，，，其中銳角由確定，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，顯然，因此，當(dāng)時(shí)，，則，所以的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及圖形上的點(diǎn)變化引起的線段長(zhǎng)度、圖形面積等問題，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.12．對(duì)于數(shù)列，令，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，使得對(duì)任意的都成立；④若對(duì)任意的，都有，則有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②④【分析】逐項(xiàng)代入分析求解即可.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，且因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)①正確；對(duì)于②：若，則所以，所以兩式相減得，所以，所以，所以，故選項(xiàng)②正確；對(duì)于③：，，所以若對(duì)任意的都成立，則有，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)為整數(shù)，則不等式串中絕對(duì)值只能從越來越小，之后甚至?xí)霈F(xiàn)大于某數(shù)絕對(duì)值的情況，例如：，后續(xù)還會(huì)有絕對(duì)值，但是會(huì)有矛盾，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；對(duì)于④：若對(duì)任意的，都有，則有..故選項(xiàng)④正確；故答案為：①②④.二、單選題13．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，又由點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.故選：D.14．若直線與圓無公共點(diǎn)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓外C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離小于圓的半徑可得出關(guān)于、的不等式，即可判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓無公共點(diǎn)，則，所以，，因此，點(diǎn)在圓內(nèi).故選：C.15．已知是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則下列說法正確的一項(xiàng)是（

）A．點(diǎn)是唯一的，且一定與共面B．點(diǎn)不唯一，但一定與共面C．點(diǎn)是唯一的，但不一定與共面D．點(diǎn)不唯一，也不一定與共面【答案】B【分析】由，可得，從而有共面，四點(diǎn)共面，再結(jié)合不共線，即可得答案.【詳解】由空間向量的知識(shí)可知共面的充要條件為存在實(shí)數(shù)，使，因?yàn)?，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)椴还簿€，所以滿足此關(guān)系的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，所以點(diǎn)不唯一，共面.故選：B.16．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開始每一行比上一行多兩項(xiàng)，第一列數(shù)……，成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A． B．C．位于第85列 D．【答案】C【分析】分析所給數(shù)陣的特點(diǎn)，計(jì)算出數(shù)陣第一列對(duì)應(yīng)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得A正確；分析計(jì)算的表達(dá)式，比較可得B正確；通過計(jì)算可知位于數(shù)陣第行第86列，故C錯(cuò)誤；位于數(shù)陣第行第個(gè)數(shù)，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得D正確.【詳解】將等差數(shù)列，，，，…，記為，則公差，所以，，故A正確；因?yàn)?，，故B正確；第行的項(xiàng)數(shù)，第行的項(xiàng)數(shù)，，第行的項(xiàng)數(shù)，構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即第行有項(xiàng)，前行有項(xiàng)，因?yàn)?，而，則位于第行從左邊數(shù)第項(xiàng)，即位于第列，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：C.三、解答題17．如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面.（2）分別取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)檎庵?，所以，且，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以且.所以且，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：分別取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦庵?，所以，平面?所以平面.所以，.以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.則.所以.設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，解得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以.即直線與平面所成角為.18．記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求出，再由等比數(shù)列求和公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，即可得到數(shù)列的特征，令，求出的取值，即可得到為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，即，所以，又，即，解得，所?（2）解：由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.19．某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動(dòng)型汽車2萬張.為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，一旦某年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)為0萬張，以后每一年發(fā)放的燃油型的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動(dòng)車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列，寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)從2013年算起，求到2029年（包含2029年）累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù).【答案】(1)，(2)206萬張【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，結(jié)合題意可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，結(jié)合題意利用前項(xiàng)和公式判斷可得；（2）根據(jù)（1）分別求數(shù)列、的前17項(xiàng)和，再相加．【詳解】（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，則根據(jù)題意令，則∴，則設(shè)當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和為遞增數(shù)列，且∴，，則（2）根據(jù)題意可得到2029年（包含2029年），即為第17年對(duì)于數(shù)列的前項(xiàng)和對(duì)于數(shù)列的前項(xiàng)和到2029年（包含2029年）累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)為（萬張）20．已知二次曲線．(1)求二次曲線的焦距和離心率；(2)若直線與二次曲線及圓都恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)任取平面上一點(diǎn)，證明：中總有一個(gè)橢圓和一條雙曲線都通過點(diǎn)．【答案】(1)焦距為，離心率為(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距與離心率即可得解；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，根據(jù)直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)求出的關(guān)系時(shí)，再聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合根的判別式即可得出答案；（3）分別求出曲線表示橢圓和雙曲線時(shí)的范圍，再將點(diǎn)代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：二次曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，所以焦距為，離心率為；（2）解：二次曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，圓的圓心，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，圓的切線方程為或，在方程中，當(dāng)時(shí)，，所以直線和與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，圓心到直線的距離，聯(lián)立，消得，當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以直線的方程為或或或，當(dāng)，即時(shí)，則，整理得，結(jié)合，解得或，所以直線的方程為或，綜上所述直線的方程為或或或或或或或；（3）證明：當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)，，則，當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，則，把點(diǎn)代入得，即，設(shè)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，且圖象開口向上，因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)穿過一次軸，在內(nèi)穿過一次軸，即方程一個(gè)根在上，一個(gè)根在上，所以中總有一個(gè)橢圓和一條雙曲線都通過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】第三問轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)存在定理是關(guān)鍵21．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列滿足，且等式對(duì)任意成立．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列與的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)該新數(shù)列為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)的和；（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列前項(xiàng)和，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1時(shí)，4a1，解得a1，n≥2時(shí)，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根據(jù)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．（2）數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1對(duì)任意n≥2成立．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn．進(jìn)而得出cn，T2n．（3）Tn≥λ?cn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，對(duì)n分類討論即可得出．【詳解】（1）由，即，所以，兩式相減得，，故，

因?yàn)?，所以?/p>

又由得．所以，數(shù)列是