2山東專升本高等數(shù)學(xué)其次章導(dǎo)數(shù)與微分

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1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．

2．會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程．

3．熟練把握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法．

4．把握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

5．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)．

6．理解函數(shù)的微分概念，把握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分．

一、導(dǎo)數(shù)

（一）導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念

1．函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y當(dāng)自變量x在x0處取得增量?x（點(diǎn)?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，

x0??x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；假使

?y與?x之比當(dāng)?x?0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這

個(gè)極限為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f?(x0)，即

f(x0??x)?f(x0)?y，f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?x也可記作y?x?x0，

dydxx?x0或

df(x)dxx?x0．

說明：導(dǎo)數(shù)的定義式可取不同的形式，常見的有

f(x0?h)?f(x0)和f?(x0)?limh?0hf?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)；式中的h即自變量的增量?x．

x?x02．導(dǎo)函數(shù)

上述定義是函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)．假使函數(shù)就稱函數(shù)

y?f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，

f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)，對于任一x?I，都對應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的

y?f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記

導(dǎo)數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就叫做原來函數(shù)作y?，

f?(x)，

dydf(x)或．顯然，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f?(x0)就是導(dǎo)函數(shù)dxdxx?x0f?(x)在點(diǎn)x?x0處的函數(shù)值，即f?(x0)?f?(x)3．單側(cè)導(dǎo)數(shù)（即左右導(dǎo)數(shù)）

．

根據(jù)函數(shù)

導(dǎo)數(shù)f?(x0)?limf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的定義，

h?0f(x0?h)?f(x0)h（即f?(x0)存在

是一個(gè)極限，而極限存在的充分必要條件是左右極限都存在并且相等，因此

f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo)）的充分必要條件是左右極限

f(x0?h)?f(x0)及l(fā)im?h?0hf(x0?h)?f(x0)都存在且相等．這兩個(gè)極限分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的lim?h?0h左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作

f??(x0)和f??(x0)，即f??(x0)?lim?h?0f(x0?h)?f(x0)，

hf??(x0)?lim?h?0f(x0?h)?f(x0)．現(xiàn)在可以說，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分

h必要條件是左導(dǎo)數(shù)

f??(x0)和右導(dǎo)數(shù)f??(x0)都存在并且相等．

說明：假使函數(shù)

f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f??(a)及f??(b)都存在，就說f(x)在

閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)．4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)

y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f?(x0)在幾何上表示曲線y?f(x)在點(diǎn)

是切線的傾角．假使

M(x0,f(x0))處的切線的斜率，即f?(x0)?tan?，其中?y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，這時(shí)曲線y?f(x)的割線以垂直于x軸的直線

x?x0為極限位置，即曲線y?f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))處具有垂直于x軸的切線x?x0．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線的切線方程和法線方程分別為：切線方程：y?y?f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處

y0?f?(x0)(x?x0)；

1(x?x0)．法線方程：y?y0??f?(x0)5．函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系假使函數(shù)y即函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處必連續(xù)，但反之不一定成立，

?f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，它在該點(diǎn)不一定可導(dǎo)．

（二）基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式

1．常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）(C)??0；（2）(x?)???x??1；

（3）(sinx)??cosx；（4）(cosx)???sinx；（5）(tanx)??sec2x；（6）(cotx)???cscx；

（7）(secx)??secxtanx；（8）(cscx)???cscxcotx；（9）(ax)??axlna；（10）(ex)??ex；

11（11）(logax)??；（12）(lnx)??；

xlnax（13）(arcsinx)??11?x2；（14）(arccosx)???11?x2；

（15）(arctanx)??11?x2；（16）(arccotx)???11?x2．

2．函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)u?u(x)，v?v(x)都可導(dǎo)，則

（1）(u?v)??u??v?；（2）(Cu)??Cu?（C是常數(shù)）；（3）(uv)??u?v?uv?；

uu?v?uv?（4）()??（v?0）．2vv3．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y而u?g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f[g(x)]的?f(u)，

導(dǎo)數(shù)為

dydydu??或y?(x)?f?(u)?g?(x)．dxdudx（三）高階導(dǎo)數(shù)

1．定義

一般的，函數(shù)y我們把y??f?(x)的?f(x)的導(dǎo)數(shù)y??f?(x)依舊是x的函數(shù)．

導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)

y?f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作

y??或

d2ydx2，即

y???(y?)?或

d2yd?dy????．相應(yīng)地，把y?f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)叫做函數(shù)y?f(x)的一階2dxdx?dx?導(dǎo)數(shù)．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，?，一般

的，(n?1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，分別記作

y???，y(4)，?，y(n)或

函數(shù)yd3yd4ydny，，?，．34ndxdxdx?f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)，也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)．假使函數(shù)f(x)在

f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)．二

點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么

階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)．

（四）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

函數(shù)的對應(yīng)法則由方程F(x,y)?0所確定，即假使方程F(x,y)?0確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系

y?f(x)，則稱y?f(x)是由方程F(x,y)?0所確定的隱函數(shù)形式．隱

函數(shù)的求導(dǎo)方法主要有以下兩種：

1．方程兩邊對x求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)要把y看作中間變量．

例如：求由方程ey?xy?e?0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

ydy．dx解：方程兩邊分別對x求導(dǎo)，(e?xy?e)?x?(0)?x，

．

得

eydydydyy?y?x?0，從而??dxdxdxx?eyFx?dy??．dxFy?2．一元隱函數(shù)存在定理

例如：求由方程ey?xy?e?0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

dy．dx解：設(shè)

F(x,y)?ey?xy?e，

則

?y(e?xy?e)Fx?dyy?????x??y．

?ydxFy?e?x(e?xy?e)?y（五）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x??(t)一般地，若參數(shù)方程?確定y是x的函數(shù)，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)

?y??(t)

為由該參數(shù)方程所確定的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為

dy??(t)?，上式也可寫成dx??(t)dydydt?．dxdxdt其二階導(dǎo)函數(shù)公式為

d2y???(t)??(t)???(t)???(t)．?23dx??(t)（六）冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，對于形如u(x)v(x)（u(x)?0，u(x)?1）的函數(shù)，尋常稱為冪指函數(shù)．對

于冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，尋常有以下兩種方法：1．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

將冪指函數(shù)u(x)v(x)利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化為ev(x)lnu(x)v(x)lnu(x)的形式，然后利的形式．

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)，最終再把結(jié)果中的e恢復(fù)為u(x)v(x)dy例如：求冪指函數(shù)y?x的導(dǎo)數(shù)．

dxx解：因

xx?exlnx，故

dydxlnx??e??exlnx?(xlnx)??xx(1?lnx)．dxdx2．對數(shù)求導(dǎo)法

對原函數(shù)兩邊取自然對數(shù)，然后看成隱函數(shù)來求

y對x的導(dǎo)數(shù)．

例如：求冪指函數(shù)y解：對冪指函數(shù)y的函數(shù)，得

?xx的導(dǎo)數(shù)

dy．dx?xx兩邊取對數(shù)，得lny?xlnx，該式兩邊對x求導(dǎo)，其中y是x1dydy??1?lnx，故?y(1?lnx)?xx(1?lnx)．ydxdx二、函數(shù)的微分

1．定義：可導(dǎo)函數(shù)

y?f(x)在點(diǎn)x0處的微分為dyx?x0?f?(x0)dx；可導(dǎo)函數(shù)

y?f(x)在任意一點(diǎn)x處的微分為dy?f?(x)dx．

2．可導(dǎo)與可微的關(guān)系

函數(shù)y即可微必?f(x)在點(diǎn)x處可微的充分必要條件是y?f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，

可導(dǎo)，可導(dǎo)必可微．3．基本初等函數(shù)的微分公式

（1）d(C)?0dx；（2）d(x?)??x??1dx；

（3）d(sinx)?cosxdx；（4）d(cosx)??sinxdx；（5）d(tanx)?sec2xdx；（6）d(cotx)??cscxdx；

（7）d(secx)?secxtanxdx；（8）d(cscx)??cscxcotxdx；（9）d(ax)?axlnadx；（10）d(ex)?exdx；

（11）d(logax)?11dx；（12）d(lnx)?dx；

xlnax?11?x2（13）d(arcsinx)dx；（14）d(arccosx)??11?x2dx；

（15）d(arctanx)?11；（16）dxd(arccotx)??dx．221?x1?x4．函數(shù)和、差、積、商的微分法則

設(shè)函數(shù)u?u(x)，v?v(x)都可導(dǎo)，則

（1）d(u?v)?du?dv；（2）d(Cu)?Cdu（C是常數(shù)）；（3）d(uv)?vdu?udv；（4）d(uvdu?udv（v?0）．)?2vv5．復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)

y?f(u)及

的微分為u?g(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f[g(x)]??．由于g?(x)dx?du，所以復(fù)合函數(shù)y?f[g(x)]的dy?y?xdx?f(u)g(x)dx微分公式也可寫成dy?du．?f?(u)du或dy?yu?f?(u)du保持不變．這一

?f?(u)du并

由此可見，無論u是自變量還是中間變量，微分形式dy性質(zhì)稱為微分形式的不變性．該性質(zhì)說明，當(dāng)變換自變量時(shí)，微分形式dy不改變．

以下各題中均假定1．limf?(x0)存在，指出A表示什么．

?x?0f(x0??x)?f(x0)?A．

?x解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式，因?x?0時(shí)，??x?0，故

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)lim??lim??f?(x0)，?x?0?x?0?x??x即

A??f?(x0)．

f(x)?A，其中f(0)?0，且f?(0)存在．x2．設(shè)limx?0解：因

f(0)?0，且f?(0)存在，故

f(x)f(x)?f(0)lim?lim?f?(0)，即A?f?(0)．x?0x?0xx?03．limh?0f(x0?h)?f(x0?h)?A．

h解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式，因h?0時(shí)，?h?0，故

f(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)lim?limh?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)?[f(x0?h)?f(x0)]?limh?0hf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?limh?0h?0h?h?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0)，即A?2f?(x0)．

分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題．

?23?x,x?11．探討函數(shù)f(x)??3在x?1處的可導(dǎo)性．

2?x?,x?1解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式，

232x?f(x)?f(1)2233f??(1)?lim?lim?lim(x?x?1)?2，???x?1x?1x?1x?13x?12x?f(x)?f(1)3???，

f??(1)?lim?limx?1?x?1?x?1x?12故

f(x)在x?1處的左導(dǎo)數(shù)f??(1)?2，右導(dǎo)數(shù)不存在，所以f(x)在x?1處不可導(dǎo)．

1?2?xsin,x?02．探討函數(shù)f(x)??在x?0處的可導(dǎo)性．x?x?0?0,解：因

1x2sin?0f(x)?f(0)1x?f(0)?lim?lim?limxsin?0，x?0x?0x?0x?0xx故函數(shù)

f(x)在x?0處可導(dǎo)．

?x2,x?13．已知函數(shù)f(x)??在x?1處連續(xù)且可導(dǎo)，求常數(shù)a和b的值．

?ax?b,x?1?2解：由連續(xù)性，因f(1)?1，f(1)?limf(x)?limx?1，

??x?1x?1f(1?)?limf(x)?lim(ax?b)?a?b，從而a?b?1??①

??x?1x?1再由可導(dǎo)性，

f(x)?f(1)x2?1f??(1)?lim?lim?lim(x?1)?2，

???x?1x?1x?1x?1x?1f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)ax?b?1?(1)，，而由①可得b?1?a，代入f??lim?x?1x?1x?1f(x)?f(1)ax?a?lim?a，再由f??(1)?f??(1)可得a?2，

?x?1x?1x?1得

f??(1)?lim?x?1代入①式得b??1．

已知

?sinx,x?0，求f?(x)．f(x)??x?0?x,?0解：當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?(sinx)??cosx，當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)?(x)??1，當(dāng)x時(shí)的導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)的定義來求．

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)sinx?lim?1，

?x?0x?0xf(x)?f(0)x?0f??(0)?lim?lim?1，

??x?0x?0x?0xf??(0)?f??(0)?1，故f?(0)?1，從而

求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．y?cosx,x?0．f?(x)??x?0?1,?ex(sinx?cosx)．

y??(ex)?(sinx?cosx)?ex(sinx?cosx)??ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)

解：

?2excosx．

2．y?sin2x1?x2．

解：

2x??2x?y???sin?cos2?1?x2?1?x??2x????2??1?x?

2x2(1?x2)?(2x)2?cos?21?x(1?x2)22(1?x2)2x?cos(1?x2)21?x23．y．

?lncos(ex)．

解：

??x?y???lncos(e)??1?x???cos(e)?cos(ex)?1xx????sin(e)?(e)??x??cos(e)

?1xx????sin(e)?ex??cos(e)4．y??extan(ex)．

?ln(x?1?x2)．

12????解：y?ln(x?1?x)??(x?1?x2)?

??x?1?x2?(1?x2)???1??2?2?x?1?x?21?x?1?x??1??2?2?x?1?x?1?x?1

?1x?1?x2?x?1?x21?x2

?11?x2．

求以下冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．y?xsinx（x?0）．

y??(xsinx)??(esinxlnx)??esinxlnx?(sinxlnx)?

解：

?esinxlnx1?(cosxlnx?sinx?)

xsinx)．xy?xsinx兩邊取對數(shù)，得

?xsinx(cosxlnx?說明：此題也可采用對數(shù)求導(dǎo)法，即：對冪指函數(shù)

lny?sinxlnx，該式兩邊對x求導(dǎo)，其中y是x的函數(shù)，得

11?y??cosxlnx?sinx?，yx故

1sinxsinx?y?y(cosxlnx?sinx?)?x(cosxlnx?)．

xxx2．y?x?????1?x?（x?0）．

?xx???x?x???xln1?xln?x??x?e1?x??xln解：y????????e??1?x??????1?x????

?exlnx1?x?x1?x?x?????ln?x?????

x?1?x???1?x??

?exlnx1?x?x1?x1?x?x???ln?x??2?x?1?x????1?x?x

x1??x????ln????．?1?x??1?x1?x?說明：此題也可采用對數(shù)求導(dǎo)法，即：對冪指函數(shù)

?x?y????1?x?x兩邊取對數(shù)，得

x，該式兩邊對x求導(dǎo)，其中y是x的函數(shù)，得lny?xln1?x1x1?x?x??x1?y??ln?x????，??lny1?xx?1?x?1?x1?x故

x1??x???y?y?ln?????1?x1?x1?x????xx1????ln?．

?1?x1?x?用對數(shù)求導(dǎo)法求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．yx?xy（x?0）．

解：等式兩邊取對數(shù)，得xlny?ylnx，兩邊對x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得

lny?xyxy?y??y?lnx?，整理得(?lnx)y???lny，yxyx則

y?lny2y?xylnyy??x?2．

x?lnxx?xylnxyx2?152．y?x?22．

解：等式兩邊取對數(shù)，得

lny?lnx2?151x2?1?ln，

225x?22x?212即2lny?ln(x?1)?ln(x?2)，

52也即10lny?5ln(x2?1)?ln(x2?2)，

兩邊對x求導(dǎo)，注意y是x的函數(shù)，得

1010x2xy??2?2，yx?1x?2故

y?10x2x?y??2?210?x?1x?x?2x?1??x?2．???2?522??x?15x?1?0x?2求以下抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．已知函數(shù)y?f(x)可導(dǎo)，求函數(shù)y?f(e1sinx)的導(dǎo)數(shù)

dy．dx解：

1dyd?x??f(esindxdx?1sinx1111?1)?)??f(esixn?)(esxi?n?)f(esinx)?esinx?(sinx?11?cosxcosxsin???2exf(esinx)．2sinxsinx

?f(e)?e和

1sinx2．設(shè)函數(shù)

f(x)g(x)可導(dǎo)，且

f2(x)?g2(x)?0，試求函數(shù)

y?f2(x)?g2(x)的導(dǎo)數(shù)dy．dx解：

dyd?dxdx??22??f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x)??2f2(x)?g2(x)?

?2f(x)f?(x)?2g(x)g?(x)2f(x)?g(x)22?f(x)f?(x)?g(x)g?(x)f(x)?g(x)22．

求由以下方程所確定的隱函數(shù)y1．x2?y(x)的導(dǎo)數(shù)．

?xy?y2?0．

解：方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得

2x?y?x?dydy?2y??0，dxdxdy2x?ydy?整理得(x?2y)．?2x?y，故

dxx?2ydx說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設(shè)F(x,y)?x2?xy?y2，

則

Fx?dy2x?y2x?y．?????dxFy??x?2yx?2y?1?xey．

2．y解：方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得

dydy?0?ey?xey?，dxdx．

ydyedyy?整理的(1?xe)?ey，故

dx1?xeydx說明：此題也可用隱函數(shù)存在定理來求解，即：設(shè)F(x,y)則

?1?xey?y，

Fx?dyeyey????y?dxFy?xe?11?xey．

求由以下參數(shù)方程所確定的函數(shù)y?y(x)的導(dǎo)數(shù)．

?x?2et1．?．

?t?y?edy?t?dydt?e??e?t1???t??2t解：

dxdx2e2et?2e??dt1?x???1?t．2．??y?t?1?t?．

解：

?tdy?t?1?t?2?1?t??dydt?1?t???????1．

?1dxdx?1??2dt??1?t???1?t?求以下函數(shù)的微分．1．

f(x)?tan2(1?2x2)．

解：因

故

??2tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)?4x，22?f?(x)??tan(1?2x)??dy?f?(x)dx?8xtan(1?2x2)sec2(1?2x2)dx．

1?x22．

f(x)?e．

解：因

f?(x)?e?1?x2???e1?x2??2x21?xdx．

2??xe1?x221?x，

故dy?f?(x)dx??xe1?x221?x3．

f(x)?x2arctanx?1．

解：因

1?f?(x)?x2arctanx?1?2xarctanx?1?x22x?1，

1?x?1????x2故dy?f?(x)dx??2xarctanx?1??dx．

2xx?1??4．

f(x)?sin2xln(1?x2)．

222x?22解：因f?(x)??sinxln(1?x)??2sinxcosxln(1?x)?sinx??1?x22?2xsinx?2故dy?f?(x)dx??sin2xln(1?x)?dx．?21?x??，

求曲線

y?xe?x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程和法線方程．

x?0解：

y???xe?x???e?x?xe?x，y??1，故曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為

即

y?1?1?(x?0)，即x?y?1?0；法線方程為y?1??1?(x?0)x?y?1?0．

求曲線x2?xy?y2?4在點(diǎn)(2,?2)處的切線方程和法線方程．

解：這是由隱函數(shù)所確定的曲線，按隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，有

2x?y?xy??2y?y??0，

即

y???2x?yx?2y；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)

(2,?2)處的斜率為

處的切線方程為

y?x?2y??22x?y??x?2yx?2y??2?1，故曲線在點(diǎn)

(2,?2)y?2?1?(x?2)，即x?y?4?0；法線方程為y?2??1?(x?2)，即

x?y?0．

?x?2cost?求橢圓?在點(diǎn)t?處的切線方程和法線方程．

4?y?4sint解：將

t??4代入橢圓方程，得曲線上對應(yīng)的點(diǎn)為

(2,22)，又

yt?4cotsy?????2cot，切線斜率為ty?xt??2sitn切線方程為

t??4??2cottt??4??2，故所求

y?22??2(x?2)，即2x?y?42?0；所求法線方程為

1y?22??(x?2)，即x?2y?52?0．

2

一、選擇題

f(1?2?x)?f(1)1．（2023年，1分）已知f?(1)?1，則lim等于（）

?x?0?x（A）1（B）?1（C）2（D）?2解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，lim?x?0f(1?2?x)?f(1)f[1?(?2?x)]?f(1)??2lim?x?0?x?2?x．??2f?(1)??2，選（D）

2．（2023年，1分）曲線y?x2在點(diǎn)(1,1)處的法線方程為（）

x3（A）y?x（B）y???

22（C）y?x3x3?（D）y???

2222?y?x?1解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的斜率k?2xx?1?2，故法線方程為

1x3，即．y?1??(x?1)y???，選（B）

2223．（2023年，1分）設(shè)函數(shù)（A）

f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則（）

f?(x0)存在（B）f?(x0)不存在

x??（C）limf(x)必存在（D）f(x)在點(diǎn)x0處可微

解：根據(jù)“可導(dǎo)必連續(xù)〞，則“不連續(xù)一定不可導(dǎo)〞，選項(xiàng)（B）正確．

f(x0?h)?f(x0?h)4．（2023年，1分）若lim?A，則A?（）

h?0h（A）

f?(x0)（B）2f?(x0)（C）0（D）

1f?(x0)2f(x0?h)?f(x0?h)解：A?lim

h?0h?limh?0f(x0?h)?f(x0)?[f(x0?h)?f(x0)]

hf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?limh?0h?0h?h?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0)，選項(xiàng)（B）正確．

5．（2023年，3分）函數(shù)

f(x)?x，在點(diǎn)x?0處f(x)（）

（A）可導(dǎo)（B）休止（C）連續(xù)不可導(dǎo)（D）連續(xù)可導(dǎo)解：由

f(x)?x的圖象可知，f(x)在點(diǎn)x?0處連續(xù)但不可導(dǎo)，選項(xiàng)（C）正確．

說明：

f(x)?x的連續(xù)性和可導(dǎo)性，也可根據(jù)連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的定義推得．

6．（2023年，3分）設(shè)（A）limx?x0f(x)在x0處可導(dǎo)，且f?(x0)?0，則f?(x0)不等于（）

f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)（B）lim

?x?0x?x0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)（C）lim（D）lim

?x?0?x?0?x(??x)解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，選項(xiàng)（C）符合題意．7．（2023年，3分）以下選項(xiàng)中可作為函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義的選項(xiàng)是（）

1（A）limn[f(x0?)?f(x0)]

n??nf(x)?f(x0)（B）lim

x?x0x?x0f(x0??x)?f(x0??x)（C）lim

?x?0?x（D）lim?x?0f(x0?3?x)?f(x0??x)

?x1f(x0?)?f(x0)1n?f??(x0)，解：選項(xiàng)（A）limn[f(x0?)?f(x0)]?limn??n??1nn選項(xiàng)（C）lim?x?0f(x0??x)?f(x0??x)?2f?(x0)，

?xf(x0?3?x)?f(x0??x)選項(xiàng)（D）lim．?2f?(x0)，應(yīng)選（B）

?x?0?x8．（2023年，3分）若（A）

f(u)可導(dǎo)，且y?f(2x)，則dy?（）

f?(2x)dx（B）f?(2x)d2xf(2x)]?d2x（D）f?(2x)2xdx

?df(2x)?f?(2x)d2x?f?(2x)2xln2dx，應(yīng)選項(xiàng)（B）正確．

（C）[解：因dy9．（2023年，2分）設(shè)u(x)，v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則d(u)?（）v（A）

duvdu?udv（B）

2dvu（C）

udv?vduudv?vdu（D）22uuuuu?v?uv?u?vdx?uv?dxvdu?udv?解：d()?()dx?，選（B）．dx??222vvvvv10．（2023年，3分）設(shè)

f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，則f?(0)?（）

（A）?99!（B）0（C）99!（D）99解：當(dāng)x?0時(shí)，f?(x)中除(x?1)(x?2)?(x?99)項(xiàng)外，其他全為零，故

f?(0)?(0?1)(0?2)?(0?99)??99!，選項(xiàng)（A）正確．

11．（2023年，3分）設(shè)y（A）(?1)（C）(?1)解：由yn?lnx，則y(n)?（）

n!x?n（B）(?1)n(n?1)!x?2n(n?1)!x?n（D）(?1)n?1n!x?n?1

n?1?lnx可得，y??11，y????2xx，y??????2x22!?3?3，4xxxy(4)2?3x23!??6??4，?，對比可知，選項(xiàng)（C）正確．

xxdsinx?（）12．（2023年，3分）2d(x)cosxcosx（A）cosx（B）?sinx（C）（D）

22xdsinxcosxdxcosx??解：，選項(xiàng)（D）正確．2d(x)2xdx2x二、填空題

1．（2023年，2分）若曲線y?f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線平行于直線y?2x?3，

則

f?(x0)?．

f?(x0)?2．

解：切線與直線平行，則切線的斜率與直線的斜率相等，故2．（2023年，2分）設(shè)y解：dy?cos(sinx)，則dy?．

?dcos(sinx)??sin(sinx)cosxdx．

?x2?1在點(diǎn)(1,2)的切線的斜率等于．

3．（2023年，4分）曲線y解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線斜率k?y?(1,2)?2x(1,2)?2．

?x?costdy4．（2023年，4分）由參數(shù)方程?確定的?．

dx?y?sintdyyt?(sint)?cost解：?????cott．

dxxt?(cost)??sint5．（2023年，2分）曲線y?x?sinx在點(diǎn)(,1?)處的切線方程是．

22(,1?)222??解：切線的斜率

k?y????(1?2sinxcosx)(,1?)22???1，故切線方程為

y?(1?)?1?(x?)，即y?x?1．

226．（2023年，2分）函數(shù)

??f(